Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть х -~ »1 (х) — проекция б1 иа бз параллельыо Т (гл. 11, 1 1, и' 1). Отображение х -ь 1р (х) — * есть гомоморфкзм //ч на Т. Обратно, для любого гомоморфнзма х — 0 (х) модуля б1 па модуль Т отображение х -~ *+ 0 (х) есть проекция, параллельызя Т, модуля Ь1 на свободыый подмодуль модуля К, дополнительный к Т. Следствие 2. Над кольцом главных идеалов всякий модуль конечного типа бгз кручения являппся свободным модулем конечного ранга. Этот результат немедленно вытекает из следствия 1. Предположение о том, что модуль имеет конечный ткп, существенно (см.
начало 1 3). Определение 2. В условиях и обозначениях теоремы 2, идеала аз называются инвариантными факторами модуля Е. модули конкчного ти»»л над кольцом главных ндкллов 55 Как и для определения 1 (и'2), в случаях, когда А = Я пли А = К (Х), канонический образующий идеала аь (целое положительное число или унитарный многочлен), допуская вольность речи, также называют инвариантным фактором модуля конечного типа Е, Не следует смешивать иязаряеятяые факторы модуля Е с инвариаатяымв фактораии подмодуля М свободного модуля Ь етяеентельно Е (опреденеапе»).
4. Выч моление мныарыанжнь»вс уда»»торов Пввдложннив 3, 1?усть А — кольцо главных идеалов, ? — свободный А-модуль с конечным базисом (и») (1 <у <й), М вЂ” подмодуль ?, (х») — система образующих М, Аа» (1 <» < п)— инвариантныс множители М относительно Ь. Тогда при 1 <т<п 6 = а» ., и„, всунь н. о. д. миноров порядка т матрицы, столбцами которой служат координаты влементов х; относительно базиса (иу). По теореме 1 имеет место включение М ~а»?,; следовательно, координаты любого элемента модуля М кратны а,. С другой стороны, существует элемент с» ~ ?, координаты которого независимы в совокупности (следствие теоремы 1) и такой, что а»с» ~ М.
Поэтому координаты элемента а,с, имеют н. о. д. а,. Выражая элемент а,с, в виде линейной комбинации элементов х;, получим, что а, является элементом идеала, порожденного координатами х». Но все эти координаты делятся на а„поэтому а, является их к. о. д., и утверждение доказано для случая т = 1.
Для доказательства утверждения в случае произвольного т рассмотрим модуль /»» М, являющийся т-й внешней степенью модуля М (гл. 111, 1 5). В обозначениях теоремы 1, в качестве базиса (а;) модуляМ можно взять элементы ໠— — и;в, (1 <» <и). Следовательно, элементы а», /» ...,/» а» образуют базис модуля т /~ М ((»„..., »т) пробегает множество строго возрастающих последовательностей из т индексов из отрезка натурального ряда 11, п]). Таким образом, элементы с», /~ ...
/\ е» принадлежат т базису В модуля /» Ь. Каноническое отображение модуля /» М 56 модгли над кольцлмн главных идвллов гл. чп, 4 4 ол в модуль Д Ь является, следовательно, изоморфным отображеол пл нием модуля Д М на подмодуль модуля Д Е, обладающий базисом, состоящим па элементов (аи... ал ) е„Д ... Д ел Отождествим этот подмодуль с Д М.
Так как и делится на аь приу)~й, то все элементыа;,... а; делятся на Ь„=ал... аы, чл причем один из них в точности равен бы. Следовательно, б„ ы есть и. о. д, множества координат образующих модуля Д М ы относительно базиса Вы модуля Д Ь. Из первой части доказательства получаем, что бо, есть н. о. д. множества координат любой системы образующих модуля Д М относительно любого базиса модуля Д Ь. Взяв в качестве базиса модуля Д Е базис, канонически полученный из базиса (и,) модуля Л, а в качестве системы образующих модуля Д М вЂ” систему, обрааованную внешними произведениями элементов (х;), н, воспользовавшись выражением координат этих произведений через определители (гл. 111, т 6, и'3), мы закончим доказательство предложения.
б. Лмтгемные опгобрагюенмя свободньлх модулем м .катпрмцы над кольцом главных мдеалов Пусть А — кольцо главных идеалов. Рассмотрим линейное отображение / свободного А-модуля Л ранга т в свободный А-модуль Ь' ранга и. Предыдущие результаты позволяют нам путем надлежащего выбора базисов в Ь и Л' получить матрицу отображения / в наиболее простом виде, который называется канонической форллой этой матрицы. Пвкдложзнин 4, Пусть А — кольоо главных идеалов и линейное отображение ранга г свободного А-модуля Л ранга пл в свободный А-модуль 1' ранга и. Тогда существуют базисы (е;) (1 <л <т) в Е и (е;') (1(1<п) в Ь' такие, что 1 (е ) = а;е'; при 1 < л <г и ~ (ел) =- О при 1 г; элементы а; ненулевые, каждый иг них делит последующий, и идеалы Аал являются инвариант- ными факторами подмодуля ~ (1) в й' и, следовательно, определяются однозначно.
мОдули копечнОГО типА нлд кольцом ГПАВных идеАлОВ 57 -1 Пусть Оо — — Г' (0) — ядро отображения ). Фактормодуль А')Ао иэоморфен подмодулю 1 (Т,), который является свободным подмодулем свободного модуля П ($ 3, теорема 1). Следовательно, Т,г обладает в Ь дополнением Т„(гл. 11, 1 1, и' 6, следствие предложения 4) и суягеиие у на Ь, является изоморфным отображением 1., на ~ (О) = М'. Если идеалы Аа; (1<~ <г) — ипвариаитные множители подмодуля М' в Т', то по теореме 1 в Т,' существует базис (е,:) (1 <1 < п) такой, что элементы (а; е,') (1 <1 < г) являются базисом подмодуля М'.
гак как сужение г' на Ь, есть иаоморфиэм Т,, па М', то в Т., существует такой бааис (е ) (1<г<г), что г'(е;) = сс;е(. Этот базис Т, можно дополнить элементами базиса (е,) (г+ 1<с<к) ядра Тр до базиса (еь) (1 < )с < п) всего модуля Т,. Следствие 1.
Пусть Х вЂ” матрица ранга г иг т строк и и столбцов над кольцом главных идеалов Л. Тогда существует матрица Хг, гквиваленпаная Х (гл. 11, з 6, и' 10, определение 6) и имеющая вид а,0...00...0', Оиз...00...0 00...а0...0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 где а; — ненулевые элементы кольца А, каждый иг которых делипг последующий. Этими условиями элементы а~ определ ются однозначно с точностью до обратимого множителя. Говорят, что матрицы Х и Х' эквивалентны, если существуют такие обратимые квадратные матрицы Р и (~ над кольцом Л, что Х' = РХ(~. Следствие 1 является перефразировкой предложения 4 на матричном языке (см. гл.
11, 1 6, п' 10). В обозначениях предложения 4 н следствия 1, ненулевые идеалы Аа; называются инвариантными фактор ми линейного отображения у или матрицы Х. Гогда иэ следствия 1 немедленно получаем Следствив 2. для того чтобы матрицы Х и Х' иг и строк и т столбцов над кольцом главных идеалов А были эквивалентны, 58 модули над кольцамн главных идвалов гл. чи, 14 необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые инвариант- ныг факторы. Заметим, что если А — поле, то все а; можно считать равными 1, и мы получили новое доказательство предаожения 9 гл. 11, 1 6, пе 10.
Если Х вЂ” матрица линейного отображения 1 относительно некоторого базиса модуля В и некоторого базиса модуля Ь', то столбцы матрицы Х состоят из координат образующих элементов г (Л) относительно базиса в Ь'. Следовательно, из предложения 3 (п' 4) сразу получаем следующий результат: Нввдложвнив 5. Пусть Х вЂ” матрица ранна г над кольцом главных идеалов Л и Ла~ (1а;(<г) — ег инвариан ныг факторы.
Тогда ец есть н. о. д. злгменгпов матрицы Х, и, вообще, произведение ссг... ич (д < г) есть н. о. д. миноров порядка д матрицы Х. 6. Абелевы груннм нонечного тюпа Абелева группа без операторов (в аддитивной записи) каноническим образом наделяется структурой унитарного модуля над кольцом Я (гл. 11, $1, и' 1); поэтому к ней применимы определения и результаты для модулей над 'кольцом главных идеалов. Наиболее важным является результат и' 3, который мы для случая Л =- Е сформулируем заново: Твогвма 3. Всякая абглгва группа 6 конечного ранга являгтсл прямой суммой своей подгруппы кручения Р (подгруппы элементов конечного порядка группы г") и свободной абелгвой группы конечного ранга р (изоморфной Ег).
Группа р есть прямая сумма конечного числа циклических групп иорядков и,, пэ,, и, где и; > 1— з(глыг числа, каждое из которых делит иргдыдущее. Кроме того, .целые числа р, д, и; (1 <(< д) однозначно опредгляютсд группой 6. 3 а м е ч а и и е. В то время как лорлдли щ,..., лч циклических групп, в прямую сумму которых равлагается группа Р, определяются однозначно условием делимости в теореме 3, этого нельзя сказать о самих циклических группах:например, если групва С есть прояэведение факторгруппы Я/(р) на самое себя (р — простое), то подгруппы являются подпространствами над полем Рр и группа С может р (р+ 1) различными способами быть разложена в прямую сумму двух одномерных надпространств.
7 мОдули кОнечнОГО типА нАд кольцом ГлАВных идвАлОВ 5Я Следствик 1. В конечной абглгвой группг 6 существует элемент, порядок которозо равен н. о. к. порядков всех элементов группы 6. Этот порядок п, есть первый инвариантный фактор группы 6, Следствие 2. Конгчная абглвва группа, порядок которой нг делится на квадрат целого числа ~ 1, является циклической. В самом деле, порядок такойгруппы имеет вид п =- рсрз...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
