Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 10
Текст из файла (страница 10)
упражнение 8). 7) Пусть А — кольцо главных идеалов, обладающее единственным максимальвым идеалои Ля (см. 1 1, упражнение 4). Пусть Е— А-модуль без кручения и М вЂ” свободный подмодуль в Е такой, что фактормодуль Е/М ве имеет кручения и является делимым модулем ранга 1. Пусть (еи) — бава модуля М, и — ненулевой элемент фактор- модуля Е/М, и — элемент смежного класса и; через и„, л ) О, обозначим такой элемент модуля Е, что к ж я"и„(шоб М). Положим = ".+ХЛ.,~. а) Доказать, что Е порождается модулем М и элементами и„ и имеет место включение Л„„— Л„еь „б Ая" для всех и и всех целых чисел и ~ 0 (сы. упражнение ба)). 'б) В дополнение к предыдущему предположим, что кольцо А полно в топологии Я', определенной в А, если в качестве фундаментальной системы окрестностей нуля в А ваять идеалы Ая" (Общ.
топол., гл. 1!1, $ б, и'4). Положим Л„= Пт Л „. Доказать, что если я-~ числа р и р таковы, что элеыевт ри — ~~~~ р„е„принадлежит всякому а подчодулю я"Е, то необходимо выполняется равенство ра = Лак при всех н., 'е8) Пусть А — кольцо главных идеалов, обладающее единственным максимальным идеалом Ля и полное в топологии, определенной в упражнении 7. а) Доказать, что всякий А-модуль без кручения Е конечного ,ранга, не содержащий делимых нодмодулей„свободен (рассмотреть лодмодуль М модуля Е, порожденный некоторым макспмальпым лсевдосвободным множеством; доказать, используя упражнения бб) н 7б), что если М ~ Е, то модуль Е содержит делнмый подмодуль). б) Пусть (а„)„ьо — каноническая бава свободного модуля Е = 1(л) (пряиая сумма бесконечного числа модулей, язоморфвых А), ы пусть е„= а„, — а„для всех целых чисел и 1.
Доказать, что подмодуль М модуля Е, порожденный элементами г„, чистый, и элементы га образуют максимальное псевдосвободное мнгокество, по фактормодуль Е/М является делимым к, следовательно, модуль М ле обладает дополнительным подмодулем в Е., 9) Пусть р — простое число, А — кольцо рациональнмх чисел .вида г/з, где з взаимно просто с р. Пусть и =- (1, 0) и и = (О, 1) — элементы канонического базиса векторного пространства Е=(зз над полем й. В пространстве Е 46 мОдули ИАд ИОльцАми глАпных иднАлоп гл. У11, 1 е определим индукцвей по в последовательность элементов и„: ас —— а н ва = риоо»+ о для а ~~ О. Пусть г — А-модуль, порожденный элементом о и элементами а„. Доказать, что, хотя модуль г" и не является свободным, тем ве менее он не содержит делвмых подмодулей (см.
упражнение 8а)). "10) Пусть А — кольцо главных идеалов, обладающее бесконечным множеством максимальных идеалов. Доказать, что для любого беевояечаоео множества 1 А-модуль, являющийся проиююдевием А, 1 яе будет свободным. (Донаэательство свести' к случаю, когда 1— множество целых чисел ) 1. Далее рассуждать от противного.
'надлежащим образом упорядочить последовательность координат, доказать, кроме того, что существует такая последовательность (а„)„! элементов базиса, что если а„= (и„,), то»(еС (и»1)! <„»;<а Ч'= О длл всех индексов я. Определить вектор х=($„)„! в А таким образом, чтобы 1 для любого индекса и существовали экстремальный элемент я„и конечная последовательность элементов ()о» (1 а; » ( а — 1) кольца А а-! такие, что все координаты вектора х — о„— ~ ()а» а; (в А ) кратны 1 »=1 элемевту я . Рассуждение вести по индукции.
Пусть я», $» и Р»1 определены для» ( а, 1 (»; в начестве я веять элемент, не ассоциированный с элементами я; при» ( и и не делящийся на»)ес (ссу) (1 «( ! ( и, 1 «(1 «( а); затем определить»)ь1 (1 (1 ( а - 1) и $а к применить »Квтайс»»ую теорему» (гл.
Ч), $1, упражнение 25). Сделать ото»ода вывод о существовании линейной комбинации базисных элементов кольца А", коэффициенты которой взаимно просты в совокупноств и для которой выполвяется равенство д = яе, где е б А и я в экстре- 1 мальва»й элемент кольца А.) $4. Модули конечного типа над кольцом главных идеалов Напомним, что модуль М над кольцом А называется модулем конечного типа, если он обладает конечной системой образующих Я 2, и' 2). 1. Конечные прямые суммы моногенныгс модулей Пусть А — коммутативное кольцо с единицей.
Напомним (гл. 11, 2 1, предложение 11), что всякий моногенный унитарный А-модуль изоморфен д»акп»ормодрлю А»а, где а — идеал кольца А. В этом параграфе (и' 3) будет показано, что всякий модуль конечного типа над кольцом главных идеалов разлагается в прямую сумму конечного числа моногенных модулей. л ИОдули конечного типА нАд кольцом ГлАВных идеАлов 47 Леммл 1. Пусть Š— унитарный модуль над коммутативным кольцом А, М вЂ” подмодуль в Е, / — канонический гомомор1бигм.
модуля Е на фактормодуль Е/М, / — гомоморфигм внешней алгебры Д Е на внешнюю алгебру Д (Е/М), полученный из / каноническим продолжением (гл. 111, $5, и' 9). Тогда ядро / является двусторонним идеалом а алгебры Д Е, порожденным М. Так как /(М) = (о), то / (а) = 0 и, следовательно, а содержится в ядре /. Переходя к фактормодулю, получаем, что/ является гомоморфнэмом д факторалгебры (Д Е) /а на модуль Д (Е/М), Лемма будет доказана, если мы покажем, что д является на самом деле нзоморфиэмом.
Для докаэательства определим отображение Ь алгебры Д (Е/М) на факторалгебру (Д Е)/а такое, что композиция Ь и д будет тождественным автоморфизмом фактор- алгебры (Д Е)/а. Заметим, что всякий элемент идеала а представим в виде суммы элементов вида и Д х Д э, где и Г Д Е, у Е Д Е и х Е М. Разлагая элементы и и э в сумму однородных элементов, получим, что идеал а разложим в прямую сумму однородных компонент а„= (Д Е) Да.
Следовательно, (Д Е)/а является прямой суммой однородных компонент ( Д Е) /а„(гл. 1, 1 6, предложеи ние 5). Пусть у„— сужение отображения у на (Д Е)/а„. Теперь достаточно для любого и определить отображение Ьи модуля и и Д (Е/М) на модуль (Д Е)/а, так, чтобы композиция Ь„у была тождественным отображением модуля (Д Е)/а„на себя, Для этого рассмотрим полилинейное отображение Ь„модуля Еи в модуль (Д Е) /а„которое смежному классу элемента (хо..., хи) ставит в соответствие смежный класс элемента х, Д ... Д х„ и в (Д Е)/а„. Так как Ь„(х„..., х„) равно нулю всякий раз, когда один из х; принадлежит М, то Ь„индуцирует полилинейное отображение Ь„модуля (Е/М)" в (Д Е)/а„. По определению„ отображение Ь„является кососимметрическим, следовательно, таковым же является и отображение Ьи и тем самым (гл.
111, ~ 5,,схолня к определению 5) определено линейное отображе- 48 ИОдули нАд БОльцАми ГлАВных идеАлОВ Гл. ун. $ а ние Ь„модуля /~ (Е/М) в модуль (/! Е)/а„. Так как отображение у„ставит в соответствие смежному классу элемента х, /! ... /!, х„ и а в (/! Е)/а„элемент / (х,) /! ...
/! / (х„) в /~ (Е/М), то ясно, что композиция Ь„л у„является тождественным автоморфизмом модуля (/! Е)/а„. Предлонсение 1. Пусть Š— унитарный модуль над коммутативным кольцом А; предположим, что Е есть прямая сумма и моногенных модулей А /аь (1 < Ь < и), где аь — идеалы кольр ца А. Тогда для любого целого числа р ) 0 модуль /~ Е является прямой суммой модулей А/ан, где через ан для любого подмножества Н = (Ь!, ..., Ьр) из р элементов отрезка натуравр ного ряда 11, п1 обозначен идеал ~~~~ аь кольца А, порожденный 3=! объединением идеалов аь (1 </<р). Пусть хь — обрааующий элемент модуля А/аю являющийся каноническим образом единицы кольца А. Пусть (4) (1 ч:..
Ь < и)— канонический бааис модуля А", / — гомоморфизм модуля А" на модуль Е, определяемый равенствами / (еь) = — хь (1 <Ь < и), и/ — гомоморфизм алгебры Д (А") на алгебру ДЕ, полученный кар ионическим продолжением /. Для любого целого р модуль Д (А") является свободным модулем с базисом (ен) = (еь, /! ° ° ° /! еа ) где гг = (Ь!,..., Ьр) пробегает всевозможные р-элементные подмножества отрезка натурального ряда [1, п) (гл. 111, $ 5, и' 9), Так как ядро отображения / является суммой ~~~~ аьеь, то ь=! ядро отображения / порождается элементами суммы ~ аь еь ь=! в силу леммы 1. Это ядро состоит из суммы элементов вида и/~х/~ р, где иб/!,(А"), рЕ/~(А") их=~~~~аьею избою ь=! Если записать и и р как линейные комбинации алементов канонического бааиса А-модуля Д (А"), то станет очевидным, что ядро отображения / состоит иа сумм элементов вида.
а еь, /~ .. /~ еь, мОдули кОнечнОГО типА ИАд НОльцом ГлАВных 11двАлов 49 где к принадлежит по крайней мере одному из идеалов а» (1</<д). Другими словами, ядро отобрагкеяия / есть прямая сумма модулей ане, где Н пробегает всевозможные подмнопгества отрезка натурального ряда 11, п). Отсюда легко получается нужный результат. 3 а и е ч а в п е, Можно доказать, что внешняя алгебра у», (~~~~ Е») 1 конечной прямой суммы у, Е1 А-модулей иаоморфпа, как модуль, 1 тепаориому произведению ® (ЛЕ1) (см. гл. 111, 1 5, упражнение 7).
Примевим вто соображение для доказательства предложевпя 1: имеем Е = — ~~~~~ Ахо так что впешвяя алгебра у»,Е паоморфпа (как модуль) теваориому пропаведеивю Е) (у», (Ах»)). Далее, вне»пиля алгебра ь /Х (Ах») является прямой суммой А + Ахо так как внешнее произведевпе любых двух элементов па Ах; равно нулю. Следовательно, впе1ппяя алгебра Тх е есть прямая сумма модулей, каждый иа которых является прямой суммой некоторого числа Ах» (см. гл. 1и, 1 1, предлоя1еппе 7), так как (Ах» ) ®... ® (Ах» ) — мопогеквый А-модуль, аппулятор которого есть сумма авпуляторов о» модулей Ах» (гл.
111, 1 1, в. 3, следствие предложения 6), то мы получаем второе доказательство предложения 1 (пе использующее лемму 1). Теперь можно заметить, что, в обозначениях предложения 1, если идеалы «» образуют возрастающую последовательность, то они однозначно определяются самим модулем Е. Более точно: Предложвние 2. Пусть А — коммутативное кольцо и Е— А-модуль, являюи(ийся прямой суммой и моногенных модулей А /а», и идеалы а» таковы, что а, с «г с...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
