Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть А — кольцо целостности, сс и р — такие элементы кольца А, что Асс+А>) = А. Тогда для всякого А-модуля М подмодуль М (ар) является прямой суммой подмодулей М (а) и М (р) и отображение, ставящее в соответствие каждому х ~ М (сср) его компоненту в М (сс) (соответственно в М (р)), является гомотетией. В самом деле, по предполо>кению, в кольце А существуют такие элементы ) и )>, что Хя + )>>) = 1. Тогда для всякого х ~ М (а))) выполняется равенство х = р (рх) >- Л (сгх), причем (фх ~ М (сс), )чих г М (р), так как сг)>рх = рсфх = О и р),ах = = )лхрх = О.
Следовательно, М (с>, 'р) является суммой М (а) и М (1>); для доказательства того, что эта сумма прямая, достаточно показать, что пересечение М (а) П М (р) нулевое; но если х ч М (сс) ЙМ (>>), то х = (Арх+ )ах = О. Наконец, компонента элемента х Е М (сср) в М (сг) равна )>рх, что и доказывает лемму. модули кРучения нАд кольцом ГлАВных идеАлОВ 29 Остается доказать, что М (я," Н>) совпадает с множеством элементов >т', аннулируемых некоторой степенью я;.
Так как М(л", О>) ~ М„и М (а) — прямая сумма подмодулей М (я> н>) и М (а;), то достаточно показать, что если элемент у Г М (а;) аннулируется степенью я>, то у = О. Но в силу тождества Безу в кольце А найдутся элементы О и а такие, что Оя~ + Оа, = 1; отсюда следует, что у=э (и; у) + О (а;у), а это и заканчивает доказательство, Теогемл 1. Пусть М вЂ” модуль кручения над кольцом главных идеалов А и ̄— его подмодуль, состоящий из элементов, аннулируемых некоторой степенью экстремального элемента я ~ А, Если Р— система представителей экстремальных элементов кольца А, то М разлагается в прямую сумму п-модулей М„, и ~ Р. Для доказательства используем следующую лемму: Лкммя 2.
Пусть М вЂ” модуль кручения над кольцом целостности А. Тогда для всякого конечного множества элементов (х;)>я>-„этого модуля в кольце А найдется такой элемент у ~ О, что все х> принадлежат М (у). В самом деле, для каждого индекса > в кольце А существует п элемент а> ФНО, который аннулирует х>, элемент у= Ц а, являет- ся искомым. Таким образом, всякий элемент х г М принадлежит некоторому подмодулю М (а), а Ф О, и, следовательно, по предложению 3, является суммой конечного числа элементов, каждый из которых принадлежит некоторому подмодулю М„. С другой стороны, если ~~~~ х„= Я~ У„, где хи Е Ми, Уи Г М„длЯ всех л Е Р, и лишь иЕР кзя конечное число элементов хи и у„отлично от нуля, то из леммы 2 следует, что в кольце А существует такой элемент у ~= О, что все элементы х„и у„принадлежат одному и тому же модулю М (у); отображение на М (у), указанное в предложении 3, показывает, что хи = у„для всякого н ~ Р, а это заканчивает доказательство.
Очевндно, что если и и л — ассоциированные экстремальные элементы, то Ми = М„; следовательно, подмодули М„дан- 3О модули нАд кОльцАми глАВных идеАлОВ Гл, ч11, $2 ного модуля М зависят только от максимальных (главных) идеалов (я) кольца А; эти идеалы нааываются и-компонентами модуля М, а разложение модуля М в прямую сумму модулей Ма называется каноническим разложением модуля М в прямую сумму его я-компонент. Следствие. Всякий подмодуль )1" модуля кручения М является прямой суммой подмодулей Л1 (") М„. Это следует иа того, что )ч" П М„является я-компонентой )тя модуля ))1. 3 а меч а и не.
Ясяо, что аинулятор любого ненулевого алемента я-модуля имеет вяд Ая" (х ) Π— целое число), ибо это главный идеал, содержащий некоторую степень алемеита и. Пусть х — элемент модуля М; ого авиулятор есть и. о. к. аяиуляторов тех хя, которые отлвчяы от пуля; по предыдущему, этот аииулятор равен произведеяию аяяулятороа элементов хя ~ О (гл. Ч1, $1, предложение 12 (ДЕЛ)). Опгедкление 3. Модуль М над произвольным кольцом А называется модулем конечного типа, если он имеет конечную систему образую п)их. Пгедложение 4. Если М вЂ” модуль кручения конечного типа над кольцом главных идеалов А, то все его я-компоненты, кроме конечного числа, равны нулю и отображение, которое каждому х й М ставит в соответствие его я-компоненту в я-компоненте М„модуля М, является голготетией.
Это немедленно следует из предложения 3, так как по лемме 2 з кольце А существует такой элемент сс-ь О, что М = М (и). Важный случай применения теоремы $ и предложения 4 получается, если положить А =Я; ю=модули представляют собой не. что иное, как абелевы группы (записываемые аддитивно). Абелевз группа называется группой кручения, если она является Х-модулем кручения, то есть если все ее элементы имеют конечный порядок. Пусть Р— множество положительных простых чисел. Абелева группа пааывается р-группой, если все ее элементы имеют- порядок, равный степени положительного простого числа р. В этой терм11иологии теорема 4 показывает, что всякая группа кручения является прямой суммой р-групп — р-компонент данной группы; для конечной группы множество р-компонент, отличных от единичной подгруппы, конечно.
л модэли кггчкння нлд кольцом главных идвллов 3$ 3. Примепепиис 1. Каноническое раалолсенме рациональных чисел и рациональных дробей от одпого переменного Ткогвмь 2. Пусть А — кольцо главных идеалов, К вЂ” вгэ пеле дробей и Р— система представителей экстремальных элементов кольца А. Для произвольного элемента х г К в Р существует такое конечное подмножество Н, что х может быть представлен в виде х=аэ+ ~ арр- 0~, ген гдг ас, ар — элементы кольца А, ар не делится на р, и г (р)» О— целые числа.
При этом Н и числа г (р) определены однозначно. Если, кроме того, Вр есть подмножество кольца А, содержащее по одному элементу из каждого класса по шоб р (р ~ р), то всякий х Е К единственным образом может бьипь записан в виде х=а+ ~ ~ грьр ', г е Р л=1 где а Р А, элементы грь с Вр и лишь конечное число их отлично ет нуля.
Обозначим через К„поле К, рассматриваемое как А-модуль. Тогда А есть подмодуль в К„, порожденный единицей, а модуль К„/А — фактормодуль по отношению эквивалентности х' — х ~ А, которое в обозначениях гл, Ъ'1, з 1, и' 5 может быть записано е виде х — = х' (шоб 1); обозначим через / каноническое отображение модуля Кл на М = Кл/А. Модуль М есть модуль кручения, так как всякий его элемент имеет вид/ (а/6) (а Е А, 6 ~ А, 6~0), откуда 6/ (а/6) = / (а) =О.
Следовательно, к нему можно применить теорему 1 и' 2. Пусть Мр (р с Р) — подмодуль в М, состоящий из элементов, аннулируемых некоторой степенью элемента р (р-компонента модуля М); тогда / т (Мр) является подкольцом Кр, состоящим из элементов К вида ар ", где а ~ А и и )~ Π— целое число. Так как М есть прямая сумма модулей Мр, то х ~ К сравним с некоторым элементом суммы подколец Хр, другими словами, можно написать формулу (1), где з (р)) Π— целые числа, (ар/ — конечное множество элементов А и ар не делится на р.
32 модтли нлд кольцами главных идиллов гл. тп, о 2 Покажем, что эти условия, наложенные на г (р) и ар, определяют ЕХ и г (р). В самом деле, в этом случае Н есть множество элементов р б Р таких, что компонента[(х) в Мр не равна нулю. подругой стороны, если г, г ) Π— целые числа, г~г', а и а'— элемепты А, не делящиеся на р и такие, что ар-' = а'р "(шов[ 1), то а = а'р' — ' (шов[ р'); если бы выполнялось неравенство г) г', то было бы справедливо сравнение а вв 0 (шов[ р), что противоречит предположению. Это рассуждение покааывает, кроме того, что всякое ар вполне определяется пошо1[ риро.
Для завершения доказательства заметим сначала, что в каждом классе кольца А по шов[ р' существует единственный алев — 1 мент вида ~~" грр", где гр ~ Вр для О<6<о — 1. В самом деле. л=о применим индукцию по го для г = 1 утверждение следует из определения Вр, пусть, по индуктивному предположению, в классе х в — 2 по шов[ р'-1 существует единственный элемент вида ~ гр рл л=о в — 3 (гр ~ Вр); тогда х — ~~~~ гррл является кратным ар' 1 степени л=о р* 1 и существует единственный элемент г, 1 Е Вр такой, что в-1 а ж г, 1 (шо6 р).
Отсюда следует, что х рн ~~" гррл (шод р'). л=о Для получения формулы (2) достаточно применить зто рассуждение к каждому ар в формуле (1). Единственность, ввиду написанного выше, очевидна. Укажем наиболее важные случаи применения теоремы 2. 1. А = Я вЂ” кольцо цглых рациональных чисел, и К = Я. В качестве Р берется множество строго положительных простых чисел, а в качестве Вр для любого р ~ В берется интервал [О, р — 11. Тогда получится каноническое разложение х=а+ ~ Я ерлр-л, рЕРЛ=1 где а с Х, ерл Е Я, 0 <ерл <р — 1. 11. А = Е [Х] — кольцо многочленое от одного переменного над полем Е, К = Е (Х).
В качестве Вр берется множество унитарных неприводимых многочленов кольца Е [Х) (3 1, и' 4). Из алго- а модули кРучения ИАд кОльцОм глАВных иделлоВ 33 ритма Евклида следует, что в качестве Лр для любого р Е В (гл. Ч1, $1, и' 5) можно взять множество многочленов степени строго меньшей, чем степень Р. Тогда получится каноническое разложение рациональной дроби г (Х) Е Е (Х): г(Х)=а(Х)+ ~ ~ трь(Х) р(Х)-ь РВРЬ=! где а (Х) — многочлен, р (Х) — различные унитарные неприводимые многочлены, трь (Х) при любых р и й — многочлены, степени которых строго меныпе, чем степень р (Х). В частности, если Е— алгебраически замкнутое поле, то р (Х) имеет вид Х вЂ” а, а Е Е (гл. Ч, 4 4, предложение 1), а трь (Х) — константы, Следовательно, можно сказать, что векторное пространство Р (Х) нзд полем Х имеет в качестве (линейного) базиса множества одночленоа Х" (л )~ Π— целое) и рациональных дробей вида Хе1/р (Х)", где р пробегает множество Р и для всякого р, А пробегает множество целых чисел )1, а ю — множество чисел О ( ю ( Йея р.
Лкммь 3. Для всякого целого числа )с,р 0 выполняются сравнения: (1+ р)ка = — 1+ р"- ( а р' ) (3) для любого простого числа рь 2; 5з аа 1+ 2"+г (шой 2"+з). (4) 3 н. Втрвзки 4. Прымененылг .ТХ. Мульмьип.епматыатгам группа целых насел по шой а Пусть а ) 1 — целое рациональное число и 6 (а) — мультинликативная группа обратимых элементов кольца Е/(а). Если а = Ц р~ — разложение числа а на простые множители, то гт е(О Я/(а) изоморфно произведению колец Е/(рГ~О) (З 1, и' 2, предложение 4); по определению произведения колец (гл. 1, $8, и' 10, определение 9), группа 6 (а) изоморфна произведению групп 6 (р",(О).
Таким образом, все сводится к изучению групп 6 (р"), где р — простое число. Необратимые элементы кольца Я/(р")— это элементы единственного максимального идеала (р)/(р") этого кольца (гл. !, т 8, теоремы 1 и 5), то есть классы кратных р по шой р", и поэтому порядок у (р") группы 6 (р") равен р" — р" ' = —. р"- (р 1). Мы воспользуемся в дальнейшем следующей леммой: 34 мОдули нАд кОльцАми ГлАВных идвАлОВ Гл, чзц $2 Для й = 0 сравнение (3) очевидно; для й = 1 оно следует из того, что биномиальные коэффициенты ( ~ )(1 < г - р) — целые 'г/ числа, кратные р (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
