Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Показать, что, обратно, если всякий идеал Аеая и всякий идеал едЛА содержат едивственный минимальный идеал, то алгебра А инзолютивна. (Используя упражнение 21 1 6, показать, что кюкдое основание левого цоколя Ю является минимальным двусторонним идеалом, вывести отсюда, что о" ~ Т и затем о = Т; доказать, наконец, что выполнены условия а,) и ал) упражнения 11 1 2.) в) Пусть А — алгебра конечного ранга над полем К. Показать, что если А — инволютивное кольцо, то ее линейное представление, ассоциированное с левым А-модулем Аея,ььм подобно транспояироваияому линейному представлению алгебры Ае, ассоцнироваяному с правым А-модулем еь„А.
(Пусть (ХА — подпространство в А'", ортогональное к (1 — еьяА); используя а), показать, что левый А-модул ь (гь (упражнение 4а)) из оморфен фактормодулю модуля А е,цьь1 и, следовательно ($2, увражнепие 11) длина модуля Аеьл не прево- ЦОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. Чыт, $13 сходит длияы е1е„,аь.'. Вывести отсюда, что эти длины должяы быть равны и поэтому подпрострапство ПА пзоморфно Аел,аьь) Доказать обратное утверждение (пспольаовать б) и упражнение 4а)). 6) а) Показать, что если (в обозначениях н предположеязях упражнештя 56)) А — фробениуеовв кольцо (т 4, упражнение 10), то для любого й (1 ( )е ( г) справедливо равенство ( (л ()е)) =-/ (й).
Доказать обратное утверлвдеяне. б) Показать, что алгебра А конечного ранга над нолем К фробенпусова тогда н только тогда, когда ее регулярное представление подобно ее корегулярному представлению (испольаовать упражне-' ние 5в), а такнве теорему 1 $ 2, и' 2). ПРИЛ ОЖ ЕНИЕ АЛГЕБРЫ БЕЗ ЕДИНИЦЫ Во всем этом приложении К вЂ” поле, А — алгебра над полем К, с единицей или бев единицы. Напомним, что, по определению, идеал (левый, правый или двусторонний) алгебры А устойчив относительно операторов иэ поля К, то есть является векторным подпространством над К (гл.
1, т 8, и' 5, определение 5). .г..Рееуляунме тгдеалм Определим на множестве А = К м А следующие ааконы композиции: (Л, а)+(р, Ь) =(Л+р, а+Ь), (Л, а) (р, Ь)=(Лр, аЬ+ра+ЛЬ), Л(р, а) =(Лр, Ла). Легко проверяется, что множество А, наделенное этими законами композиции, является алгеброй над полем К. Элемент е = (е, 0), где е — единица поля К, будет единичным элементом алгебры А.
Множество (О) х А является в А двусторонним идеалом, и отображепие х -~ (О, х) является изоморфизмом алгебры А на подалгебру (0) Х А, посредством которого эти алгебры отождествляются. А называют алгеброй, полученной иг А присоединением единицы. Предложения 1. а) Пусть а — левый идеал алгебры А, не содержащийся в А. Существует такой элемент и ~ А, что и — е Е а; левый идеал а = А Д а алгебры А обладает свойством хи — х Е а для любого х ц А, и а = а + К (и — е). 20 н. втрбаии пгиложкник б) Пусть д — левый идеал алгебры А и злгмгнт и й А таков, что хи — х Е а для любого х ЕА. Пусть а = а + К (и — в).
Тогда а — левый идеал в А, нв содвржагцийся в А, и а = А Д д. а) Так как, по предположению, а не содержится в А, то, по определению А, в а существует элемент вида о — Лв, где и б А и Л Е К, Л Ф О. Положив и = Л-' и, убедимся, что и — е й д. Ясно, что а =- а + К (и — е); кроме того, если х Е А, то хи — х =- .
= х(и — в) Еа, так что хи — хЕа. б) По предположению, х (и — г) = хи — х й а для любого, х ~ А, то есть Аа = Аа + А (и — в) ~ д; так как д является векторным пространством над К, то а будет левым 'идеалом в А, не содержащимся, очевидно, в А, и при этом а = А Пд.
Опгкдклкник 'г. Пусть а — левый (соответственно правый) идеал алгебры А. Элемент и й А такой, что хи — х й а (соответственно их — х й д) при любом х й А, называется правой (соответственно левой) единицей по модулю а. Идеал а называется регулярным, если сущлствувт правая (соответственнолгвая) единица по модулю а.
Если алгебра А имеет единицу г, то $ является правой (соствегсгвенво леной) единицей по модулю любого левого (состветствеино правсгс) идеала алгебры А. Пусть а — регулярный левый идеал алгебры А, и — правая единица по модулю а. Если Ь ~ а — произвольный левый идеал алгебры А, то и — правая единица по модулю Ь, и следовательно, идеал Ь регулярен. Для любого левого идеала алгебры А утверждение, что он максимален и регулярен, равносильно тому, что он является максимальным элементом в множестве регулярных идеалов, отличных от А. С другой стороны, если а ~ А, то и б а.
Применяя теорему Цорна к индуктивному множеству левых идеалов, содержащих а и отличных от А, получаем следующий результат. Пгкдложкник 2. Всякий регулярный левый (соответствекно правый) идеал, отличный от А, содержится в макси льном регулярном левом (соответственно правам) идеале.
3О7 АлГеБРы Беэ единицы Пгедложение 3. Предположим, что алгебра А коммутативна. Пусть а — идеал в А. Для того чтобы идеал а был максимальным регулярным идеалом, необходимо и достаточно, чтобы удакторалгебра А/а была полем. В самом деле, пусть х -+ х — каноническое отображение алгебры А на А/а. Идеалы алгебры А/а являются образами при этом отображении идеалов алгебры А, содержащих а. Следовательно, если А/а — поле, то идеал а максимален с другой стороны, всякий элемент алгебры А, образ которого в А /а равен единице поля А/а, является единицей по модулю а. Обратно, пусть а— максимальный регулярный идеал и и — единица по модулю а.
Тогда и — единица кольца А /а. Кроме того, единственными идеалами вА/а являются А/а и (0), то есть А/а — поле (гл. 1, э 9, и' 3, предложение 3). 3 а м е ч а н к е. Можно определять регулярные идеалы н в предноложевнн, что К вЂ” коммутатнаное кольцо о елнннцей н А — алгебра над К. Предложения 2 н 3 остаются в этом случае в силе, так нак условие, что К вЂ” поле, в ннх нэ нснольэуетсн. Пусть 3 — множество левых идеалов алгебры А, не содержащихся в А, В силу предложения 1 отображение в -~ а П А множества 5 во множество регулярных левых идеалов алгебры А сюръективно, но, вообще говоря, не инъективно (упражнение 4). . Однако имеет место Пгедложение 4. Пусть а — максимальный левый идеал в А и а = а П А.
Отображение а -ч. а яв яется биекцией множества максимальных левых идеалов алгебры А, отличных от А, на множество максимальных регулярных левых идеалов алгебры А. Пусть а — левый идеал в А, не содержащийся в А, а = = а П А и и — правая единица по модулю а. Предположим, что а содержится в левом идеале Ь алгебры А, отличном от а и А. Тогда и является также правой единицей по модулю Ь й Ь = Ь + Ж (и — е) — левый идеал алгебры А, содержащий а (предложение 1) и отличный от А и от а. Пусть теперь а содержится в левом идеале Ь алгебры А, отличном от А и от а.
Так как аПА и Ь ПА имеют соответ20э пгиложннин отвеина в а и Ь факторраэмерность 1, то из условия а () А=Ь () А следует а = Ь; поэтому ' а = а + К (и — е); кроме того, Ь()А чь Л, так как иначе выполнялось бы равенство Ь = А, так как Ь не содержится в А. Это показывает, что а -~- а () А — сюрьектиеное отображение множества )К максимальных левых идеалов алгебры А, отличных от А, на множество максимальных регулярных идеалов алгебры А. Остается показать, что если а и Ь вЂ” элементы множества Ьй, то равенство а () А = Ь() а влечет а = Ь; Однако по предложению 1 имеем равенство а = а+ К (и — е), где и — правая единица по модулю а. Достаточно, следовательно, доказать следующую лемму: Лэмма 1. Пусть а — максимальный регулярный идеал алгебры А, и и з — дге правые единицы по модулю а, Тогда и — зла.
В -самом деле, для любого х б Л выполяяется равенство х (и — з) = (хи — х) — (хг — х) б а, и поэтому а + К (и — а) является левым идеалом в алгебре А. Если и — ь б а, то а+ К(и — э) =А, откуда и = йэ+ ю, где А~К, 1~1 и ю ~ а; отсюда х (Х вЂ” 1) з Е а при любом х Е А, то есть хе ч а, и поскольку, по предположению, хз — х ~ а, то х Е а; следовательно, а = А, что неверно. Применяя предложения 1 и 4 к кольцу А', мохгно получить аналогичные предложения для правых идеалов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
