Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Яос., (1), 3 (1870— 1871), стр. 220). ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ УГИ вне возможных структур,и именно этот факт, беа сомнения, побудил исследователей к поискам классов алгебр с более специальными свойствами. На континенте, где развитие идей шло несколько иначе, подобные исследования начались незадолго до 1880 г. В 1878 г. Фробениус доказал, что кватернионы образуют единственный пример некоммутатнвного тела (конечной размерности) над полем действительных чисел ((У111а), стр. 59 — 63); двумя годами позже этот результат был неаависнмо опубликован К .
С. Пирсом (У1Ц. В 1861 г. Вейерштрасс, уточняя одно замечание Гаусса, охарактериаовал в своих лекциях коммутативные алгебры без нильпотевтвых злементов *) над В и С как прямые суммы полей (изоморфных .В илв С) со своей стороны к 1870 г. к тем же результатам пришел Дедекпнд в свяви со своей концепцией «гиперкомплекса» в теории полей; доказательства их опубликованы в 1884 — 1885 гг.
Я1Х) и (Ха)). В этом же 1884 г. Пуанкаре в своей короткой и очень лаконичной ааметке привлек внимание к тому, что УРавнениа »; = ~Р~(х„ ..., х„, У,... „ Ре), выРажающие мУльтипликатявный закон в алгебре (~ч~~х««~) (~у;е«) = ~««е«, можно рассматривать » « » как определяющие (равумеется, локально) некоторую группу Ли.
Это замеяакие, видимо, произвело большое впечатление на Ли и его последователей (Студи, Шефферс, Ф. Шур н несколько поаже Молин и Э. Картав), именно в вто время занимавшихся теорией «непрерывных» групп и особенно проблемами класснфикацни (см,, например, (Х11), стр. 387); в течение 1885 — 1905 гг. математики втой школы в соответствии с идеей Пуанкаре применяли к научению структуры алгебр методы, использовавшиеся нми при изучении групп и алгебр Ли.
Эти методы основаны прежде всего на рассмотрении характеристического многочлена проиввольиого элемента алгебры относительно ее регулярного представления (этот многочлен уже встречается в указанных выше работах Вейерштрасса и Дедекннда) и разложении этого многочлена на неприводимые множители; в атом равложепни, как несколько позже обнаружил Фробениус, отражается разложение регулярного представления ка неприводимые компоненты. В ходе исследований алгебр школой Ли постепенно выделились «внутренние» понятия этой теории.
Понятие радикала появилось в частном случае (когда факторалгебра по радикалу — прямая компоаиция тел) у Г. Шефферса в 1891 г. (Х11) и более отчетливо у Молина (Х 111а) и Картана (Х 1Уа), которые научали общий случай (само слово «радикал» принадлежит Фробекиусу (У111)). Студи и Шефферс (Х11) четко определили понятие прямой ко»шознции алгебр (предвиденное уже Б. Пирсом ЯЧ), стр.
221)). Нако- *) В действительности Вейерштрасс накладывает на рассматриваемые им алгебры более сильное условие, именно, что уравнение ,+, +...+ „=0 (где а; и неизвестное х лежат в алгебре) может иметь бесконечно много корней только в случае, если все а«нвляются кратными одного и того же делителя О. 317 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧБРК К ГЛАВБ ЧГИ иец, Молин (ХН1а) ввел понятие факторалгебры некоторой алгебры, эквивалентное, в сущности, понятию двустороннего идеала (впервые определенного Картаиом (Х 1Ча)) и гомоморфивма (наавание также принадлежит Фробениусу); в этих понятиях очень отчетлива связь с группами, и несколько позже, в 1904 г., Эпштейн и Веддерберн рассмотрели композиционные ряды двусторонних идеалов и распространили на них теорему Жордана — Гельдера. Наиболее значительные результаты етого периода принадлежат Ф.
Молину (Х111а). Руководствуясь аналогией с понятием простой группы, он определил простые алгебры (над С) и доказал, что они являются алгебрами матриц, а затем показал, что иаучение структуры проиавольной алгебры конечного ранга над С сводится, по существу, к случаю (уже изученному Шефферсом), когда ее факторалгебра по радикалу является прямой суммой тел.
Через некоторое время зги реаультаты были переоткрыты и докаваяы более строго и ясно Э. Картаном (Х1Ча); в связи с этим Картан ввел понятие полупростой алгебры и ввел некоторые числовые инвариантны (ачислз Картана», см. $6, упражнение 22), связанные с произвольной алгеброй над полем С, подняв тем самым теорию зтих алгебр на уровень, с тех пор еще не превзойденный *); наконец, он перенес ревультаты Молина и свои собственные на алгебры иад В. Около 1900 г.
развитие идей привело в теории линейных алгебр к снятию всяких ограничений на поле скаляров; следует отметить, в частности, сильное влияние америкавской школы, группировавшейся вокруг Э. Г.Мура н Л. Э, Диксона и иаучавгяей конечные поля; самый замечательный результат этих исследований — теорема Веддерберна (ХЧ11а) о том, что всякое конечное тело — поле. В 1907 г. Веддерберн передоказал результаты Картана и распространил их на случай произвольного поля (ХЧ11Ь) при этом он полностью отказался от методов, применявшихся его предшественянкамп (они оказывались бесполезяььчи, когда основное поле не является алгебраически замкнутым или максимальным упорядоченным), и возвра.тился к технике идемпотентов В.
Пирса, совершенствуя ее. Это позволяет ему высказать в окончательный формулировке теорему о структуре полу- простых алгебр, ивучение которых сводится к изучению некоммутативных тел. Кроме того, с его точки арения, естественно воаникает вопрос о расширении полн скаляров, и Веддерберн доказывает, что всякая полупростая алгебра остается полупростой при любом сепарабельном распшрении основного поля *") и становится прямой композицией центральных матричных е) Существенные трудности возникают при изучении радикала, для структурной классификации которого и до сих пор не найдено удовлетворительного принципа.
аа) К тому времени, когда Веддерберн писал зги работы, понятие сепарабельного расширении еще не было определено; однако ои неявно испольаует предположение, что если многочлен 1, неприводимый над основным полем, имеет корень я в расширении этого поля, то 1' (я) тз 0 ((ХЧ11Ь), стр.
103). Лишь в 1929 г. Э. Нетер выяснила положение, связанное с несепарабельностью расгяирения поля скаляров (ХХЬ). 318 ИОТОРКЧКОКИЙ ОЧЕРК К ГЛАПИ ЧРЫ алгебр, если это расширение взять достаточно большим ((ХУ11Ь), стр. 102) «). Несколько позже Диксон прп в = 3 (ХУ1Н) и сам Веддерберн при произвольном в (ХЧ11Ь) построили первые примеры пекоммутативвых тел ранга зэ вад своим центром **), положив тем самым начало теории «скрещенных произведений> и «спстем факторов>, развитой кошке Р. Брауером (ХХ 1Ч) н Э. Ветер (ХХ). Наконец, в 1921 г.
Веддерберн доказал один частный случай теоремы о коммутировапии (ХЧ11«)). Между тем в период с 1896 по 1910 г. в работах Фробениуса, Берн- сайда и И. Шура была раэввта близкая к теории алгебр теория представлений линейных групп (которая ограничивалась вначале представлениями конечных групп).
Эта теория идет от нескольних замечаний Дедекинда, который в 1880 г. (до опубликования его работ об алгебрах) при исследовании нормальных базисов расширений Галуа встретился с «групповым детерминавтом> бес (хм >), где (з>), Π— последовательность переменных, мно жество индексов которых образует конечную группу (в других терминах, ато есть норма общего элемента алгебры группы б относительно ее регулярного представления); Дедекннд обнаружил, что если группа 0 абелева, то этот многочлен разлагается иа лпнейнме множители (это обобщало одно тождество, доказанное задолго до этого для «циркулянтов>, соответствуюпшх циклическим группам 6).
В 1896 г. в очень интересной переписке с Фробенпусом (ХЬ) Дедекивд привлекает его внимание к этому свойству, к его связи с теорией характеров абелевых групп, и к нескольким аналогичным результатам для некоторых пекоммутативпых групп, полученных им в 1866 г. Несколько месяцев спустя Фробениус, благодаря своему блестящему обобщению понятия характера (Ч111Ь), о котором мы здесь не имели возможности говорить, полностью решил проблему разложения «группового детерминанта> ва неприводпмые множители. Но следует отметить, что при дальнейшем развитии этой теории «**) Фробениус все время сознает ее родство Отметим здесь еще один результат, связанный с вопросами сепарабельности (и относящийся теперь к гомологической алгебре),— разложение алгебры в прямую сумму (во не прямую компоаицию!) ее радикала и полу- простой подалгебры.
Этот результат (доказанный Молином в случае, яогда поле скаляроз есть С (см. 1 6, упражнение 12), и Картавом — для алгебр над полем Л) в общей форме сформулировав Веддерберном, который дояазал в действительности лишь то, что факторалгебра по радикалу проста ((ХУ!1Ь), стр. 105 — 109); при этом он использовал указанное выше предположение о непрпводимых многочленах. *) Арифметические исследования линейных представлений групп, начавшиеся в этот период, привели также к рассмотрению понятия, эквивалентного иейтралпвующему полю представления (ХУЙ).
*") Заметим, что Гнльберт в «Основаниях геометрии> привел пример кекоммутатпвного тела бесконечного ранга над своим центром (см. гл. 1Ч, $5, упражнение 10). «**) Часть результатов Фробенпуса независимо получена Ф. Молином в 189? г, (ХН1Ь). истОРичкскиИ ОКВРН к Главк ч111 с теорией алгебр (на котором, впрочем, не переставал настаивать в своих письмах Дедекинд); н поэтому, после того как он ввел для групп понятия неприводимого представления и вполне приводимого представления (Ч1116) и доказа~, что регулярное представление содержит все иепрйводимые представления, ов предложил применить аналогичные методы к теории Молина — Картана (ЧП!е). У Бернсайда (ХЧ1) и И.
Шура (ХЧЬ) «гиперкомплексный» аспект атой теории не выступает явно, но именно в их работах появляются иа свет фундаментальные свойства иеприводимых представлений, лемма Шура и теорема Бернсайда. Надо отметить, наконец, что именно в этой теории появляются впервые два частных случая теоремы о коммутированип; в диссертации Шура (ХЧа), где представления линейной группы связываются (именно при помощи яоммутнрования в кольце андоморфпзмов некоторого пространства тензоров) с представлениями симметрической группы, и в его работе 1905 г.
'(ХЧс), где он показывает, что матрицы, верестановочиые со всеми матрицами веприводнмого представления над полем С, являются скалярными кратными единичной матрицы 7 (этот результат вытекает также из теоремы Бернсайда). Оставалось лишь ясно выявить общий субстрат этих теорий: это стало делом немецкой школы, группировавшейся вокруг Э. Нетер и Э. Артнна, в работах которой в период 1925 — 1933 гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
