Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Чтобы убедиться в его существовании, рассмотрим отображение т; (а, х, Ь', у)-+а'и(Ф(х, у)) Ь' произведения А' Х Е Х В' х р в 6'. Это отображение, очевидно, Я-полилинейно и, в силу формул (11) и (15), удовлетворяет соотяошешзям т (а', ах, 6, у) = т (а й (а), х, Ь, у) и т (о', х, Ь', Ьу)=а'и (Ф (х, у)) й'(Ьз) Ь'! =т (а', х, Ь' й'(Ь), у) (а ~ А, Ь Е В, а' Е А', Ь' Е В', х Е Е, у б Е). Поэтому существует Е-билинейное отображение Ф' произведения Е' Х Г' в 6', удовлетворяющее условию (16) (гл. 111, приложение 11, и' 1, предложение 2).
Отсюда и иэ формулы (12), определяющей структуры модулей Е' и Р', ввиду (15), следует, что отображение Ф полуторалинейно относительно 1, что и заканчивает доказательство. Наиболее важными являзотся следующие примеры (А', В')-бимодулей 6' и отображений бимодуля 6 в 6', удовлетворяющих условизо (11): 33Ь нолхтогллннкйныв ФОРМЫ 1) С' — тензорное произведение А ' З„' С Зз В' (гл. 111. приложение 11, н' 9), и — отображение у — >1З у З1 (уб6) бимодуля 6 в 6'. Определенная таким образом пара (6', и) является универсальной в следующем смысле: для всякого (А ', В')-бимодуля 6; и всякого Я-линейного отображения и! бимодуля 6 в 6;, удовлетворяющего соотношению, аналогичному (11), существует единственное Я-линейное отображение 1 бямодуля С' в 6; такое„ что ! (а'у'Ь') =- а ! (д') Ь' (а' Е А', у'т 6', Ь' г В'); другими словами, ~ является гомоморфизмом структур бимодулей С' н 6, и и, =1ои.
2) В случае, когда А =- В =- 6 (структура (А, А)-бнмодуля в кольце А определяется левыми и правыми гомотетиями), А' =- В' и Ь = — Ь', в качестве 6' можно взять кольцо А', а в качестве и — гомоморфизм Ь кольца А в кольцо А'. 3) Предположим, что А:= В, А' =- В', Ь = — Ь', кольца А и А' коммутативны и структура 6 как левого А-модуля совпадает с его структурой как правого А-модуля. В качестве 6' тогда можно взять тензорное произведение А' Зл 6, а в качестве и — отображение д -+. 1 З у бимодуля 6 в ЬС' (структура С' как правого А'-модуля при этом совпадает с его структурой как левого А'-модуля). Мы будем говорить тогда, что билинейное (соответственно полуторалинейное) отображение Ф', определенное предложением 1 (соответственно предложением 2), получается из отображения Ф расширением основного кольца, или расширением скаляров.
Все нижеследующее справедливо равным обрауом и для билинейных, и для полуторалннейных отображений; мы сохраняем пнже условия и обозначения предложения 1 (соответственно предложения 2). Для произвольного подмодуля М модуля Е нли Е символом М' обозначим подмодуль модуля Е' нли 7', порожден-. ный каноническим образом модуля М. Пгкдложкнив 3. В условиях и обозначениях предложения 1 (соответственно предложения 2) допустим, что, сверх того, Л, В, А ', В' — тела и что отображения сг и р тензорных произведений А' З„С и 6 Зе В' в бимодуль С', определенные равенствол и сс (а' З д) = сс' и (у) и Д (д З Ь') = и (д) Ь' (а' Е А ', Ь' с В', 336 полутОРАлинейные н ИВАдРАтичные ФОРмы Гл, !х, $ ! у Е 6), инъективны. Пусть М вЂ” подпространство Е, Л! — подпространство Г.
Тогда подпространство (М')о пространства Р' ортогональное к М' относительно Ф, равно (Мо)' и точно так же (Лс )о (Лсо) В самом деле, включения (М')' с: (М')о и (Лсо)' ~ (Л!')о очевидны (впрочем, они справедливы и без предположений относительно колец А, В, А', В' и отображений а и р). Мы докажем включение (М')о с: (Мо)', предоставив читателю удостовериться в справедливости включения (Л!')о с: (Лсо)', что делается совершенно аналогично. Пусть у' с (М')'.
Тогда можно написать равенство о ! о с=льоч ( * * с=В чоо), с=! с=! где у; ~ Р (1 < ! < г) н б; — элементы кольца В', линейно независимые пад кольцом В относительно структуры В ' каи левого (соответственно правого) В-модуля, Пусть х ЕМ их' = 1 8 хг М' Тогда О=Ф'(х', у')=-. ~ и(Ф(х, у!)) б; =-р (~Ф(х, у;) 8 Ь;) (соответственно О=Ф'(х',у') =~и(Ф(х, у;)) б, =-~~Ф(х, у;) ® б;).
Но отображение р инъективно, и элементы б'; (соответственно, ввиду формулы (15), 6'!) линейно независимы над кольцом В отпо! сительно структуры В' как левого В-модуля, так что Ф (х, у;) = О для всех ! = 1,..., г. Поскольку это 'соотношение справедливо для всех х Е М, то у! б Мо, ! =- 1, ..., в, откуда у' Е (Мо)', что и требовалось доказать. Следствие. В предположениях и обозначениях предложения 3 отображение Ф' не вырождено тогда и только тогда, когда не вирождено отображение Ф.
В самом деле, согласно предложению (3) справедливы равенства (Р')' = (Р')' и (Е')' =- (Е')'. С другой стороны, отображение Ф (соответственно Ф') не вырождено тогда и только тогда, когда Р' = Е' = (0) (соответственно (Р')о = (Е')' = (О)) 3 а м е ч а н и е. Пусть А, В, А', В' — тела. Тогда отобрав!ения а и р, определенные для бимодулей С' в рассмотренных выше трех примерах, инъективны. Это немедленно следует нз результатов приложения 11, и' 6, гл.
111). 337 ПОЛУТОРАЛИНВЙНЫБ ФОРМЫ Е. Неиотот>ые уполсдестеа В этом и' приняты обозначения: А — кольцо, Х вЂ” антиавтоморфизм кольца А, Š— левый А-модуль, 6 — (А, А)-бнмодуль, Ф вЂ” полуторалинейное справа относительно Х отображение произведения Е >с Е в 6. Положим >; (х) = Ф (х, х) (х Е Е).
Очевидно, что для любых х, р Е Е справедливы равенства ~>(х+р) =~',>(х) — , 'Ф(х, у)+Ф(у, х)+~',>(у), (17) 0(~ — р)=0(*) — Ф(х р) — Ф(д, с)+(Х(р). (18) Вычитая, получим отсюда тонсдество 2 (Ф (х, р) + Ф (у, х)) = (> (х+ у) — (> (х — у). (19) Пусть аЕА. Заменив у в формуле (19) элементом ау, получим 2 (Ф (х, р) ау+ аФ (у, х)) = ч (х+ ар) — ч (х — ау). (20) Умножая (19) на а (слева) н вычитая (20), получим 2(аФ(х, у) — Ф(х, у) аг) = = а~> (х+ у) — а6(х — у) — ч (х+ ар) + у (х — ау).
(21) Пусть, например, Л вЂ” квадратичное раслгиреяие К (1) коммутативного кольца К, где >а ==- — 1 (гл. 11, э 7, и' 7), Х вЂ” К-автоморфизм и + >Р-и и — >Р (и, о г К) кольца А, и структуры бимодуля 6 как правого А-модуля и левого А-модуля совпадают. Положив в (21) а = г, получим 4Ф(х, у) =~3(*+у) — 9(х — у)+Щ(*+~у) — >>',>(х — ~у). (22) 6.
Би гинейньге и по.ьууиораминейные й>о1>мы. Ранг В этом и' приняты обозначения: А — кольцо (соответственно кольцо с антиавтоморфизмом Х), Š— левый А-модуль, Р— правый (соответственно левый) А-модуль. Кольцо А наделено структурой (Л. А)-бимодуля, определенной правыми н левыми гомотетиями. В этом случае билинейное (соответственно полутора- линейное справа относительно Х) отображение произведения Е х Е в бнмодуль А называется билинейной (соответственно 22 н. Бурбаки 333 полттогллинкннык и квлдвлтичнык еокмы гл.
гх, г 1 полуторалинейной справа относительно У) формой на Е Х Г. Если Е = Г (а значит, речь идет о полуторалинейной форме), то полуторалинейную форму на произведении Е Х Г часто называют полуторалинейной формой на модуле Е. Пусть Е и Е' — левые А-модули, Ф и Ф' — полуторалинейные справа относительно У формы на Е и Е' соответственно. Формы Ф и Ф' называются эквивалентными, если существует такой нзоморфизм и А-модуля Е на А-модуль Е', что выполняется условие: Ф' (и (х), и (у)) = Ф (х, у) для любых элементов х, у г.
Е; тогда Ф является обратным образом формы Ф' относительно изоморфизмов и и и, а Ф' — обратный образ формы Ф относительно изоморфизмов и-'и и г (и' 2). Пусть Ф вЂ” билинейная форма на произведении Е Х Г (Г— правый А-модуль). Линейные отображения ге и 0е, ассоциированные с формой Ф (и' 1 $ 2), являются тогда соответственно отображениями модуля Е в модуль Г*, сопряженный модулю Г, и модуля Г в модуль Е'", сопрлженный Е. По определению, справедливы равенства Ф (х, у) = (х, а,ь (у)) = (у, аз (х)).
(23) Определим теперь линейные отображения, ассоциированные с полуторалинейной формой. Пусть У вЂ” антиавтоморфизм кольца А, и Ф вЂ” форма на произведении Е Х Г, полуторалннейная (справа) относительно э (à — левый А-модуль); положим У' = У '. Легко видеть, что отображение Ф' произведения Г х Е в кольцо А, определяемое формулой Ф' (у, х) = Ф (х у)г (х6 Е, у Е Г), будет формой на Г Х Е, полуторалинейной справа относительно У'. В соответствии с и' 1 (определение 5) полуторалннейкые формы Ф и Ф' отоягдествляются с билинейными формами на произведениЯх Е Х Гг и Г Х Ем. ОтобРаженин Нэ и аф, ассоцкиРоваяяые с этими билинейными формами, называются отображениями, ассоциирогачными с гэга и спрагас полутэралинейнойформойФ, и обозначаются Ые и ге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
