Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Из формулы (27) следует также, что обратной формой для формы аФ будет а 'Ф (соответственно (аг) ~ Ф). 8. Сопряженный гомоморфнэм В этом и' приняты обозначения: А — кольцо (соответственно кольцо с антнавтоморфизмом Х), Е и Е' — левые А-модули, Г и Г' — правые (соответственно левые) Л-модули, Ф и Ф'— билинейные (соответственно полуторалинейные относительно Х) формы соответственно на произведениях Е ~ Е и Е' Х Е'. Форма Ф предполагается негырожденной; другими словами (и' 4), линейные отображения Аф и аэ, ассоциированные с ней, ннъективны.
Пусть и — гомоморфизм модуля Е в Е'. Рассмотрим множество Е; таких элементов у' г г', для которых существует у ~ г', обладающий свойством дс (у') о и = — Ых (у), то есть Ф' (и (х), у') = Ф (х, у) для любого х г Е. Множество Е; являет- ПОЛУТОРАЛННЕЙНЫЕ ФОРМЫ 345 ся, очевидно, подмодулем модуля Р'. Но отображение с(Ф ннъективно, так что для кая<дого р' ~ Р; существует единственный элемент р ~ Р такой, что Ф' (и (х), р') = Ф (х, р). Определенное таким образом отобран<ение у'-и р модуля Р; в Р А-линейно; обозначив его через ие, получим, что для любых х г Е и у б Р; справедливо равенство Ф' (и (х). у') = Ф (х.
и'(у')) (30) Опгеделепив з0. В предыдущих обозначениях и предположениях гомоморфизм и* модуля Р; в Р, удовлетворяющий равенству (30), называется сопряженным слева к гомоморфизму и„. модуль Р; называется лодмодулем определения гомоморфпзма и*. Точно так же определяется гомоморфизм пе, сопряженный справа к гомоморфизму п модуля Р в Р". Ф'(х', п(у)) =Ф(пе(х'), у') (х'~Е;, дар), (31) где Е; — подмодуль модуля Е', определенный аналогично модулю Р,. 3 а м е ч а и и е. Если гомоморфкзм и", сопряя~еияый слева к гомоморфизмуи: Е- Ь', всюду определени отоорюиепияз „ий „ ииъектизиы, то из формулы (30) следует, что и является гомоморфизмом, сопрюкеииым справа к и*. Из формулы (30) следует, что если гомоморфизмы и, и из модуля Е в Е' имеют всюду определенные сопряженные гомоморфизмы и элемент с входит в центр кольца А, то (из + из)* = и,*+ и*; (си,)" = си,', (си,)" = сз'и,", (и=1; если Ф и Ф' бнлинейны; (32) если Ф н Ф' полуторалинейны. (ЗЗ) (и' и и)* = и* и Н'е.
Кроме того, если Š— третий левый А-модуль, Р" — третий правый (соответственно левый) А-модуль, Ф" — билинейная (соответственно полуторалинейная относительно г) форма на произведении Е" Х Р" и и' — гомоморфизм модуля Е' в Е", имеющий всюду определенный сопряженный (слева) гомоморфизм, то 346 полутогллннкинык и квлдглтичнык догмы гл. гх, з 1 В частности, если и — ивоморфизм модуля Е на Е' и сопряженные гочоморфизмы и* и (и ')е всюду определены, то ие— изоморфизм модуля Р' на Р и (и*)-' = (и-г)е.
Аналогичными свойствами обладают гомоморфнзмы, сопряженные справа. Пгкдложкннк 7. Сохраняя предыдущие обозначения, предположим, что отображение с(ю биективно. Тогда для всякого гомоморфигма и модуля Е в Е' сопряженный слева зомоморфизм всюду определен и и* = (гью) ~ в 'и е Йь" В самом деле, если Ыэ биективно, то, в обозначениях начала етого пункта, Р; = Р', так что гомоморфизм и* всюду определен. С другой стороны, равенство (30) равносильно следующему: (и(х), бю (у'))=(х, (сКюои")(у')) (хчЕ, у'ЕР'); но (бю (у'), и (х)) = ('и (сань (у')), х>; позтому для любого у' г Р' справедливо равенство 'и(г)ф (у'))=ба(и*(у')), то есть 'иебэ =с(фене, откуда и следует доказываемое равенство. 3 а м е ч а н н е.
Еслн отобра;пенне е, бнектявно, то для всякого гомоморфнема г модуля г в г"' сопряженный справа гомсморфяем всюду определен я выполняется равенство о — зю о о о за', (34) Пгкдложкннк 8. Сохраняя предыдущие обозначения, предположим, что отображения г,в и г(е биективны. Пусть и и о— изоморфиамы соответственно модуля Е в Е' и модуля Р в Р'.
Для того чтобы форма Ф была обратным образом формы Ф' относительно изоморфиэмов и и о (то есть Ф (х, у) = Ф' (и (х), о(у)) для любых х Е Е, у с Р), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства и ' = и* и о-' = и'". В самом деле, равенство Ф'(и(х), о(у)) = Ф(х, у) можно записать в виде Ф (х, и* (о (у))) = Ф (х, у). Поскольку это равенство выполняется для любых х Е Е и у Е Р, а форма Ф не вырождепа, то ие о н = 1. По формуле (33) справедливо и равенство ое о и = 1.
Обратное утверждение таиже легко доказывается. 347 полутОРАлинкйнык ФОРмы Слкдствик. Пусть А — кольцо с антиавтоморфизмом,с, Е— левый А-модуль, Ф вЂ” форма на Е х Е, по,суторалинейная относительно с', имею!цел биективные ассоциированные отображения, и и — автолорфизм А-модуля Е. Д'ля того чтобы форма Ф была инвариантной относительно автоморфизла и (то есть Ф (и (х), и (у)) = Ф (х, у) для любых х, у Е Е), необходимо и достаточно, чтобы сопряженные с и гомоморфизмы совпадали и выполнялось равенство ие = и '. Это утвернсдение легко следует из предложения 8. 3 а м е ч а н и е. В предположениях следствия иа предложения 3 пусть, кроме то! о, кольцо А является телом и пространство.Е копечномерио вад телом А. Пусть, далее, ш евдоморфнам пространства Е и ш, и шг — его сопряженные справа и слева гомоморфизмы.
Тогда нз любого иа условий шш! = 1, шшз = 1, шгш = 1, шгш =- ! следует, что ш — автоморфиам пространства Е, форма Ф инвариантна относительно ш, н шг = шг 9. ленворгсые произведения гс внегмнгсе стпепенгс полугпоралинейньссс Форм В этом и' кольцо А предполагается колмутативныл!. Тогда всякая билинейная форма па произведении двух А-модулей является частным случаем полуторалинейпой формы. Через Х далее обозначается некоторый автоморфизм кольца А, Х' — обратный автоморфизм.
Пусть Ес (с = 1,..., т) — А-модули. Отображение произш еъ ведения Ц Е~~ в (Э Е)з (см. определение 5 и' 2), определяемое с=! с=! формулой (Х„..., Хш)-+Х! 8... 8 Хшг .с!ЕЕ! очевидно, А-полилинейно; следовательно (гл. 111, и' 7), оно опре деляет А-линейное отображение 7' произведения Я Е1 в (З Е!)з; это отображение переводит элемент х! 3... !чг х (где знаки ОС обозначают тензорные произведения в 3 Е!) в х, 8... !8! х (где знаки 3 обозначают тензорные произведения в (З Е!)з).
348 полттогхлинвнныв и квхдгхтичнь«в еогмы гл. «х, г « Следовательно, / является изоморфизмом тензорного произведения ® Е( на (® Е«~). Мы будем отождествлять эти два модуля посредством построенного изоморфизма /. Аналогично пусть Š— А-модуль. Отображение модуля (Е«) т в (Л Е)", определенное формулой ° ° ° ~хт) +х«Л '' Лхт~ очевидно, А-полилинейно и знакопеременно. Следовательно, оно определяет А-линейное отображение модуля Л Ег в (Л Е)', являющееся, как легко видеть, изоморфизмом.
Мы будем отот т ждествлять модули Л Е" и (Л Е)г посредством этого изоморфизма. Пусть х' — элемент сопряженного к Е модуля Е*. Отображение х -т- (», х')э (х Е Е) является элементом (х')г модуля (Ег)*. Очевидно при этом, что отображение х' -+- хы является биекцией у модуля Е* на (Е~)а, удовлетворяющей условию а (ах') = а«д (х') для любого а Е А. Далее, композиция биекции д и тождественного отображения модуля (Е*)э на Е* представляет собой изоморфизм модуля (Е*)а на модуль (Ег)*. Мы будем отождествлять эти два модуля посредством указанного изоморфизма и обозначать их символом Е*,«. Пусть Е;, Г«(1 = 1, „т) — А-модуля, Ф, (« = 1, ..., т)— форма па произведении Е«Х Р«, полуторалинейная относительно /.
Отображение произведения Е« 'р', ... х Е Х Р~ Х х г"" в кольцо А, определенное формулой (х«~ ° ° ~ хт У«~ ° ° ~ Ут) > «Р«(х«У«) «Рз(хм Уз) ° ° «~«(хт~ Ут) (х«6 Еь у. с Е«1 = 1,..., т), А-полилинейно и, следовательно, определяет билинейную форму на произведении (3 Е«) х « х (8 Р«) (гл. 111, з 1, и' 7). Поскольку второй множитель отождествлен с модулем (8 Р«)«, тем самым на произведении (3 Е«) х (З Р«) определена полуторалинейная относительно / « « полуторллинкйиык Формы 349 форма Ф.
Эта форма характеризуется равенством Ф(х,З...Зх, у,З...Зу )= = П Ф,(х;, у,)(х;ЕЕс у~ЕРс). (35) Опгкдклкник 11. Пусть Е;, Р; (с' = 1,..., т) — А-модули и Ф; (1 =- 1,..., т) — форма на произведении Е, х Р,, полутора- линейная относительно У. Тензорным произведением форм Ф; называется полуторалинейная относительно У форма Ф на произведении (З Е;) Х (З Рс), определенная равенством (35), В случае, когда все Е; иР; равны некоторому модулю Е, а все Ф; представляют собой одну и ту же форму Ч', форма Ф называется продолжением формы Ч' на тензорную степень З Е. Сохраняя обозначения определения 11, изучим отображения, ассоциированные с формой Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
