Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 72
Текст из файла (страница 72)
и была создана современная алгебра. Уже в 1903 г. в мемуаре об алгебраическом интегрировании дифференциальных уравнений ((Х1ЬЬ стр. 140 — 149) А. Пуанкаре ввел понятия левого и правого идеалов, минимального идеала некоторой алгебры; он заметил также, что в полупростой алгебре всякий левый идеал является прямой суммой своих пересечений с простыми номпонентами и что в алгебре матриц порядка к минимальные идеалы имеют размерность и; однако его работа осталась незамеченной алгебраистами *).
В 1907 г. Веддерберн заново определил левые и правые идеалы алгебры и доказал для них некоторые свойства (и главное — что радикал является наибольшим нильпотентным левым идеалом ((ХЧ11Ь), стр. 113, 114). Однако пришлось ждать 1927 г„ чтобы этн понятия вал»ли существенное приложение в теории алгебр»«).
Применяя в об1цей форме различные доказательства, появлявшиеся в различных местах «**), В. Крулль в 1925 г. (Х1Ха) и Э. Нигер в 1926 г. (ХХа) *) Заметим также, что в этом мемуаре Пуанкаре отмечает, что множество операторов иа групповой алгебры, аинулирующих некоторый вектор пространства линейного представления этой группы, является левым идеалом; он подчеркивает, что это замечание можно было бы применить к теории линейных представлений ((Х1Ь), стр.
149), но эту идею никогда впоследствии не развивал. »*) Интересно отметить, что между 1907 и 1927 г. понятия левого н правого идеала появляются, но не при изучении алгебр, а в работе Э. Петер н В. Шмейдлера (Мобп1п )п п1сЬ«Ыоппппса«1«еп Веге1сЬеп,'Ма«Ь. Хе!«зсЬГ. 8 (1920), стр. 1 — 35), посвяп1енной кольцам дифференциальных операторов. «««) Условие максимальности (в форме «условия обрыва возрастающих цепей») восходит к Дедекшщу, который его явно ввел ((Хс), стр. 90) прн 320 ИСТОРИЧНСКИЙ ОЧКРК К ГЛАВК ЧПГ ввели и систематически использовали условия максимальности п минимальности; Крулль применяет их для обобщения на абелевы группы с операторамп (которые он в связи с этим определил) теоремы Ремака о разложении конечной группы в прямое произведение неразложимых групп (см.
$2, теорема 1), в то время как Нетер использует их для характеризации дедекиндовых колец. В 1927 г. Э. Артин, применяя ту же идею к некоммутативным кольцам, показывает, как с помощью систематического научения минимальных идеалов можно распространить теоремы Веддерберна на произвольные кольца, в которых левые идеалы удовлетворяют одновременно условиям максимальности и минимальности *). С другой стороны, Крулль в 1926 г. (Х1ХЬ) обнаружил связь между понятиями абелевой группы с операторами и линейного представления групп; эта точна зрения была обобщена на алгебры н детально развита в 1929 г.
в фундаментальной работе Э. Нетер (ХХЬ); эта работа по важности рассмотренных идей и ясности изложения заслуживает того, чтобы вместе с мемуаром Штейвица о полях считаться одним из краеугольных камней современной линейной алгебры **). Наконец, в серии работ, начавшейся в 1927 г. ((ХХ1), (ХХ)т), (ХХс)), Е. Нетер н Р. Брауэр (в 1929 — 1931 гг. к ним присоединились А. Алберт и Х. Хассе) вновь предприняли изучение некоммутативных тел с того места, где остановились Веддерберн и Диксон. Хотя наиболее важные из их результатов состоят в углубленном изучении группы Брауера (особенно над полями алгебраических чисел) и выходят, следовательно, за рамки этой главы, отметим все же, что именно з этих работах были уточнены теоремы о коммутировании, а также понятие нейтрэлизующего поля простой алгебры изучении идеалов в полях алгебраических чисел; одним из первых примеров рассуждений с «убывающими цепямиь является, несомненно, пример из мемуара Веддерберна 1907 г.
((Хт'11Ь), стр. 90), касающийся двусторонних идеалов. е) В 1929 г. Э. Нетер показала, что зги теоремы остаются в силе, если предполагать выполненным лишь условие минимальности ((ХХЬ), стр. 663); К, Гопкинс в 1939 г. доказал, что иэ этого единственного условия следует, что радикал нпльпотевтен. е*) Именно там вместе с прочим впервые появляются в общем виде понятия гомоморфизма группы с операторами, противоположного кольца, бпмодуля, а также знаменитые «теоремы об иэоморфпзме» (которые в (ХХа) уже сформулированы для коммутативных групп). Разумеется, частные случаи и следствия этих теорем встречались задолго до этого; например, вторая теорема об иэоморфизме для конечных групп иыеется у Гельдера (МаЬЬ.
Апп. 34 (1889)), для абелевых групп — у Дедекинда ((Хс), стр. 76, 77), для двусторонних идеалов — у Веддерберна ((Хг11Ь), стр. 82, 83); что касается первой теоремы об изоморфиаме, то она явно сформулирована, например, Сегье в 1904 г. (Е14шеп«з де 1а ьйбог1е без бгопрез аЬзгаИэ, РаПз (6ап(Ь)ггУ1Иагз), 1904, стр. 65). ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ Ч111 321 и его связь с максимальными подполямв; наконец, в 1927 г. Сколем описывает автоморфизмы простых колец (ХХ111); несиольквмп годами позже его теорема была переоткрыта Э. Истер (ХХс) и Р.
Брауером (ХХ1Ч). Таким образом, к 1934 г. элементарная теория простых и полупростых колец почти прввяла свой окончательный вид (о состоянии теории в этот период см. (ХХЧ)); с этого времени она стала раавиваться в двух различных направлениях, по поводу которых мы ограничимся крат»п«мн замечаниями. С одной стороны, теория «свстем факторов» Р. Брауера н Э.
Нетер недавно получила новый толчок благодаря ее'включению в современную гомологическую алгебру *). С другой стороны, сделано много попыток, более нли менее успешных, распространить — хотя бы частично — результаты классической теории ва кольца без условия минимальности *») н на кольца без единицы. Однако эти обобщения до сего времени не имеют откликов в других разделах математики; исключение составляют лишь определение радикала п теорема плотности, имеющие некоторые применения в топологической алгебре; желающих более подробно ознакомиться с этими работами мы отсылаем к книге Н.
Джекобсона (ХХЧ11), *) Мы не можем изложить здесь историю этой теории п ее связей с понятием расширения группы с помощью другой гругшы; стоит, однако, отметить, что первые «спстемы факторов» появились как раз в связи с задачей расппгрекпя групп в 1904 г. в мемуаре И.
Шура, где он заложил основы теории «проективнл«х представлений» групп (ХЧ)»). "*) С 1928 г. Крулль распространил на произвольные полупростые модули общие теоремы о полупростых модулях конечной длины ((Х1Хс), стр. 63 — 66). БИБЛИОГРАФИЯ [Ч. В, Н а ш 1 1 ! о п, 1.ее|стев оп 9иа!его[сия, ОиЫ!и, 1853, А, С а у ! е у, СоПес!ег[ |па|Пел|а!!са[ рарегв, СашЬгЫ8е, 1889; в) Оп а[8еЬга[са! соиР!ев, т.
1, стР, 128 — !30 (= РЬ11. Ма8, (1845)); Ь) Оп |Ье |Ьеогу о1 8гоирв, ав г[ереп|Пп8 оп |Ье ву|пЬоПс е9иа[[оп 0а = [, т. !1, стр. 123 — 130 (= РЬ!!. Ма8. (1854)); с) А ше|по[г ои |Ье П|еогу о[ и|а|Пеев, т. !1, стр. 475 — 496 (.— -РЫ!. Тгапв, (!858)), Н С г а в в ш а о п, Оеяашше[[е ша|Ь. лиг[ рЬув. [ЧегЬе: а) РПе АивдеЬпппХв[еЬге топ 1862, т. 1т, Ье1рю8 (ТеиЬлег), 1896; Ь) Виг [ев сПВегеп|в 8епгев г[е пш[|1р
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
