Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 69
Текст из файла (страница 69)
2. Л'1госгпьсе модули Левым модулем над алгеброй А называется векторное пространство Е над полем К, наделенное такой структурой левого модуля над кольцом А, что а (ях) = Х (ах) = (Ха) х для всех Х Е К, а Е А и х г Е. Подмножество Г модуля Е является модулем над алгеброй А тогда и только тогда, когда Р— векторное подпространство в Е н модуль над кольцом А; подмножество Р называют тогда подмодулем модуля Е над алгеброй А.
Модуль Е над алгеброй А называется простым, если Е Ф 10) и единственными его подмодулями над алгеброй А являются Е и (0). АЛГЕБРЫ БВЗ ЕДИНИЦЫ Пусть Š— левый модуль над алгеброй А. Для любых Л й К, а й А, х й Е положим (Х, а) х = Хх + ах; легко проверяется, что этот закон внешней композиции и сложение определяют на Е структуру унитарного А-модуля. Кслр сузить кольцо операторов этого А-модуля до А (соответственно до К, отождествленного с К х (0)), то мы возвращаемся к заданной на Е структуре модуля над кольцом А (соответственно структуре векторного пространства над К). Определенный таким обрааом А-модуль нааывается ассоциированным с модулем Е над алгеброй А. Обратно, пусть Š— унитарный А-модуль.
Рассмотренные сужения определяют на Е структуру модуля над алгеброй А и структуру векторного пространства над К, причем ассоцииро- вакиым А-модулем будет исходный А-модуль Е. Таким образом, утверждения, что модуль Е над алгеброй А прост и что ассоциированный А-модуль прост, эквивалентны. 3 а и е ч а н и е. Пусть алгебра А имеет единицу и Š— унитарный модуль над алгеброй А. Структура векторного К-пространства на Е получается суженном кольца операторов А до К, отождествленного с подполем К 1 кольца А. Подмодули модуля Е над алгеброй А совпадают, таквм обрааом, в этом случае с подмодуллми модула Е вад кольцом А. Следовательно, утверждать, что Š— простой (унитарный) модуль над алгеброй А, — это аначпт утверждать, что Š— простой (унвтарный) модуль над кольцом А.
Пусть а — регулярный левый идеал алгебры А. Канониче ский образ г правой единицы по модулю а в модуле Е = А /а над алгеброй А удовлетворяет условию Е = Аг, и а является аннулятором алемента г. Обратно, пусть М вЂ” модуль над алгеброй А, з Е М вЂ” такой элемент, что М = Аг, и а — левый идеал, аинулятор элемента г.
Пусть и Е А и иг — г. Для любого х ~ А имеем (хи — х) з = О, то есть хи — х Е а, откуда следует, что идеал а регулярен, и и — правая единица по модулю а. З. Радикал Пввдложкпик 5. Пусть Я, — пересечение аннуляторов простых левых модулей над алгеброй А, Яэ — пересечение максигсальнмх левых идеалов алгебры А, Яг — радикал кольца А. Все эти лгножества представляют собой один и тот же двусторонний идеал 31О пвиложкник алгебры А, не меияюп)ийся при гамене А на противоположную алгебру. Так как А является максимальным левым идеалом в А, то' Я, с- А, и следовательно, Яз — двусторонний идеал в А, не меняющийся при замене алгебры А противоположной алгеброй (3 6, н' 3, следствие 2 теоремы 1).
По и' 2 и определению радикала кольца с единицей, имеем Из = Я,; наконец, предложение 4 в 1 показывает, что Яз = Из. Опгкдвлкнив 2. Двусторонний идеал, определенный в предло.- жении 5, называется ради лом алгебры А. Этот идеал также будет обозначаться И (А), 3 а м е ч а н н я.
1) Если алгебра А имеет единицу, то радикал алгебры А совпадает с радикалом кольца А, определенным в 3 6, и' 3, поскольку в этом случае всякий левый идеал алгебры А регулярен. 2) Пусть х, у й А. Элемент х называется левым квагиобратным для элемента у, или, что то же, элемент у называется правым квагиобратным для х, если в кольце А элемент х — е является левым обратным для элемента у — е, другими словами', если х + у— — ху = О.
Пусть Я, — множество таких х Е А, что элемент ух+ Хх имеет левый квазиобратный при любых у ЕА, Хг К. Так как ух + Хх — е = (у + Хе) х — е, то Яь есть множество таких х ~ А, что элемент зх — е обратим в А прн любом г Е А. Следовательно, И, — радикал алгебры А (з 6, и' 3, теорема 1). У и р а ж н о н и я. 1) Пусть А — алгебра нзд. полем К такая, что Аз Ф А*). Показать, что никакой идеал, зодер<кап<ий Аз и отличный от А, не регулярен. 2) Для того чтобы двусторонний идеал о алгебры А был регулярным справа н слева, необходимо и достаточно, чтобы кольцо А~о имело единицу.
3) Пусть о, б — регулярные левые идеалы алгебры А. а) Для того чтобы идеал а () Ь был регуляриьхч, необходимо и достаточно, чтобы существовали правая единица и по модулю о и правая единица г по модулю Б такие, что и — г б о+ Ь. е) Определения и результаты из 1 6, и' <, без изменения применяются к кольцам без единицы.
АЛГЕБРЫ БЕЗ ЕДИНИЦЫ з(( б) Вывести иэ а), что идеал а Д Ь регуляреп, если один из идеалов а, Ь двустороипий и регулярный справа (упражвеппе 2) пли один пз иих максимален. в) Пусть Š— векторное пространство размерности 2 кад полем К, А — подалгебра тензориой алгебры Т (Е) (гл. 111, Ь 4, и" 6), состоящая иа теизоров порядка «1. Показать, что левые идеалы а = = А (1 — е,) и Ь = А (1 — ез), где (е„ез) — базис пространства Е пад К, регулярны, по а Д Ь = (0).
4) Пусть а — регулярный левый идеал алгебры А, и, о — правые единицы по модулю а. а) Привести пример, в котором и — об а (взять а = (О); см. Ь 12, упражнение 1). Получить иа него пример, в котором отображевие а в- а () А ив яредложеиия 1 пе ивъективио. б) Пусть а — двусторонний идеал и алгебра В = А/а пе имеет таких идеалов Ь ~ (О), что ВЬ = (О); показать, по и — е Я а.
Так будет, в частности, если алгебра А коммутативпа (см. упражнение 2). в5) а) Пусть А — алгебра пад К, Š— простой модуль кад алгеброй А. Показать, что либо Е имеет иад К размерность 1 и АЕ = (О), либо для любого х б Е, ие равного О, вмеем Ах = Е. б) Обратно, вусть Š— модуль пад кольцом А и Ах = Е для всякого элемеята х Р Е, отличного от О. Показать, что па Е существует едипсгвеппан структура векторного простравства пад полем К, которая вместе с данной структурой модуля пад кольцом А определяет ка Е структуру модуля иад алгеброй А. в) Модуль Е иад алгеброй А называется полупрветим, если оп является прямой суммой простых подмодулей. Показать, что теорема плотпости (Ь 4, в'2, теорема 1) остается в силе для полупростых модулей Е кад алгеброй А таких, что АЕ = Е (использовать а)). 6) Пусть А — алгебра иад К, а — ее левый идеал.
Показать, что если рассматривать а как алгебру пад полем К, то И (А) Д а г И (а), и если идеал а двусторовппй, то И (а) = И (А) () а (доказать, что всякий простой модуль пад алгеброй А является простым пад алгеброй а илп аннулируется идеалом а). Привести пример ие двустороннего идеала а такого, что И (а) чь И (А) Г~ а. еу) Пусть А — такая алгебра пад К, что всякий модуль М иад алгеброй А разлагается в прямую сумму подмодуля АМ и подмодуля Мо, состоящего пз элементов х Р М, апиулпруемых алгеброй А. Показать, что алгебра А имеет единицу. (Взять сначала М = А, (рассматриваемый как А-модуль) и установить, что А имеет правую едииицу е; затем взять М =- А, и установить, что Ах ~ (0) для любого х Р А, отличного от 0; в заключеиие показать, что е является также левой едквицей.) 8) Алгебра А пад валек К иазывается примитивней слева (или просто примитивной), если существует точный простой модуль пад алгеброй А.
Показать, что если алгебра А примитквпа, то алгебра А НРИЛОЖЕНИЕ также примитивна; обратное утверждение верно тогда и только тогда, когда алгебра А не имеет единицы, (Похавать, что если точный А-модуль К не является точным А-модулем, то в А существует правая единица е; заметить, что если с ие является единицей алгебры А, то А имеет ненулевой радикал.) 9) Алгебра А вад полем К называется ермиловой (соответственно нетеравой), если модуль А над алгеброй А артинов (соответственно петеров), то есть удовлетворяет условиям определения 1 $2, п' 1, для подмодулей над алгеброй А. Для того чтобы алгебра А была артииовой (соответственно нетеровой), необходимо н достаточно, чтобы алгебра А была артиновой (соответственно нетеровой).
Пока- вать, что артинова алгебра А беа радикала имеет единицу (ааметитьг что в этом случае алгебра А артивова и беа радикала). 10) Покааать, что если в примитивной алгебре А (упражнение 8) имеется левый идеал, ковечномериый над полем К, то алгебра А конечномерна над К (и, следовательно, проста) (см. $5, упражнение 10). 11) Покааать, что нилыютевтная артинова алгебра А нонечвомерна (применить индукцию по числу ж — наименьшему из чисел Ь таких, что А" = (0)). *12) Пусть А — такая алгебра над полем К, что всякий ее левый идеал ~А имеет конечную раамерность над К. Показать, что алге'- бра А либо конечномерна, либо является телом. (Оставив в стороне случай конечвомерной алгебры А, доказать последовательно, что: 1' для любого левого идеала а ~ А имеем Аа = (О) (рассмотреть зндоморфизмы х -» ал векторного пространства а); 2' сумма Ь всех левых идеалов алгебры А, отличных от А, отлична от А и является двусторонним идеалом, причем А/Ь вЂ” тело (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
