Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Билинейная форма Ф (непременно симметрическая) называется билинейной формой, ассоциированной с формой 1). Если форма Ф невырождена, то и форма с) называется невы- рожденной. Так как ь) (2х) = 4() (х), то из условия 2) сразу следует равенство Ф (х, х) = 21) (х). (13) Если, в часткостн, характерпстнка кольца А равна 2, то форма Ф зпапопереяеееелпя, Два элемента (соответственно два подмножества) модуля Е будем называть ортогональными относительно квадратичной формы е.), если они ортогональны относительно ассоциированной с ч билинейной формы Ф.
11усть (х,)езт — семейство элементов модуля Е, и (а;)еы— семейство элементов кольца А, лишь конечное число которых отлично от яуля. Индукцией по числу 1 индексов, для которых а; ~ О, легко доказать равенство (14) Д (~~ а х ) = ~~~~~ але,) (х ) лк ~л а;а;Ф (хн х ), в котором последняя сумма распространяется па двухэлементные подмножества множества 1. Для всякой билияейной формы 1 на произведении Е х Е можно определить квадратичную форму ф положив () (х) =- = ) (х, х); тогда билинейяая форма Ф, ассоциированная с (), определяется равенством Ф (х, у) = — 1(х, у) + 1 (у, х) для любых 378 полттогялинкиныв н квядгятичнык еогмы гл.
тх, г э $ х, у ~ Е. Более того, если скаляр 2 имеет обратный —, в кольце А, то существует единственная симметрическая билинейная форма 1, з удовлетворяющая равенству гт(х) =1 (х, х), именно — Ф; дискриминант формы 1 относительно системы Я = (х„..., х„) называется также дискриминантом формы ~ относительно системы Я. Таким образом, в этом случае существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами и симметрическими билинейными формами на модуле Е (см.
упражнение 6). Если модуль Е свободен, то справедливо, кроме того, следующее утверждение: Пгвдложвнив 2. Пусть кольцо А коммутативно и модуль Е обладает некоторым базисом (е;)мг. Тогда для всякой квадратичной формы ~ на модуле Е на произведении Е х Е существует билинейная форма1такая, что ~(х) = 1(х, х) для любого х б Е. Для любого множества (Ьп)и бзгхг сколяров таких, что Ььт = 6п для (1, 1) ~ 1 х 1, существует единственная квадратичная форма, удовлетворяющая равенствам ~(е~)=6~и Ф(еп ет)=6,, для 1-ь1', (15) где Ф вЂ” билинейная форма, ассоциированная с ч; форма () определяется формулой (16) С(~ч~ ~а~е~)= ~ч~~ Ьета,аяь (ий где сумма распространяется на подмножества (1, 1') множества 1, содерхсащие один или два элемента. В самом деле, формула (16) является лишь новой записью для (14), откуда следует единственность квадратичной формы ф удовлетворяющей равенству (15), Чтобы доказать ее существование, заметим прежде всего, что в кольце А существует множество (6~;) такое, что Ьи — — Ь;; и Ь;;+ Ь~г = Ь„при еф=1; такое множество можно получить, наделив множество 1 структурой совершенно упорядоченного множества (Теор.
мн.,гл. И1, з 3, и' 3, теорема 1) и положив Ьй = Ьы для 1(1 и 6;.; =- 0 для 1) 1. Так как элементы е; образуют базис модуля Е, то существует билинейная форма1 па произведении Е х Е, удовлетворяющая равенству 1 (еи е;) = — 6;,; положив Ч' (х) = 1(х, х) и обозначив 9РМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 379 через Ф' билинейную форму, ассоциированную с квадратичной формой Д', будем иметь равенства ()' (е;) = Ь11 и Ф' (еп е1) = = 1(е1, е;) + ~(е,, е;) = ды.
Это доказывает второе наше утверждение. Что ьке касается первого утверждения, то оно немедленно следует иа предыдущего рассуждения, так как, в силу единственности, если квадратичная форма Ч удовлетворяет равенству (15), о 0 (х) = 0' (х) = 1 (х х). Модуль Е, наделенный структурой, определяемой квадратичной формой 1,"ь, будем называть квадратичннзь эьодуле.н, Гомоморфизм квадратичного модуля (Е, Д) в квадратичный модуль(Е', Ч')— это такое линейное отображение и модуля Е в Е', что ч = ч' о и; если Ф и Ф' — ассоциированные с () и 1',»' билинейные формы, то для х Е Ь', у Е Ь' выполняется равенство Ф (х, у) = Ф' (и (х), и (у)); иными словами, форма Ф' является обратным образом формы Ф относительно гомоморфизма и (3 .1, и' 1).
Две квадратичные формы ч и ьг' на А-модулях Е и Е' называются эквивалентными, если соответствующие квадратичные модули изоморфны. Пусть (Е;, ф)ьгг — множество квадратичных модулей, и Е— прямая сумма модулей Е;. Внешней прямой еузьльой квадратичных модулей (Еп уь) назозем квадратичный модуль, получающийся при наделении модуля Е квадратичной формой 1ь, определяемой равенством ьь (~хь) = ~91 (хь) для х; Е Е;. Форму ч также назы- 1 ь вают внешней пряльвй суммой квадратичных форм 1',ьь. ЕСЛИ ВСЕ ФОРМЫ 1,"ь1 НЕВЫРОжДЕНЫ, тО фОРМа 1',) тахжЕ НЕВЫ- рождена.
Пусть 1,"ь — квадратичная форма на А-модуле Е, Р— подмодуль модуля Е. Предположим, что форма 1,"ь постоянна на каждом классе по модулю Р. Тогда получаемое путем факторизации яа (ь отображение (> модуля Е/Р в кольцо А будет, очевидно, квадратичной формой, а каноническое отображение модуля Е на Е/Р будет гомоморфизмом структур квадратичных модулей. Для того чтобы форма () была постоянной на каждом классе по модулюР, необходимо и достаточно, чтобы для любых хб Е и у ЕР выполнялось равенство 1,"ь (х+ у) = Д (х), то есть Р (у) + Ф (х, у) = О, где Ф вЂ” ассоциированная с () билинейная форма. Положив здесь х = О, получим, что ч (у) = О для любого у Е Р, и следовательно, 111 (х, у) = О для х Е Е и у Е Р. Мнояьество дь элемен- 380 полутОРАлинейные и кВАдРАтичные ФОРмы гл гх, г в тов х модуля Е таких, что ~ (х) = 0 и Ф (х, г) = 0 для любого г е Е, нааывается ядром квадратичного модуля (Е, ~)).
Таким образом, для того чтобы форма () была постоянной на каждом классе по модулю Р, необходимо и достаточно, чтобы подмодуль Р содержался в ядрен модуля (Е, ()). Легко проверить, что ядро Л' является в Ь' подмодулем. Следовательно, для того чтобы форма () была постоянной на каждом классе по модулю Р, необходимо и достаточно, чтобы подмодуль Р был порожден элементами ядра Л. Легко Видеть, что ядро квадраткчного модуля Г/Я равно (0). Пгедложение 3.
Пусть Ь вЂ” гомоморфизм кольца А в коммутативное кольцо А'. А(ля всякой квадратичной формы г) ла А-модуле Е существует единственная квадратичная форма ~' на А'-модуле А' ®АЕ (гл. 111, приложение 11, и' 10), удовлетворяющая условию (17) (г'(1 К х) =Ь(()(х)) для любого х г Е. Кроме того, билинейная форма Ф', ассоциированная с (г', получается из билинейной формы Ф, ассоциированной с (), расширением кольца скаляров. Покажем прежде всего, что если квадратичная форма удовлетворяющая равенству (17), существует, то она единственна, и билинейная форма Ф', ассоциированная с ()', получается из билинейной формы Ф, ассоциированной с ч, расгпирепием кольна скаляров. В самом деле, последнее утверждение следует из того, что для любых х Е Е, р Е Е выполняется равенство Ф' (1 Я х, 1 ® у) = ()' (1 Я х+ 1 Я у) — ~)' (1 Я х) — ~)' (1 Я у) = = Ь (Ф (х, у)).
(18) Тогда из формулы (14) следует, что (3'(~а(8 х )= ~'а(гйф(х))-;- ~~ а;'о,'Ь(Ф(хь х )) (19) г г 0,0 для любых а,:~А' и х;~Е, откуда я вытекает единственность формы ()'. Чтобы доказать существование формы Ч', предположим сначала, что модуль Е имеет некоторый базис (е;)ген Тогда в кольце А существуют элементьг Ьы такие, что ЬИ=ЬИ н ~)(~ а;е;)= ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫВ ФОРМЫ 381 ~~~ Ь;;а;а, для а~ЕЛ (предложение 2). Элементы 1 Иле; обра- 0 П зуют базис А'-модуля А'((ЗАЕ, и поэтому, положив для а(бА' Д'(~~а( ф е~).= ~; а;а;Ь(бн), (20) О.П мы получим квадратнчяую форму Ч' на этом модуле; отсюда прн х = ~~ а;е; ~ Е выполняется равенство с «)' (1 ф х) = (1' (~ Ь (г) 3 е~) = ~~ Ь (а;) Ь (а,) Ь (6;,) = Ь ф (х)), (21) 1 О,П что н доказывает существование формы ~' в рассматрнваемом случае.
Перейдем теперь к общему случазо, Пусть (х;)мз — система образующих модуля Е, А'и — модуль формальных линейных комбинаций элементов множестваХ (гл. 11, $ 1, и' 8) и (е;)сы— канонический базис модуля А'". Поскольку элементы х~ порождают модуль Е, то отображение и модуля А'" в Е, определенное формулой и (е~) =.-- хы сюръективно. Отсюда следует (гл.
111, приложение 11, н' 5, предложение 4), что отображение 1 ® и модуля А' ® Ан' в А' ор Е сюръективно и его ядро р' порождается элементами вида 1 ® р, где и (р) = О. Обозначим через (); продолжение на модуль А' ®„Аов квадратичной формы ~1 = = () и на модуле Л'"'. Если элемент р б Асе удовлетворяет условию и (р) = О, то (),' (1 ор р) = Ь ф, (р)) = О и для любого т Е Ан' Ф,' (1® р, 1 ® х) = Ь (Ф (и (р), и (х))), где Ф; — билинейная форма, ассоциированная с ()1. Таким образом, если и (р) = О (р ~ А"'), то элемент 1 З р входит в ядро квадратичного модуля А' ®А Аи' и, как мы видели выше, на произведении А' ЗА Е существует квадратичная форма ~7' такая, что (); = — 9' ° (1 ® и).
Но отображение и сюръективно, так что форма ~' удовлетворяет условию (17), что и требовалось доказать. Квадратичная форма ()', существование и единственность которой установлены в предложении 3, называется продолжением формы с1 на произведение А' ®А Е (относительно гомоморфизма Ь). Говорят такн<е, что форма ()' получается из формы () расширением кольца скаляров. У н р а ж н е н н я. Ц Пусть Л вЂ” тело, л — левое векторное оростравство над А, Ф вЂ” полуторалннейнан форма на я (относн- а2 ПОЛУТОРАДИНЕИНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ГП. 1Х, 1 3 тельно некоторого антиавтоморфиэма л тела А).
Предположим, что ранг формы Ф (конечный или бесконечный) л 2 и что равенства Ф (х, у) = 0 и Ф (у, х) = 0 эзаиваленпанм. а) Показать, что в А существует элемент ) ~ 0 такой, что Ф (У, х) = )а (Ф (х, У)) (воспользоваться упражнением 8 к $1). б) Показать, что существует и Р А такой, что полуторалинейная (относвтельно антиавтоморфнэма с -ь и-аз"ах) форма Фа эрмвтова или энакоперемеина. (Заметить прежде всего, что з = Х вЂ” аз й-' и Ы =- А~с = 1, и рассмотреть два случая: з + з$ й-' = 0 для любого з и А или нет; во втором случае показать, что всякий отличный от нуля элемент видаа = ф+ з~)а-а удовлетворяеттребуемомуусловию.) 2) Пусть Ф вЂ” е-эрмятова полуторалинейная форма на векторном пространстве Е конечной раамерности иад полем А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
