Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Н[, $7, и' 3), то»>р> (х) — равложимый (и р)-вектор ~0, соответствующий под- пространству Ре, ортогональному к Р. г) Распространить предыдущие результаты на случай, когда Ф вЂ” е-ермитова форма, полуторалинейная относительно некоторого инволютивного автоморфизма кольца Х Ф т (А предполагается ком- мутативным) . (О) а) Пусть А — коымутативное кольцо, Š— А-модуль с бази- сом из трех элементов, Ф вЂ” симметрическая билинейная форма на модуле А.
Для всяких двух элементов х, У б Е положим х />, У = с>>в> (х />, у) (обозначения иа упражнения 9) и элемент х />, у назо- вем вехтсряыл лрсивведениел х и у (относительно формы Ф п бааиса ВпОлне изотРОпные пОдпРОстРАнстВА э е модуля Д Е). Показать, что (х, у) — » хД у — анакоиеремснноэ билинейное отображение произведения Е Х Е в Ь' н что вектор х /~ у ортогоналеи к х и у.
б) Пусть а, р — обратимые элементы кольца А,  — алгебра кватервионов над А, соответствующая паре (а, р) (гл. 11, т 7, и' 8), 1, и, х, ю канонический бааис алгебры В над кольцом А; пусть Ь'— подмодуль в В с бааисом и, э, ю. Показать, что если кватерниояы х и у принадлежа»п подл»дулю Е, то ху=Ф (х, у)+хну, где Ф симметрическая билинейная форма на модуле Е такая, что ассоциированные с Ф линейшае отображения биективны, а х,Л, у— векторное проиаведэние элементов х и у относительно формы Ф и базиса и-»()-»и Л э Л ю модуля ~ Е.
11) Пусть Ф вЂ” невырожденная е-эрмитова полуторалинейная форма на конечномерном векторном пространстве Е. Векторное подпространство М пространства Е нааывазтся пеево орте»»нее»ння к подпространству Л' (относительно формы Ф), если одно из подпространств М и Л'о содержит другое. а) Доказать, по отношение «М слабо ортогонально к Л|» симметрично.
б) Если подпространства М и Л' слабо ортогональпы, то и Мэ и Л'э слабо ортогональны. в) Если подпространства М и Л' слабо ортогональвы и М () Л' = . (0), то М и ЛГ ортогональны. $ 4. Вполне ннотропные надпространства. Теорема Витта В этом параграфе предполагается, что кольцо А, если нв оговорено противное, является телом, Ф вЂ” либо е-эрмитова форма на модуле Е (относительно инволютивного антиаетпоморфизма Л-+ Л тела А), либо симмекъричсская билинейная форма, ассоциированная с квадратичной формой () на модуле Е (в последнем случае тело А предполагается коммутативним). 1. Изотропные подпространспзеа Опэеделенне 1.
Элемент х модуля Е над кольцом А называется иэотропным, если Ф (х, х) = О. Подмодуль Р модуля Е называется 1) изотропним, если существует ненулевой элемент х Е Г, ортогональный к р; 25« 388 полутогллипкйнык и квлдглтичнык Фогмы гл. 1х, » 4 2) вполне изотропным, если сухсение формы Ф на подмодуль Р равно нулю, Если на модуле Е задана квадратичная форма Ч, то элемент модуля Е называется изотропным (соответственно подмодуль называется изотропным или вполне изотропным), если этот элемент изотропен (соответственно подмодуль изотропен или вполне изотропен) относительно билинейной формы, ассоциированной с (). Изотропный вектор — это вектор, ортогональный к самому себе.
Подмодуль Р изотропен в точности тогда, когда Р Про Ф Ф (0), то есть сужение формы Ф на Р вырождено; таким образом, неизотропный подмодуль 6 модуля Š— это такой подмодуль, сужение формы Ф на который не вырождено. Для того чтобы подмодуль Р модуля Е был вполне нзотропным, необходимо и достаточно, чтобы Р с Ро. Если Р— вполне нзотропный подмодуль, то любой подмодуль Р', содержащийся в Р, также изотропен. Сумма любого семейства попарно ортогональных вполне изотропных подмодулей является вполне изотропным подмодулем.
Множество вполне изотропных лодмодулей модуля Е, упорядоченное по включению, очевидно, нпдуктивно; отсюда следует, что всякий вполне изотропный подмодуль содержится в некотором максимальном вполне изотропном подмодуле. Пзкдложкпик 1. Пусть А — тело. Если неизотропное подпространство Р пространства Е конечномерно, то Е является прямой суммой надпространств Р и Р'. В самом деле, по предположению, сужение Ф' формы Ф на надпространство Ф не вырождено, н поэтому отображение Н»', надпространства Р в сопряженное подпространство Рв, ассоциированное справа с формой Ф, инъективно, а значит, и бнективно, поскольку подпространства Р и Р* имеют одинаковую размерность.
Следовательно, для каждого у Е Е существует единственный элемент у» Е Р такой, что Ф (х, у) = Ф (х, у») для любого х Е Р, то есть у — у» к Р'; это и доказывает, что пространство Ь является прямой суммой Р и Р'. Слкдствик. Если надпространство Р пространства Ь' конечно- мерно и форма Ф невырождена, то следуюи4ие условия эквивалентны: 389 ВпОлне изотРОпныв подпРООТРАнстВА а) Г неиэотрокно, б) Ре неиэотронно, в) Š— кремом сумма Р и Ге. В самом деле, по предложению 1, из условия а) следует в), а из в) следуют условия а) и б).
Наконец, если подпростракство Р' неизотропно, то Рп Рос: Ре П Гво = (О), так что Р также пеизотропно, то есть условие а) следует из бп Опевдвлкнив 2. Пусть () — квадратичная форма на модуле Е. Элемент х Е Е называется сингуаярным (относительно формы Д), если ь) (х) = О. Подмодуль Р модуля Е называется 1) сингулярным, если суигествует ненулевой сингуаярный алемент х й Р, ортогональный к Р; 2) внолне сингулярным; если сужение формы () на Р равно нулю. Ядро квадратичного модуля (Е, ч) (з 3, и' 4) состоит из сингулярных элементов модуля Е', для того чтобы подмодуль Р был сингулярным, необходимо и достаточно, чтобы его ядро было отлично от (О). Так как Ф (х, у) =- () (х + у) — ч (х)— — ч (у), то всякий отличный от (О) вполне сингулярный модуль сингулярен.
Так как Ф (х, х) = 2Ч (х), то всякий сингулярный вектор изотропен и всякий сингулярный (соответственно вполне сингулярный) подмодуль изотропен (соответственно вполне изотропен), Обратное верно, если А — тело характеристики ~ 2. Всякий подмодуль, содержащийся во вполне сингулярном подмодуле, вполне сингулярен. Сумма любого семейства попарно ортогональных вполне сингулярных подмодулей будет вполне сингулярным подмодулем. Множество вполне сингулярных подмодулей модуля Е, упорядоченное по включению, индуктивно; поэтому всякий вполне сингулярный подмодуль содержится в максимальном вполне сингулярном подмодуле.
2..е.азложение Липина К условиям, уже налоягенным в начале этого параграфа, мы добавим следующее: Условив (Т). Д"ая всякого х б Е супгествует элемент а ~ А такой, что Ф (х, х) = а + есс. 390 полутОРАлинвиныз и кВАДРАтичныв ФОРмы Гл. 1х, $4 Это условие всегда выполнено, если форма Ф знакопеременная или если е = 1 и А — тело характеристики ~ 2, когда можно взять а= — Ф(х, х) (см. упражнения 1 и 14). 1 ' Лвмма 1. Пусть Ф вЂ” з-зрмитова форма, удовлетворяющая условию (Т) (соответственно билинейная форма, ассоциированная с квадратичной формой ()) на пространстве Е, и Р— вполне изотропнос (соответственно вполне синеулярное) подпространство пространства Е, отличное от нуля. для всякоео элемента х б Е, не ортогональноео к Р, и всякого сс Е А существует такой элемент у бр, что Ф (х+ у, х+ у) = и+ еа (соответственно ~ (х+у) =а).
В самом деле, положим Ф (х, х) = () + з() (соответственно () (х) = р). Ксли у Е Р, то Ф (х + у, х + у) = (() + Ф (х, у)) + + е (() + Ф (х у)), так как Ф (у, у) = 0 (соответственно 1с (х+ у ) = р + Ф (х, у), так как Д (у) = 0). Поскольку х не ортогонален к Р, аффинная линейная функция у -э. Ф (х, у)+ р па подпространстве Р не равна константе. Следовательно, она принимает значение а для некоторого элемента у Е Р. Этот элемент и есть искомый. Разлозсением Витта модуля Е называется всякое его разложение в прямую сумму трех подпространств Р, Р' и 6 таких, что Р и Р' вполне изотропны (соответственно вполне сингулярны), а б неизотропно и ортогонально к сумме Р + Р', если пространство Е конечномерно, то матрица формы Ф относительно некоторого базиса, подобранного подходящим образом для разложения Витта, имеет вид еб' 0 0 Форма Ф называется нейтральной, если она вевырождена, а пространство Е конечномерно и разлагается в прямую сумму двух вполне изотропных (соответственно вполне сингулярных) подпространств.
Прямая сумма двух нейтральных форм является нейтральной формой. 391 вполне изотРОпные подпРОстРАИствА ПРедложение 2. Пусть Ф вЂ” невырожденная и-зрмитова форма, удовл творяющая условию (Т) (соответственно билинейная форма, ассоциированная с невырохсденной квадратичной формой Е, и Р— вполне изотропное (соответственно вполне сингулярное) надпространство конечной размерности а) Если вполне изотропное подпространство Р' размерности г удовлетворяет условию Р'()Ре = (0), то сумма Р+ Р' неизогпропна и для всякого базиса ф) подпространсгпва Р существует базис (Я надпространства Р' такой, что Ф ()<, 1<) = бп (символ Кронекера) для <, ) = 1,..., г, б) Ес.ви вполне изотропное (соответственно вполне сингулярное) подпространство 6 размерности (г удовлетворяет условию 6ПРз = (О), то существует вполне изотропное (соответственно вполне синзулярное) надпространство Р':О 6 размерностпи г и такое, что Р'ПРе = (О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
