Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 90
Текст из файла (страница 90)
г) Для любого к б 6 (Ф) имеем равенство и (У) = е'; пусть ке — сужение автоморфивма и на У и 6Р группа, состоящая ив всех ие. Показать, что: 1Е ядро гомоморфизма и -~ ие группы 6 (Ф) на 6Р коммутатнвно; 2' если Фз — сужение формы Ф на е'з и 6 (Фэ) — группа метрических аетоморфнзмов рз относительно Ф, то существует гомоморфизм группы 6г на 6(Фэ), ядро которого коммутатнвно (воспольаоваться упражнениями б) и в)). д) Предположим, что А коммутатнвно и автоморфнзм е тождественный; пусть Я вЂ” векторное пространство над полем А размерности 3, (е»)»<» .э — некоторый базис пространства Е, Ф невырсждевная симметрическая билинейная форма на Л, матрица которой относительно базиса (е») редка Показать, что все иаотропные векторы пространства Е содержатся в гнперплоскости, порожденной векторами ез и ез (см. упражнение 4а)).
Привести пример плоскости, изотропиой, но содержащей лишь одну изотропную прямую (см. упражнение 2а)). Показать, что не существует автоморфизма и б 6 (Ф) такого, что в (е,) =. е,+ез, хотя Ф(е», е»)= Ф(е,+ ем е»+ез). й о. Некоторые свойства внакопсременных билинейных форм .1. П1энаеденне ат»аконерелэенных бнлннейнаех бборм Творима 1. Пустаь А — (коммутапзивное) кольцо ааавнык и»»валов, Š— свободный А-модуль конечной рявмерности и, и Ф енакопере меннон билинейная форма на модуле Е.',:Тоеда суп(еепзвуют балис (е,)»» „модула Е и четное число 2ге и такие, что 1' Ф(е„ез)=а„Ф(ез, е»)=аз, ..., Ф(ез„„ет„)=а„ еде а, — ненулевые элементы кольца А, и а» делит а»+» при 1=1,...„г — 1.
2е Все остальные элементы Ф (е;, еу), еде 1<1, равны нулю. 406 полутоРАлнкнйнын и квАдРАтичнын ФОРмы гл. 1х, $5 Идеалы Аа, (1 = 1,..., г) однозначно определяются этими двумя условиями. Подмодуль Е» модуля Е, ортогональный и Е, порождается элементами ег„„,..., е . Доказательство проведем индукцией по размерности п пространства Е.' Для п = О теорема очевидна. Если Ф = О, то она также очевидна; предположим, что Ф ~ О. Обозначим через 1 линейное отобран1енне а» модуля Е в Е», ассоциированное справа с формой Ф Я 1, и' 1); тогда 1 (Е) будет ненулевым подмодулем модуля Е", который является свободным модулем размерности и.
Пусть Аа, — наибольший инвариантный множитель подмодуля 1 (Е) относительно Е» (гл. У11, $4, и' 2, теорема 1); известно (там же), что в модуле Е» существуют базис (е,', а,',..., а„') н элемент 1 (еа) ~1 (Е) такие, что / (ег) = а,е,'. Пусть (е„аг,..., а„) — сопряженный к (е„а,', ... .. „а'„) базис модуля Е (отождествленного с К*); тогда Ф(е„ег) = — Ф(ез, е,) =(ео 1(ег)) =а1.
(1) Пусть Р— подмодуль Ае, + Аег модуля Е. Убедимся, что Е является прямой суммой подмодулей Ае„Аег и Р», ортогонального к Р. Для этого достаточно доказать, что для любого х Е Е существуют однозначно определенные элементы $1 и $1 кольца А такие, что х — $1е1 — $зег Е Р', то есть Ф (е„ х — $1е1 — $гез) = О, Ф (ег, х — $,е, — $гег) = О. В силу (1) этн условия можно переписать так: (е„~ (х)) = $га„(е„1 (х)) = — $1а,.
Но, как известно (там же), образ подмодуля 1 (Е) для любой линейной формы на модуле К* содержится в идеале Аа,; иными словами, все значения Ф (х, у) = (х, ~ (у)) входят в Аа1, отсюда следует существование и единственность элементов $1 и $1. Таким образом, Р» — свободный модуль ранга п — 2; следовательно, по предположению индукции, в Р' существует бааис (е„е„..., е„), удовлетворяющий докааываемым условиям. Чтобы убедиться, что построенный таким образом базис (е„..., е„) модуля Е также удовлетворяет этим условиям, достаточно показать, что а, делит аз; однако это следует иэ того, что все значения Ф (х, у) являются кратными элемента а,. Ясно, что ег,+„..., е„порождают модуль Е».
Наконец, если базис (е,') сопряжен к (е;), то / (ег; 1) = — а,ег; т свойства знлкопктвмвнных вилннвиных Фогм 407 и / (еэ ) = сс«еэ«г для 1=1,..., г, и / (еь) = 0 для й = 2г + 1, „и; идеалы Аа„Асс,, Ааэ, Аиэ,..., Ааг, Аа„будут, следовавательно, инвариантными множителями модуля / (Е) относительно Еэ, что доказывает их единственность (гл. УП, 1 4, и' 2, теорема 1). Слвдствик 1. Пусть А — поле, Š— векторное пространство конечной размерности и над полем А, и Ф вЂ” знакопеременноя билинейная форма на пространстве Е.
Тогда существуют базис (е;)«<гк„пространства Е и четное число 2г<п такие, что ь и г Ф ( ~ Вен ,'«'„Ч е.) =;«($гз-««)эг — $«ит(эг-«). э=« П частности, форма Ф имеет четный ранг 2г. Базис, обладающий свойством (2), называется симплектическим. 3 а м е ч а н и е. Это утверждение легко следует также нэ предложення 3 1 4, и' 2, н его следствии $г так Как, в обозначениях этого предложения, Н обязательно равно (О), поскольку форма Ф энаконерененная, Следствие 2.
Пусть А — поле, Š— векторное пространство конечной размерности и над полем А. Д'ля всякого бивектора 2 г й «ь, Е существует базис (е«)ганг „простра«гства Е «какой, что г = е«Дег+ еэ/~ еэ+ ° + еэ.-« /«еэ. (2г < и). В самом деле, достаточно заметить, что бивектор канонически отождествляется с некоторой зпакопеременной билинейной формой на модуле Е" (гл. 111, $ 8, и' 2), и применить к этой форме следствие 1.
В переводе на матричный яаык следствие 1 означает: Слвдствик 3. Пусгпь А — поле, П вЂ” знакопеременная квадратная матрица над полем А. Ранг матрицы П равен четному числу 2г, и существует обратимая матрица Р над полем А такая, что «РЯР= — Х, 0 0 408 полттогьлинвннык и квьдгьтнчныв еогмы гл, дх, д ь 3 а м е ч а н и е. Если А — проиэвольное коммутативное кольцо и  — анакопеременная квадратная матрица нечетного порядка над кольцом А, то бес В = О. В случае, когда А — поле, это получается иа следствия 3. Непосредственно доказать это утверждение в случае, когда А является полем характеристики Ф2, можно следующим обрааом: так как 'В = — В, то дед В =- = йеС 'В = ( — 1)" дед В, откуда 2 бе1 В = О.
Но тогда, поскольку определитель энакопеременной матрицы (аы) является много- членом от аео 1 ( у, с целыми коэффициентами, наше утверждение верно для любого коммутативного кольца А в силу принципа продолжения алгебраических тождеств (гл. 1Ч, э 2, п' 5, схолия). й. НфаЯ~иан знаконеременной матрицы Пусть А — поле характеристики О и В = (аы) — анакопеременная матрица четкого порядка 2т над полем А. Обоэначим через Е векторное пространство А', череэ (е;) (1 = 1,..., 2т)— его канонический баэис и через е — элемент е, Дег Д... Дег,„ гт внешней степени Д Е. т-я внешняя степень бивектора и = 2 = ~ а; е; Д еу Е Д В имеет вид ае, где а — элемент кольца А, Ю(7 который мы сейчас вычислим.
Элемент Д и является суммой членов вида ад,ь,ад,д,... аь д ед,Дед,Дед,ДеддД ... Дед Дед, (3) где Ьу ( йу при у = 1,..., т. Такой член равен нулю, если в него входят два одинаковых еу, то есть если множество (Ь„й„..., Ь„, й ) не совпадает с (1, 2, ..., 2т). Кроме того, если в выражении (3) одновременно поменять местами ер с ед иед с ед, то произведение не изменится; следовательно, аы г+Р оио не изменится и при любой перестановке пар (Ьд, йд), ...
..., (Ь, й ). Рассмотрим теперь множества (не упорядоченяые) Я = ((Ьь й,),..., (Ь, й )) пар (Ьу, йу), в которых 1<йу( ( йу < 2т для у = 1, 2,..., т; пусть Ф вЂ” мнодкество этих пар. Для 8чФ положим 1д е (8) = О, если (Ьи й„..., Ь, й ) ~ (1, 2, ..., 2т). 2' В противоположном случае е (Я) = 1 или е (Я) = — 1 и эависимости от того, является ли четной или нечетной перестановка, переводящая Ь. в 2у — 1, а йу в 2у (у = 1... „ т).
Б сВОЙстВА знАкопеРвмвнных Вилинвйных ФОРМ 409 Тогда предыдущие рассуждения показывают, что элемент /~ и равен т( ~ е (8)( П аьь) е. (4) Бсв (ьуьме Введем теперь т (2т — $) переменных Хьь с индексами, соответствующими парам (/э, /с) таким, что $ <й ( /с<2т, и обозначим чарва Р многочлен от переменных Хаи над кольцом Я, определяемый формулой Р((Хьь))= 5', е(Я)( П Хал). (5) (ь, АОЕБ Тогда будет выполнено равенство /~и = т( Р ((аьь)) е. (6) Ошвдвлввив $. Пусть В = (аьу) (э', у = $,..., 2т) — знакопеременная матрица четнозо порядка 2т над коммутативным кольцом А.
Пфаффианом Рт (В) матрицы В 'называется влемент Р ((аьь)) кольца А, зде 1 <й /с<2т. П ример. Пусть аы= — агг=В» ам= — аЭЭ=Р2 ..., агм Ь гм= — ага', Эи-(=()э» а все остальные аи равны нулю (см. теорему О. Тогда пфаффиан матрицы Л = (а(() равен ()эбг... д„,. Пивдложвнив э. Пусть  — знакопеременная матрица четноео порядка 2т над коммупиипивным кольцо.и А, и' Р— произвольная квадратная матрица порядка 2т над кольцове А. Тоеда Р(('РВР) =()е2 Р Р((В). (7) В самом деле, пусть сначала А — поле характеристики О, Положим В = (аы), Р = (ры). Матрице В поставим в соответствие бивектор и: 1 и= ~', аэуе(йеу = — ~т, а(те(Лет ьст ! М(, э<2т внешней степени /~А~ и обозначим через (е;) канонический базис пространства Аг, матрицу Р будем рассматривать как матрицу относительно базиса (е() некоторого эндоморфизма ) проси 2 $ странства А '. Тогда бивектор (/)/) (и) равен — ~ (3(,ам))уэе,/~е(, (, э, в, э 410 полутОРАлинжиныж и квАдРАтичныв ФОРмы гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
