Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В самом деле, пусть и — элемент группы Г (Ф), П вЂ” его матрица относительно некоторого базиса пространстваЕ;и Л— матрица формы Ф относительно этого базиса. Поскольку Л обратима, из равенства Л = гПЛ7У(з 1, и'10, формула (48)) следует, что (((еь П) (г(е1 П) = 1. Отсюда (бе$ и) (г(е1 и) = 1.
Гомоморфизм и -+- г(е1 и отображает и (Ф) на Н: в самом деле, если характерня стива поля А равна 2, а У вЂ” тождественный автоморфизм; то Н сводится к 1; в противоположном случае Е имеет ортогональный базис (е;) (г = 1,..., п) (теорема 1); тогда для всякого р й А такого, что дд =-- 1, определим автоморфизм и пространства Е: и (ег) = дег и и (е;) = е, для г =" 2,..., и; тогда автоморфизм и — унитарный и Йе1 и = — д, откуда и следует доказываемое утверждение.
В условиях предлонгения 3 ядро гомоморфизма и -+. ((е1 и является нормальной подгруппой в Г (Ф), и называется специальной унитарной группой, ассоциированной с формой Ф. Иногда она обозначается символом ЯГ (Ф). *) Сьь предыдущее примечание. ННКОТОРЫК СВОЙСТВА ЭРМИТОВЫХ ФОРМ йь23 Если У вЂ” тождественный автоморфизм и поле Л имеет характеристику ~2, эта группа называется также специальной ортогональной группой, ассоциированной с формой Ф (или с квадратичной формой ь',) (х) = Ф (х, х)) и обозначается ЯО (1)).
Если Е = Лв и матрица формы Ф отиосптегьио изиоиььчесиого базиса пространства Г едььиььчиая, то попользуются обозиачсиия ЬЮ (и, Л) или йогьь (А) и ЮО (и, Л) или ЬЬО» (Л), ,ц. Ортогона,зьньье нроектгьирооания и нноолньцны В этом и' предполагается, что скаляр 2 обратим в кольце А (напрнмер, если А — тело характеристики чь2) и что Ф вЂ” невы- рожденная эрмнтова форма на модуле Е. Обратный элемент 1 к 2 обозначается —, 2 ' Лкммь 2.
Длк того чтобы зндоморфиз.и и пространства Е удовлетворял условию и' = 1, необходимо и достаточно, чтобы вндоморфизм -- (1 — и) был проектированием, Тогда и являетея 2 1 разностью двух проектирований: —, (1 )- и) и —, (1 — и). 2 2 Г1 ,3 1 В самом деле, соотношение ( —, (1 — и) ) =- — (1 — и) в кольце Х(Е)равносильно тождеству и'=1. Второеутверждениетривиальио.
Эндоморфнзм и пространства Е, удовлетворяющий условию и' = 1, называется инволюцией (эндоморфизм и обязательно является автоморфизмом и совпадает со своим обратным). Положим и.—..— -„- (1 — и), У-ь .— —.—. Р(Е), У+ = и '(0) (= ю(Е), где ю = .=- —;, (1 1-и)); известно, что Е является прямой суммой Ув и П (гл. Ч111, $1, и' 1), причем и (х) -= х для х б У+, и (х) = — х для х с П . В случае, когда Л вЂ” тело характеристики ~2, а пространство Е конечномерно, отсюда следует, что все ненулевые собственные векторы автоморфизма и входят либо в У+, либо в П; их собственные значения равны соответственно +1 и — 1. Пгкдложкник 4.
Пусть и с (кк (Е) — инволюция. Следующие свойства зквивалентны: а) юьдоморфизм и принадлежит унитарной группе, ассоциированной с Ф; 424 полгтогялинвиныи н квядглтнчныв хогмы гл. зл, ~6 б) подмодули 2 (1+ и) (Е) и П 2 (1 — и)(Е) ортогональны (и, следовательно, неизотропны). Кроме того, если А — тело и Е конечномерно, то свойства а) и б) эквивалентны свойству в) и=из. В самом деле, при х г Пз и у ~ П нз соотношения Ф (и (х),и (у)) = Ф (х, у) следует 2Ф (х, у) = — О, то есть а) влечет б).
Обратно, равенство Ф (и (х), и (у)) = Ф (х, у) выполняется как в случаях, когда элементы х и у оба лежат в П+ нлн в 7У-, так и, в силу свойства б), в случае, когда один из них лежит в 7У', а другой в П-; поскольку К является прямой суммой П+ и 7У, то свойство б) влечет а). Коли, наконец„К вЂ” конечномерное векторное пространство, то сопряженный эндоморфизм и" определен, так как форма Ф невырождена; но условие а) равносильно условию ии* = 1 (2 1, и' 8, следствие предложения 8); по предположению, и' = 1, то есть свойства а) и в) эквивалентны. Слвдствнв 1. Пусть А — тело и пространство Е конечномерно. Отображение и — ~- — (1 + и) (Е) является биекцией множе- 2 отва инволюций, принадлежащих унитарной группе, ассоциированной с Ф, на множество неизотропных подпространств простра ства Е; подпространство П+, соответствующее при этом инволюции и, является множеством элементов пространства Е, инвариантных относительно и.
В силу предложения 4 достаточно докааать, что всякое неизотропное надпространство М пространства Е является множеством инвариантных векторов относительно некоторой единственной ннволюции и ~ О (Ф). Но Е является прямой суммой подпространств М и Мг (2 4, и' 1, следствие предложения 1), и, по предложению 4, должны выполняться равенства и (х) = х для х Е М и и (х) = — х для х Е ЛР. Эти условия однозначно определяют эидоморфизм и, который, очевидно, и будет удовлетворять требуемым условиям (предложение 4).
Инволюцня и, определенная таким образом, называется симметрией относительно неизотропного надпространства М. 425 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭРМИТОВЫХ ФОРМ Следствие 2. Пусть А — тело, пространство Е конечномерно, Р— некоторое проектирование пространства Е. Длл 'того чтобы подпространства в (Е) и а-т (0) были ортогональны (и, следовательно, кеивотропны), необходимо и доспиипочно, чтобы и = Рэ. Достаточно применить к инволюцни и = 1 — 2Р предложение 4. Проектирование, удовлетворяющее условию следствия 2, называется ортогональным проектированием относительно формы Ф й.
Симметрии о ортогональной группе В этом и', если не оговорено противное, предполагается, что А — поле характеристики 4=2 и Ф вЂ” симметрическая билинейная форма, ассоциированная с невыролсденной квадратичной формой ~,') на пространстве Е. Напомним, что Ф (х, х) = 2(г (х) для любого х Е Е Я 3, и' 4). Пусть Н вЂ” неизотрошгая гиперплоскость в пространстве Е и и — симметрия относительно Н (и' 3), и пусть вектор а Ф 0 ортогонален к Н; по предположению, и (а) = — а.
Всякий вектор х Е Е однозначно записывается в виде х = Аа + у, где ) Е А и у Е Н, но а и у ортогональны, так что Ф (х, а) = )Ф (а, а)„ откуда, поскольку вектор а неизотропный (4 4, В' 1, следствие предложения 1), ) = Ф (х, а) Ф (а, а)-'. Тогда и (х) = йи (а) + и (у) =- — Ха+ у = х — 2Ха, откуда и(х)=х — 2Ф(х, а)Ф(а, а) 'а=х — Ф(х, а)у(а) га. (6) Заметим, что последкяк член в равекстве (6) имеет смысл и в случае, если ноле А имеет характеристику 2, а вектор а иг сиигулгриыи; легко проверить, что в этом случае () (и (г)) = О (г) для любого г б Г, то есть и б О (О). Определенная таким образом кнволюцкя и называется такке гиииетригй относительно гпперплоскостк, ортогокальной к вектору а (см. упражекекке 28).
Пгедложение 5. Пусть векторное пространство Е имеет конечную размерность и. Тогда ортогональная группа О (Ч), ассоциированная с формой Ч, порождается силгметр ми относительно неиготропных гиперплоскостей прссгпранства Е. Это утверждение очевидно при и = О, и мы проведем индукцию по числу и. Пусть и — ортогональное преобразование 426 полгтогхлинкннык н квлделтичнык догмы гл. гх, г з пространства Е, х — нензотропный вектор из Е (лемма 1); будем различать три случая: а) Предположим сначала, что и (х) = х.
Тогда ортогональная к вектору х гнперплоскость П кеизотропка и и (Н) = Н. Поэтому сужение и' преобразования и ка эту гнперплоскость принадлежит ортогональной группе 0 (Ч'), ассоциированной с сужением (7' формы (г на Н. Поскольку форма ~' ке вырождена, то, по предположению индукции, и' =- е,... и, где э( — симметрия относительно гкперплоскостн Ь~ в пространстве Н.
Зндоморфизм э; пространства Е, являющийся продолжением г,'- и удовлетворяющий условию э; (х) =- х, будет тогда симметрией относительяо гиперплоскостк Ах + Е; пространства Е. Очевидно, э1 вг ° ° ° ем б) Предположим теперь, что и (х) =- — х. Обозначив череа е симметрию относительно гнперплоскости Н, ортогональной к вектору х, н положив г —" еи, получим е (х) = х н возвращаемся к случаю а). в) Переходя к общему случаю, положим у — — и (х), откуда Г~ (у) =- ~(х). Векторы х — у и х + у не могут быть одновременно иаотропными: если ч(х — у) = О и ч(х+ у) = О, то, сложив эти равенства почленно, мы получили бы 2 (() (х) + (г (у)) =- = О ($3, и' 4, определение 2), откуда 4() (х) = О, что противоречит предположению. Предположим, например, что вектор а= == х — у неизотропный, тогда Ф(у, а) =гг(у+а) — ~(у) — ч(а) ==-~(х) — ч(у) — гг(а) = — (~(а), н следовательно, обозначая через е симметрию относительно гипер плоскости, ортогональной к вектору а, нз формулы (6) будем иметь г(у) =-- у+ а.== х; положив теперь а.= еи, получим в(х) = х и снова возвращаемся к случаю а).
Если а = х — у — изотропный вектор, а х + у — некзотропный, то доказательство, аналогичйо предыдущему, сводится к случаю б). 5. У'руппа подобий Пусть Ф вЂ” эрмитова форма на модуле Е. Автоморфизм и А-модуля Е называется подобием (относительно формы Ф), если существует обратимый элемент а кольца А такой, что (7) Ф (и (х), и (у)) = аФ (х, у) для любых х, у ч Е. Подобия образуют группу Г. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭРМИТОВЫХ 'ЭОРМ 427 Если форма Ф принимает значения, являющиеся регулярными элементами в кольце А (например, если А — тело и Ф Ф О), то элемент а в тождестве (7) однозначно определяется автоморфизмом и; этот элемент нааывается коэффициентом подобия и.
Подставив )ьх вместо х в формулу (7), можно убедиться, что а лежит в центре кольца А; поменяв в этой формуле местами х и у, получим, кроме того, что а =- а, Если коэффициент подобия автоморфизма и обозначить через а (и), то отображение и -э. а (и) будет гомоморфизмом группы Г в мультипликатнвную группу обратимых элементов центра кольца Л. Ядром этого гомоморфизма является унитарная группа, ассоциированная с формой Ф; следовательно, она нормальная подгруппа в Г. Пусть р — обратимый элемент центра кольца Л, э — гомотетия, соответствующая элементу р, и ю — унитарный автоморфизм модуля Е, тогда автоморфизм ио = юэ является подобием и его коэффициент равен рр.
Обратно, пусть и — подобие с коэффициентом, имеющим вид рр (где р— обратимый элемент из центра кольца А). Тогда иэ ' будет унитарным автоморфизмом ю, так что автоморфизм и имеет вид эи~. Предположим теперь, что А — тело, векторное пространство Е конечномерно, а форма Ф невырождена. Тогда для всякого подобия и с коэффициентом а выполняются равенства Ф(х, ау) =аФ(х, у) =Ф(и(х), и(у))=Ф(х, и*(и(у))), то есть и*и является гомотетией, соответствующей элементу а. Если Л коммутативно, и — размерность пространства Е, то из формулы (50) 1 1, и' 10, следует равенство (беги) (де1и) =.- а". (8) Рассмотрим дза случая; 1' Число п — нечетное, и = 2д + 1. Положив р — а ч (4е$ и), будем иметь а = (де1 и) (4е$ и)а м = рд.
Следовательно, подобие и является произведением гомотетии, соответствующей элементу р, и некоторого унитарного автоморфизма. 2' Число п — четное, и = 2о. Положив о = — а т (йе1 и), будем иметь 00 = 1. В частности, если Х вЂ” тождественный автоморфизм, то (йе$ и)' =--: а (и)'е; подобия и, удовлетворяющие условию бес и = а (и)т (соответственно йе1 и = — а (и)т), называются прямыми (соответственно обратнылеи); прямые подобия образуют 428 полутОРАлинейные и кВАдРАтичные ФОРмы гл. 1х, 1 б в группе Г подгруппу индекса 2; гомотетии, соответствующие ненулевым элементам, являются прямыми подобиями; ортогональные преобразования с определителем 1 также будут прямыми подобиями; ортогональные преобразования с определителем — 1 являются обратными подобиями.
Предыдущие определевия и результаты остаются зеркыми к для е-эрмктозых (1 3, и' (), з частпостп для зкакоперсысккых, форм. Пусть А — поле и Π— ненулевая нооаратичноя форма из прострзпстзэ Я. Подобием (откосктэльно формы ()) вззыззстся ззтоыорфвзы и прострапстзз Я, для которого существует яскулозой элеысвт а б А (пазызаеыый ноэффициентом подоб и) такой, что О (и (х)) == = а(э (х) для любого х б Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
