Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 98
Текст из файла (страница 98)
б) Показать, что гиперплоскость, касательная к квадрике Я в точке г с Я, является объединением прямых, проходящих через точку г и касательных к Я. в) Пусть г Р Я. Для всякой прямой г), проходящей через точку г и пересекающей Я в двух точках а, Ь (различных илк нет), обозначим череа г' точку, гармгиичесни сглражеиивю к г относительно Г а Ь 1 точек а я Ь, то есть такую точку прямой 11, что [, ~ = — 1 (гл. 11, приложение 111, упражнение 4); покааать, что точка г' лежит в гиперплоскости, полярной к точке г относительно Я; показать также, что существует а таких точек, принадлезг<ащих квадрике Я и образующих в .Р(Е) проентивно свободное множество (см, $4, упражнение 4а)). г) Пусть п = 3 и форма Ф имеет максимальный индекс т = 2. Тогда множество прямых, содержащихся в Я, является объединением двух таких множеств Л'„Л'г, что всякая прямая из Агг пересекается со всякой прямой иа )ч'г, но никакие дзе различные прямые нз Ег (соответственно Л'г) не пересекаются (упразквеппе 18г)).
Пусть 1), 11' — две различные прямые из множества Е,; для всякого г б гг существует единственная прямая А с й ю проходящая через точку г; пусть и (г) — точна, в которой прямая А пересекает П', показать, что и есть линейное проективное отображение прямой г) на прямую й'. д) Пусть л = 3 и П, В', Р" — три прямые проективного пространства .Р (Е), из которых никакие две не пересенаются. Показать, что объединение прямых, пересекающих 1), 1)' и 11", является невы- рожденной квадрикой. 24) В обозначениях и предположениях упражнения 23 предполозким, что квадрнка Я не пуста и пе вырождена. а) Показать, что подгруппа Г проективвой группы РСЕ (Е), состоящая из проективных линейных биекций, переводящих Я на себя, является каноническим образом группы нодобий относительно формы 41.
(Использовать упражнение 23в) $ 6, упражнение 2а) 4 4 и упразг<вение 3 $1.) б) Пусть точка а б Р (Е) не принадлеягит Я и Ф, — сужение 1 формы Ф на гиперплоскость, ортогональную в Е к я (а). Покааать, что подгруппа группы Г, оставляющая точку а инвариантной, изоморфна факторгруппе ортогональной группы П (Ф,) по ее центру.
ИВКОТОРЫВ СВОЙСТВА ЭРМИТОВЫХ ФОРМ 441 и) Пусть Ь вЂ” точка о, Р— (иэотропная) гяперплоскостви оввто-в гональная з Е к л (Ь), М вЂ” (неизотропное) дополнение к я (Ь) относительно Р, и Фз — сужение формы Ф па М. Показать, что подгруппа группы Г, оставляющая элемент Ь ииэариантным, изоморфна группе подобий евклидова пространства б раамерности и — 1, имеющего форму, обратную к Фз, я качостзе метрической формы (1 1, и' 7).
-в (Заметитви что если подобие относительно Ф переэодит прямую л (Ь) на себя, то оно перезодит гиперплоскость,Р на себя и полностью определяется своим сужением на р). 25) Пусть А — поле характеристики Ф 2, Ь вЂ” аффинное пространстзо над полем А конечной раамерностп'н > 2. Пространство Ь отождестзляется с дополнением к проектизной гиперплоскости Но (»бесконечно удаленной гяперплоскости») некоторого проектизного пространстиа .Р (Г) размерности и (гл.
11, приложение 111, и' 4). Пепустое множество о" Г й называется аффинной кеадрикой (соотэетстзепно аффинной коникой, если и = 2), если о является пересечением прострапстза ф с некоторой проектиэной кзадрикой (соотиетстиенно кониной) пространстэа .Р (Е) (упражнение 23). а) Пусть существует неяырожденная проектияиая кэадряка 3 с Р (Н) такая, что о" = Ь Д У. Покааатви что такая кзадрика единственна, исключение составляет лишь случай, когда к = 2, А = Рз и Н состоит из двух злементоэ (заметитги что при незыполнении условий указанного особого случая для всякой точки к Е Н„ не принадлежащей Х, существует прямая, проходшцая через е и пересекающая о з двух различных точках).
Тогда аффинную кзадрику о называют неэырожденной. Два аффпнных линейных ввногообрааия )е„)ев, содержащихся и Ь, нааызаются еокряженними относительно и", если проектизные линейные многообразия г'„)вв такие, что ув = б Д Ув (1 = 1, 2), сопряжены относительно 7; аналогично определяются коляра (э случае, когда она не содержится э Н,) и полюс аффинного линейного многообразия относительно о" и аффииные линейные многообразия, каска»ельник к о".
б) Пусть кяадрика Н незырождена; показатви что з пространстэе Ь можно выбрать начало а таким образом, что после отождестзления б с соответствующим зекториым пространством я Е найдется базис (ев) такой, что множество о будет состоять из элементов я = звев, удовлетворяющих уравнению одного из следующих двух 1 1 видов: аД»+... +а»Ди =1, аД'+... +а„Ди 1+ЗаииО.
В первом случае точка а однозначно определена и язляется полюсом бесконечно удаленной гиперплоскости Но относительно о. (Эта точка 442 полутОРАлинеиные и кВАдРАтичные ФОРмы гл, 1х, 1 6 называется цеигирол квадрики Ю.) (Рассмотреть два случаи: Нэ является или нет касательной к К; применить и теорему 1 4 6, и' 1, и»редложенне 2 $4, и' 2.) 26) Пусть А — алгебраически замкнутое поле характеристики ~ 2, К вЂ” конечномерное векторное простраяство над полем А, О— невырожденная квадратичная форма на пространстве К. Пусть «б О (Е в обозначениях упрюкнения 12 $4, равенство 6 (р, р) = (О) выполняется для всех р ь'А [Х), проке р (Х) = Х вЂ” 1 и р (Х) = = Х + 1.
Пусть М вЂ” минимальный элемент множества неизотропных надпространств, содержащихся в 6 (р, р) и устойчивых отиосительно и, и р" — мпиимальный многочлен сужения автоморфизма и на М. показатти что при нечетном Ь подмодуль М модуля К неразложим, а при четном А модуль М является прямой суммой двух изоморфных неразложимых подмодулей модуля Е„. (Чтобы убедиться, что прн А = 24 четном модуль М не может быть неразло1кимым, показать, что в этом случае подмодуль Л' = р" (к) (М) был бы вполне пзотропиым; взяв базис (е1)1~1<за модуля м, удовлетворяющий условию и (е1) = ее1 + е1+1 при 1 < 24 — 1, к (езь) = еещ (в = — ~ 1), показать, что элемент еь не может быть ортогонален к заем и вывести отсюда, что равенство Яи (ез)) = 4) (ев) приводит к противоречию.) 27) Пусть А — поле характеристики 2, Š— векторное пространство над полем А конечной размерности и, 41 — квадратичная форма на пространстве Е, Ф вЂ” билинейная форма, ассоциированная с формой 1).
Форма Ф знакопеременная, так что ее ранг равен четному числу 2т (см. 5 5, и' 1, следствие 1 теоремы 1). а) Пусть Ео — надпространство (раамерности я — 2т) пространства Е, ортогональное к Е относительяо Ф. Показать, что для любых векторов х, Р б Ез выполняется равенство Д () х + ру) = ) з4) (х) + + 6161 (у); другими словами, сужение 41, формы 1') на Е, является отображением пространства Ее (рассматриваемого как векторное пространство над полем А) в А (рассматриваемое как векторное пространство над подполем Аз), полулинейным относительно изоморфизма З вЂ «- Зз поля А на Аз.
Пусть ц — размерность (над полем А) -1 -1 ядра Ез () 1) (О) формы 41, и Е, — дополнение ядра Ео () 1) (О) относительно Ез; тогда справедливо неравенство и — 2т — ц ~( .к. (А: Аз). б) ВЫВЕСтя ИЗ а), ЧГО В Праотраиотзв К ИМЕЕтСя баЗИС (Е1),М1<и, первые 2т векторов которого образуют базис дополнения Ез надпространства Ео в Е, а следующие л — 2ю — д венторов образуют п базис надпространства К~', кроме того, при х = ~~ 61г1 1=1 ги и — з Я(х)= Д~~ ~(аД1+$Д,„+1+()Ди)1)+ ~~ УД;, 1=1 1=ага+1 443 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВРМИТОВЫХ ФОРМ где У! (2не+ 1 е ! ( и — о) — элементы поля Л, линейно неэаВисимые относительно подполя Аз. в) Максимальная из размерностей вполне изотропвых надпространств У пространства Е, таких, что У () Ье = (0), называется индексом формы 0.
Показать, что если индекс формы 0 равен т, то и пространстве Е можно выбрать базис (е!) хаким образом, чтобы выполнялись свойства, указанные в б), откуда будет следовать, что а! — — р! = 0 при 1 ( ! ~ т и что сужение формы 0 на подпространство, порожденное в еэ векторами. ее+„..., еш, е~+о+е,... ..., еаи, является (невырожденной) квадратичной формой индекса О. г) Предположим, что о О, и пусть О (!",) — группа автоморфиэыов пространства Е, оставляющих инвариантной форму (), и и б О (()); покавать, по и (х) = х для любого х б Ее, Для любого х б Е, положим и (х) = ио (х) + из (х), где ио (х) б Ео и иэ (х) б Е;, показать, что из принадлежит симплектической груш!е Яр (Фо) (где Фз — сужение формы Ф на Ез); показать также, что (г (из(х)) + + Ч (х) б !! (Ео).
Покааать, что, обратно, дчя всякого автоморфизма иэ б Бр (Фэ) удовлетворяющего условию ч (из (х)) + !,е (х) б 0 (Ьо) для всех х б Ео, существует единственное линейное отображение ио подпространства Ез в Ео такое, что линейное отображение, равное ио+ иэ на Еэ и тождественное на Ео, принадлежит группе О (Ч). д) Предположим, что поле А совершенно (Аэ =- Л) и р = О. Вывести иэ б), что всякое векторное подпространство пространства Е, размерность которого )~ 3, содержит по крайней мере один вектор х такой, что !,! (х) = О.
Если и нечеенно, то ж = т, л = 2т+ 1, откуда следует, что в пространстве Е имеется такой базис (е;), что выполняется равенство О(;Е ьее!)=вечно!+" ° +з $гш+$3т+г, е=! и (в обозначениях г)) группа О (0) иэоморфна Яр (Фэ); тогда все квадратичные формы такие, что о = О, эквивалентны. Если и нежно, то и = 2ен, т = т или ч = т 1, и в пространстве Е имеется такой базис (е!), что выполняется равенство !е'( х~~ ~з!е!)=зеошее+ ° ° +ош-еьзш-г+$т$гув+е (ьш+ьзом), (1) е=! где ).
б А. Пусть А, — поле, полученное нз Л присоединением корней многочлена ).Хэ+ Х + ),; показать, что это поле не зависит от базиса, в котором форма !",е может быть записана в виде (1); показать также, что для эквивалентности двух квадратичных форм (таких, что р = 0) необходимо и достаточно, чтобы соответствую!цие им таким споообом квадратичные расширения поля А совпадали (применить теорему Витта). Разобрать случай, когда А — конечное поле харантеристикн 2. 444 ПОЛУТОРАЛИНЕИНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ГЛ. 1Х, 1 И е28) Пусть А — поле характеристики 2, отличное от Ею Е— векторное пространство раэмерности о = 2ш над полем А, иевырожденная квадратичная форма на Г. а) Показать, что ортогональная группа О (О) порождается симметриямп (которое представляют собой не что иное, как сдвиги, входящие в групну О (О) (1 4, упражнение 6)) (рассуждать, как в упражнении 11 1 5). Вывести отсюда, что коммутавт группы О (()) порождается квадратами элементов О (Я (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
