Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Для всякого азтоморфиэма и б О (4)) -1 положим ш = и — 1, и пусть г — ранг ш, И'= ш (О). а) Показать, что ш(Е) есть лоднространстзо Иго, ортогональное к И'. б) Показать, что при л = 2, г = 2 автоморфизм и является произведелоем двух симметрий относительно прямых пространства Е. (Установить, что если вектор ш (х) иэотропен при любом неизотропном векторе х б Е, то он иэотропен лри любом х б Е; рассмотреть отдельно случаи, когда лоле А имеет не меньше пяти элементов, и случай А = У'з.) в) Пусть л и г — лрокзвольньге целые числа.
Показать, что если образ ш (Е) не вполне изотропен, то автоморфнзм и является произведением г симметрий относительно гилерплоскостей пространства Е л ие может быть представлен в виде произведения меньшего числа симметрий. (Свести доказательство к случаю, когда И' вполне иэотролно, и применить индукцию по л и г, Пользуясь тем, что всякая плоскость, в которой все прямые, кроме, быть может, одной, иэотроплы, будет непременно вполне нзотропной, н рассуждая от противного, доказать, что при И' ~ (О) существует вентор а б И'е такой, гго вектор ш (а) ненэотропен; рассмотреть автоморфиэм зи, где х— симметрия относительно гиперплоскости, ортогональной к ш (а); нккотовыв свойства агмитовых юорм 437 при И' = (О) взять вектор а 6 Е такой, что з>(а) неизотропен, снова рассмотреть автоморфизм зи, где з — та же спмяетрия, что и раньше, и воспользоваться упражнением 6).) г) Предположим, что подпространство з>(Е) вполне изотровно.
Пусть г — симметрия относительпо неизотропной гиперплоскости Н. Покааать, что подпространство векторов, инвариантное относительно зи, есть П () У>> н имеет, следовательно, размерность я — г. Вывести отсюда, что автоморфизм зи не может быть представлен в виде произведения менее чем г + 1 симметрий относительно гиперплоскостей.
Затем вывести из в),что автоморфизм и является проиаведением г + 2 симметрий, но яе может быть представлен в виде произведения меньшего числа симметрий. д) Вывести иа в) и г), что всякий ортагональиый автоморфиам является произведением не более чем я симметрий относительно гиперплоскостей. е) Показать, что при я нечетном (соответственно четном) для всякого автоморфизма и р О (>7) с определителем 1 (соответственно -1) найдется инвариантный относительно и вектор х ~ 0 (применить д)).
16) В предположениях упражнения 15 показать, что при я > 3 группа ЯО (Я порождается симметриями относительно непаотропных подпространств размерности я — 2 (рассуждать, как в предложении 5 1 4). *17) Предположения те же, что в упражнении 15. а) Показать, что коммутант П (О) ортогояальной группы О (О) порождается элементами (ж)з, где з и г пробегают множество симметрий относительно гпперплоскостей (применить предложение 5 З 4 и заметить, что в любой группе Г подгруппа, порожденная квадратами элементов Г, содержит коммутант гру>шы Г).
б) Показать, что при я=э 3 коммутант группы ЯО(О) паро>кдается квадратами элементов ЯО (О) (применить упражнение 16); вывести отсюда, что эта группа совпадает с П (О), а факторгруппа ЯО (О)/() (О) коммутативна и все ее элементы имеют порядок 2. в) Плоскость Р ~ Е называется еилзрболичесвой, если она неизотропна и содержит изотропные прямые (обязательно двэ). Автоморфиам и 6 О ((>) яазывается гиперболическим, если существует гиперболическая плоскость Р такая, что и (х) = * для всех * б Ро; автоморфиам и называется тогда гиперболическим преобразованием, ассоциированным с Р.
Показать, что если индекс формы (7:Э. 1, то всякий автоморфиэм и с О (О) является произведением гиперболических преобразований (воспользоваться предложением 5 1 4 и упраж. пением 4а) 4 4). Вывести отсюда, что если плоскость Р— гиперболическая, то всякий автоморфивм и 6 О ((>)может быть записан в виде и = гг, где г — гиперболическое преобразование, ассоциированное с Р, и гби(()). *16) Пусть А — иоле, Š— векторное пространство размерности я над полем А, 6> — невырождепная эрмитова полуторалпнейнвя 438 ИОлутОРАлинниныи и кпАЛРАтичныи ФОРмы Гл.
1х, 1 б форма на пространстве Е, удовлетворяющая условию (Т) (1 4, и' 2). Пусть У вЂ” векторное подпространство в Е и НР— подгруппа унитарной группы Н (Ф), состоящая иа унитарных автоморфиэмов и таких, что у ( р) = Г. а) Покаэать, что если г ве является вполне иаотропным подпространством размерности л!2, то образ группы НР при отображенни и -~ г)ес и будет в Ае подгруппой, состоящей иэ элементов й б Л, удовлетворяющих условию Оо = 1. б) Покаэать, что если (при л четном) г' — вполне иэотропное надпространство размерности и!2, то абрах группы НР при отображении и -ь г)еь и образует в А* подгруппу, состоящую иа элементов вида ХЯ (применить предложение 2 4 4, п' 2).
в) Пусть г', И' — векторные подпростраиства в Е и сужения формы Ф на г и Иг эквивалентны. Покаэать, что в следующих случаях существует автоморфиэм и б ЯУ (Ф) такой, что и (Р) = И'. 1' Х ~ 1 (применить теорему 3, гл. У, $11, и' 5). 2' У = 1, характеристика поля А ть 2, $' и И' не являются вполне иэотропнымн подпространствами размерности л(2. г) Пусть | = 1, характеристика поля Л ~ 2, и = 2т четно, Ф— невырожденная симметрическая билинейная форма индекса т, п И' — вполне иэотропвые надпространства раамерности т; пока- вать, что определитель всякого ортогонального автоморфиэма и такого, что и (У) = И', равен бес и = ( — 1)'" ч, где д = Йш (Г Д И) (нспольэовать б) и предложение 2 $4, и' 2).
Вывести отсюда, что множество вполне иэотропных надпространств размерности т является объединением двух классов интранэитивности Нм Уэ группы ЮН (Ф); осли надпространства У и И' лежат в одном классе (соответственно в равных классах), то размерность пересечения Р 1) % имеет ту же четность, что и т (соответственно имеет четность другую, чем т). Для того чтобы подобие и (относительио Ф) было прямым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство и (Х,) = У, (воспольэоваться упражнением 4в) $4). 19) Пусть Л вЂ” тело, Š— векторное пространство над Л конечной раэмерности ) О, Ф вЂ” невырожденная и не энакопеременная е-эрмитова полуторалииейная форма иа Е. Пусть автоморфиэм и пространства Е обладает свойством: Ф (и (х), и (х)) =аФ (х, х) для всех х б Е, а б Л.
Показать, что и — подобие с коэффициентом а исключение представляет лишь случай, когда одновременно А— поле характеристики 2, У вЂ” тождественный автоморфиэм (испольэовать упрюкнение 8 1 1). 20) Пусть А — тело, Š— эрмитово пространство конечной раэмерносги над полем А; предположим, что метрическая форма Ф пространства Е удовлетворяет условию (Т) ($4, и' 2).
Показать, что если индекс формы Ф больше О, то существуют подобия (относитель- НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЗРИИТОВЫХ ФОРМ 439 но Ф) пространства 5 с коэффициентом ~ 1, не имеющие неподвижных точек (применить рассуждение из доказательства предложения б 1 6 и предложение 2 1 4, и' 2). 21) Пусть А — поле характеристики ~ 2, Š— конечномерное евклидово пространство над полем А, Ф вЂ” метрическая форма пространства Л. а) Показать, что всякая биекция и пространства Ь на себя, удовлетворяющая условиям Ф(и (х) — и (у), и(х) — и(у)) ='Ф(х — у, х — у) для любых х, у р Б, является перемещением (воспользоваться упражнением 7 $1). б) Показать, что группа перемещений порождается симметриями относительно нензотропных гиперплоскостей аффинного пространства Ь (пользуясь предложением 5 1 4, свести к случаю, когда всякий непзотропный сдвиг является произведением двух таких симметрий).
22) Два линейных многообразия зрмитова пространства Л нааываются иериендинувирными, если их направляющие подпрострапства слабо ортогональпы (1 3, упражнение 11). Пусть пространст. во Ь конечномерно, Уырз — линейные многообразия, И'„)т'о — нх направляющие подпространства. Пусть р = й1ш ()рг + И'з) и; показать, что если подпространство Ие, + )гз неиаотропно, то существует по крайней мере одно линейное многообрааие У размерности и — р, перпендикулярное к У, н к уз и пересекающее каждое из них в единственной точке; кроме того, объединение всех таких линейных многообразий У является линейным многообразием размерности и — р + д, где у = е(1ш (1)'1 () еув).
23) Пусть А — поле характеристики Ф 2, Š— векторное пространство конечной размерности и + 1 д 2 над полем А, (7 — квадратичная форма на пространстве Е, Ф вЂ” ассоциированная с С симметрическая билянейная форма. Множество С, состоящее из векторов х б Е, удовлетворяющих условию Г7 (х) = О, называется иеотроиным конусом с вершиной 0 и с уравнением Д (х) = О. Если зто множество не сводится к О, то обраа Я множества С вЂ” (О) при каноническом отобран<енин я множества Š— (0) в проективиое пространство в» (Е) (гл. 11, приложение П1) называется ироеитивной кводрииой (еоогветственно при и 2 ироентивной кониной) однородного уравнения () (х) = О.
Если форма (г невырождена, то и Ю называется иевырожденной. Два проективных линейных многообрааяя Уы Уа пространства Ю (Е) называются ооириженными относительно У, если -1 -1 прообразы и (У,) и и (Уз) ортогонааьны (относительно Ф). Повярой уо проектнвпого линейного многообрааня у ~ .Р (Е) относительно -г Е называется такое многообрааие, что объединение и (ро) Ц (О) является подпространством, вполне ортогональным (относительно -1 Ф) к п (1') () (0); если у — гнперплоекость и 8 невырождеяа, то уо состоит из одной точки, называемой иовюеом гипер- 10 ПОЛУТОРАЛИНБЙНЫБ И КВАДРАТИЧНЫИ ОгОРВГЫ РЛ. ТХ, 1 б плоскости У.
Проективное линейное многообразие У называется насагаегьным к Ю, если надпространство я (У) Ц (0) пзотропно (относптельно Ф). Ниже мы предполагаем, что 8 непуста и невырождена. а) Показать, что пересечение квадрики Я со всяким проектпвным линейным многообразием У либо пусто, либо является квадрнкой г многообразии У; для того чтобы зта квадртгяа была вырождена, необходимо и достаточно, чтобы многообрааие У было касательным к Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
