Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Полон<ив Л = 1, получим отсюда, что характеристика тела А равна 2; повтому соотношение Л = — Л показывает, что антиавтоморфизм т' — тождественный, так что тело А — коммутативное, а форма Ф вЂ” знакопеременная. 27 н. вурсав» 418 полттогялинкнныв н квядглтичнын поэмы гл. 1х, з 6 Твогкмь 1. Пусть А — тело и Š— векторное пространство конечной ризмерности и над телом А. Тогда для любой эрмитовой формы Ф на пространстве Е существует ортогональный базис, за исключением случал, когда выполняется условие: (С) А — поле характеристики 2, антиавтоморфизм Х вЂ” тождественный„Ф вЂ” ненулевая знакопеременная форма. Это утвер'кдение очевидно прн и =- О, н мы проведем индукцию по и. Можно считать, что Ф ~ О. Если условие (С) не выполнено, то по лемме 1 существует элемент х ~ Е такой, что Ф (х, х) ь' О.
Пусть Н вЂ” надпространство пространства Е, ортогональное к х. Его размерность > и — 1, но поскольку х ~ Н, то она в точности равна и — 1. Если сужение Ч' формы Ф на подпространство Н не удовлетворяет условию (С), то, по предположению индукции, в Н существует базис (е„..., еэ), ортогональный относительно формы Ч'; положив е1 —— — х, мы получим ортогональный базис пространства Е. Остается рассмотреть случай, когда А — поле характеристики 2, У вЂ” тождественный автоморфизм и Ч' — ненулевая знакопеременная форма. Тогда з пространстве Н существуют элементы у и г такие, что Ч' (у, г) ~ 0; положим е, = х + у; вектор х .+ Лг (Л Е А) будет ортогональным к е, тогда и только тогда, когда выполняется равенство 0 =- = — Ф (х + у, х + Лг) = — Ф (х, х) + ЛЧ'(у, г).
Но это равенство однозначно определяетскаляр Л. Выбрав таким образом Л, мы получим, что Ф (х+Лг, х + Лг) = Ф (х, х)чу, так что сужение Ч"' формы Ф на подпространство Н' пространства Е, ортогональное к е„ не является знакопеременной формой. Теперь достаточно применить предположение индукции к подпространству Х'. Теорема доказана. Если жс условие (С) выполнено, то ортогонального относительно формы Ф базиса, очевидно, не существует. Слвдствив 1.
Н обозначениях теорелгы 1 предположим дополнительно, что условие (С) не выполнено, форма Ф невырождена и для всякого х Е Е существует элемент я Е А такой, что Ф (х, х) = оп. Тогда пространство Е обладает относительно Ф ортонормальным базисом. В самом деле, пусть (е ) (1 = 1,..., и) — ортогональный базис пространства Е.
Положим Ф (е;, е;) = а;. Тогда а; ~ 0 нвкотогык своиствл эгмнтовых Фогм 419 (г = — 1,..., и), поскольку форма Ф невырождена. По предположению, существуют элементы рг Е А такие, что а; = р>()> для г = 1,..., и, причем ()г ~ О. Положив 1> =- ()г 'е;, будем иметь равенства Ф (>>, 1>) = р> >а> р г = 1 для любого г и Ф (1>, >>) = = 0 для г ~ 1. Следовательно, (1>) — ортонормальный базис. 3 а и е ч а н и е. Предположения этого следствия наверняка выполняются, если У вЂ” тождественный автоморфнзм и всякий элемент поля А является квадратом некоторого элемента поля А (например, если поле А алгебраически замкнуто). Следствие 2. Пусть А — тело и  — эрмитова матрица порядка и и ранга г над телолг А, Тогда, если не выполняется условие (С') А — поле характеристики 2, У вЂ” тождественный автоморфизм,  — ненулевая знакопеременная матрица, то существует обратимая матрица Р над полем А такая, что уа, 0 ...
О ... 0 Оа....0...0 О О...а„...О О 0...0...0 0 0...0...0 где а; = а; чь 0 для г .— — 1,, г. Пгвдложвнив 1. Пусть А — поле, Ф вЂ” зрмитова форма на пространстве Е, и (х ) (и =- 1, 2,...) — последовательность (конечная или бесконечная) линейно независимых векторов пространства Е такая, что для любого и надпространство Е„= = Ах, +... + Ах„неизотропно. Пусть, д лее, Вн (1 <>г)— алгебраическое дополнение элемента Ф (х,, х„) в матрице (Ф (х„хг)) (>д 1 =- 1, ..., и). Тогда Ю„„чь 0 для любого и, Положим дополнительно (2) 420 полттогллинкиныв и квлдглтичныв аоомы гл.
гх, ! с Тогда для любава и система (е„..., е ) является ортогональным базисом подпространства Е„и справедливо равенство (6) Ф(е„, е„) =Х~„Ю„„,„„. В самом деле, сужение формы Ф на подпространство Е„, невырождено, так что Ю„„~ 0 (б 2, предложение 3); заметим теперь, что Р» = 1, поскольку определитель пустой матрицы равен 1. Из формул (2) следует, прежде всего, что е„=— х„(шоб Е„,) для любого и, так что векторы е линейно независимы, и что (е„ ..., е„) является базисом подпространства Е„. Для любого 1 ( и имеем равенство (гл.
111, $ 6, п' 1, формула (12)); следова-. тельно, вектор е„ ортогонален к Е„ !и, в частности, к вектору егь 1 ~ и. С другой стороны, имеем равенства Ф(е„, е„) =Ф(е„, ~.0г'„йг„х!) =Ф(с„, х„) = 3=! ( ~~ ~„„'Пг хэь х„) = Ю„,'„~ч~ ~П;„Ф(хп х„) =Ь,'„Гэ„„„„! з=1 э=! (гл. 111, $6, и' 1, формула (10)). Это и доказывает наши утверж.дения. В обозначениях предложения1 говорят, что последовательность (е„) получена из последовательности (х„) с помощью процесса ортогонализации Грама —, Шмидта. Ввкдложкнив 2. Пусть Ф вЂ” эрмитова форл!а на модуле Е и (е!) (! = 1,..., и) — ортогональный (соответственно ортонормальный) базис модуля Е. Тогда для всякого р > 0 базис модуля ссЕ, составленный из элементов е! З... З е!, и базис (е,) моду я р Р !!, Е (где Н пробегает множество всех подмножеств из р элементов отрезка 11, п1) (см.
гл. 111, з 5, п' 6) являются ортогональными (соответственно ортонормальными) базисами относительно про- Р Р должений формы Ф на модули 8 Е и /~ Е соот етственно ($1, и' 9). Если, кроме того, отображения, ассоциированные с формой Ф, биективны, то базис (с!) модуля Е*, сопряженный к (е,), ортогонален (соответственно ортонормален) относительно обрагпной формы Ф для формы Ф (з 1, п' 7). НВКОТОРЫВ СВОЙСТВА ЭРМИТОВЫХ ФОРМ Р р Утверждения о модулях ~») Е и Д Е немедленно следуют из формул (35) и (37) 3 1, и'9, а утверждение относительно обратной формы следует из того, что матрица формы е(э относительно бааиса (в';) обратна к матрице формы Ф относительно базиса (е;) (з 1, и' 10).
В. Уны»парная группа ы ортогональтая группа Пусть Ф вЂ” эрмитова форма на модуле Е. Автоморфизмы А-модуля Е, оставляющие форму Ф инвариантной, называются унитарными автоморфизмами (или унитарными преобразованиял»и) относительно формы Ф. Группа этих автоморфизмов называется унитарной группой, ассоциированной с формой Ф, и обоаначается »7 (Ф).
Если на модуле Е задана квадратичная форма О ~ О, то автоморфиамы А-модуля Е, оставляющие форму», инвариантной, называются ортогональными автоморфизмами (или ортегом льными преобразованиями) относительно формы Ф. Группа этих автоморфизмов называется ортогональной группой, ассоциированной с формой Ф, и обозначается О Я). Всякое преобразование, ортогональное относительно некоторой кведреткчпой формы О, унитарно относительно билинейной формы, ассоциированной с О. Обретпое верно, если скаляр 2 пе равен нулю и пе является делителем пуля* ) в кольце А (1 3, п' 4,(43)), например, если А — тело характерястккк Ф2.
Рассмотрим, в частности, на модуле Е = А" эрмитову форму Фе, матрица которой относительно канонического базиса (е») модуля Е равна единичной матрице 7„. Унитарные автоморфизмы относительно формы Фе называются просто унитарными автоморфизмами (или унитарными преобразованиями) от и переменных. Группа этих автоморфизмов называется унитарной группой от и переменных и обозначается иногда Г)' (и, А) или Г)'„(А). Матрица ь( унитарного автоморфизма относительно базиса (в;) называется унитарной, Всякая унитарная матрица обратима и, по формуле(48) 3 1, п' 10, удовлетворяет соотношению 'Г7. (( = 1„. (4) *) Слова епе равен нулю» здесь лкшпяе, так как О является делателем пуля (гл. 1, 1 8, и' 3).
(Прим. перев.) 422 полуторалинвяныв и квадратичныв пзогмы гл. гх, 1 б Обратно, если Л вЂ” коммутативное колы(о или тело, то всякая матрица, удовлетворяющан условию (4), обратима и унитарна. Ксяп з' — тождественный автоморфизм и 2 ие равно 0 *) и не является делителем нуля в кольце А, то вместо предыдущих терминов испоЛьзуЮтся такпв: ортвгвнвяьнвя группа, от я переменных, вртвгонвльный пвтпзьпрфнзя (Ипп вртвгвнвяьнве нревервзвввнне) вт я перепеннььх, вртвгвнпяьнпя мптрпип, п вместо Е7 (п, А) (еоответствеипо ьгп (А)) пишут О (и, А) (соответствеиио Оп (4)). Тогда соотпошеиие (4) принимает вид (б) и поскольку А коммутатпвпо, это соотиошепие иеобходцмо и достаточно дяя того, чтобы матрица у была ортогональной. Првдложкннв 3.
Пусть А — поле, Š— векторное пространство конечной размерности )О, Ф вЂ” невырожденнол эрмитова форма на пространстве Е. Отображение и -+ г(еь и является гомоморфизмом унитарной еруппы Г (Ф), ассоциированной с Ф, на мультипликативную подгруппу', Н кольца А, состоящую из элементов д таких, что оо =- 1 (если У вЂ” гпождественный автоморфизм, то эта подгруппа сводится к ( — 1, 1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
