Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Ясно, что в этом случае эвтоыорфизм и будет подобием с коэффицкевтоы а откосвтельио билинейной формы, ассоциированной с формой Ф обратное верно, если характеристика полн А отлична от 2. «». Эрмитова геометрия Опгеделкиие 2. Пусть А — тело, Б — аффинное пространство надА, и Т вЂ” пространство переносов Т (гл. 11, приложение и). Если на пространстве Т определена невырозкденнал эрмитова форма Ф, то Т называется зрмитовым проетранстпвом над телом А, а Ф вЂ” метрической формой пространства Т. Если Х вЂ” тождественный автоморфизм (и, значит, А коммутативно), то Т чаще называется евклидовым пространством.
Для любых двух точек а и Ь пространства Т положим е (а, 6) =- = Ф (Ь вЂ” а, 6 — а). Пусть е — некоторая третья точка Т. Для того чтобы векторы 6 — а и е — а были ортогональны, необходимо, чтобы е (Ь, е) =- е (а, 6) + е (а, с) (з 1, и' 5, формула (17)). Если У = 1 и характеристика поля А не равна 2, то зто условие достаточно («теорема Пифагора»).
Два линейных многообразия пространства Т, называются ортозональными, если их направляющие подпространства (гл. 11, приложение 11, и' 3) ортогональны. Линейное многообразие в 1 называется изотропным (соответственно вполне изотропным), если его направляющее подпространство изотропно (соответственно вполне изотропно), Вектор пространства Т называется ортогональным к линейному многообразию пространства Ь, если он ортогонален к его направляющему надпространству. 429 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭРМИТОВЫХ <ЬОРМ Пусть У вЂ” линейное многообразие в пространстве Х,, и х— точка Ь. Множество точек у Е Ь таких, что вектор у — х ортогонален к Ь, является линейным многообразием, проходящим через точку х. Многообразие И' называют полны.и ортогональным (или просто ортогональным) многообразием к У, проходящим через точку х.
Если пространство Ь конечномерно, то размерность И' равна коразмерности У. Кроме того, если У неизотропно, то направляющие подпространства многообразий У и И' являются дополнениями друг друга (1 4, и' 1, следствие предложения 1); тогда И' и У пересекаются в единственной точке х,; легко видеть, что если взять начало в многообразии У, У фиксировано, то отображение х -~ х, будет идемпотентным аффинным линейным отображением; это отобрал<ение называется ортогональной проекцией пространства Ь на многообразие У; линейное отображение, ассоциированное с ним (гл. 11, прилол<ение 11, и' 4), будет ортогональным проектированием пространства Т на направляющее подпространство многообразия У (п' 3).
ОпРеделение 3. Пусть Ь вЂ” врмитовс пространство над телом А, Т вЂ” пространство переносов пространства Ь. Аффинная биееция и пространства Ь на Т называется перелгтцением (соответственно подобием) пространства Ь, если ассоциированное с ней линейное отображение Р пространства Т в Т (гл. 11, приложение 11, п 4) унитарно (соответственно является подобием). Труппа переносов является нормальной подгруппой аффинной группы и поэтому будет нормальной подгруппой в группе подобий и в группе движений.
Пусть С, (а Е Ь) — группа подобий (соответственно перемещений), оставляющих точку а неподвижной. Если отождествить Ь с Т, приняв а за начало координат, то С, будет группой подобий (соответственно унитарной группой) пространства Т. Всякое подобие (соответственно перемещение) и может быть единственным образом представлено в виде и = и<~„ где и< Е Са и ~< Е Т, а также в виде и = 1гиг где иг с Са и ~г с Т; впРочем, и, = и, и 1г = и,ггй<г (гл. 11, пРиложение 11, и' 4).
Пусть и — подобие в пространстве Т, Р— ассоциированное с ним подобие в Т. Коэффициент подобия преобразования Р называется также коэффициентом подобия преобразования и (и' 5). Обозначим коэффициент подобия преобразования и симво- 430 пОлутОРАлинейные и квлдРАтичные ФОРмы гл. «х, «з лом сс (и), тогда отображение а -«. сс (и) является гомоморфизмом группы подобий пространства Х в мультипликативную группу обратимых элементов кольца А, "его ядром является группа перемещений, которая, следовательно, меньше всей группы подобий. В случае, когда тело А коммутативно и пространство Х конечно- мерно, определитель де1 и (равный, по определению, бе$ Р) и коэффициент и (и) связаны теми же соотно«пениями, что и в и" 5, Движения и, у которых де1 и =-- 1, образуют в группе перемещений нормальную подгруппу.
Эта подгруппа имеет индекс 2, если характеристика поля А Ф 2, а У вЂ” тождественный автоморфиэм. Пгядложяння 6. Пусть Š— конечномерное эрмитово пространство над телом А и индекс его метрической формы равен нулю. Тогда всякое подобие и пространства Х с коэффициентом )« ~ 1 имеет единственную неподвижную «почку. В самом деле, пусть а — точка пространства Х. Существуют подобие и пространства Х,, оставляющее точку а неподвижной, и перенос Г пространства Ь такой, что и = 1Р. Точна («остается неподвижной при подобии и в том и только в том случае, когда и (д) — Ь = «.
Чтобы показать, что зто уравнение имеет единственное решение, отождествим Ь с его пространством переносов Т, приняв точку а за начало. Теперь достаточно докааать, что эндоморфизм Р— 1 пространства Т обратим, то есть равенство э (х) — х =- 0 (х ч Т) влечет х =- О. Но если э(х) — х =- О, то Ф (х, х) = Ф (с(х), э(х)) = («Ф (х, х), откуда Ф (х, х) = О, поскольку р ~ 1. Но тогда х = О, так как индекс формы Ф равен нулю, что и требовалось доказать. Предположим, что А — тело характеристики ~ 2, Всякое движение и пространства Х, такое, что из = — 1, имеет по крайней мере одну неподвижную точку, например середину — (х + и (х)) 1 отрезка, соединяющего две соответствующие точки.
Приняв эту точку за начало, мы обнаружим, что унитарный автоморфизм пространства Т, ассоциированный с движением и, является симметрией (и' 3). Пусть «е — неизотропное линейное многообразие в Х; дви«кение и называется симметрией относительно У, если, взяв начало координат в г, это движение можно отонгдествить с симметрией пространства Т относительно г'.
Это озна- НККОТОРЫВ СВОЙСТВА ЭРМИТОВЪ|Х ФОРМ чает, что и (х) получается следующим способом: пусть х, — ортого~альная проекция вектора х на многообразие У, тогда и (х) — х = = 2(х, — х). У п р а ж и е н и я. П Пусть А — поле и К вЂ” эрмптова матрица порядка и над полем А, Глааяылк минорами порядка г матрицы Л называются миноры, получаемые вычеркиванием иэ А я — г строк и я — г столбцов с одшгэковыми номерами. «) Показать, что если в матрице Л некоторый главный минор порядка г отличен от нуля, а все содержащие его миноры порядков г + 1 и г + 2 равны нулю, то ранг матрицы 'Л равен г (см. гл.
111„ Э 7, упражнение 1 п 1 8, упражнение 11 и гл. 1У, 5 2, упражнение 10). Вывести отсюда, что ранг матрш1ы Л равен г тогда и только тогда, когда в ней существует главный минор порядка г, отличный от нуля, а все главные миноры порядков г ж 1 п г+ 2 равны нулю. б) Пусть ранг матрицы Л равен г. Показать, что существует перестановка о Р Гба такая, что после применения ее одновре.яенно к строкам и столбцам матрицы Л главные мпнорй Ль порядка й новой матрицы Е, полученные иа нее вычеркиванием строк и столбцов с номе- рамп ) й, удовлетворяют условиям: 1'Лг ~ О; 2' ни для какого й ( г не выполняются равенства ЛА =- Лле1 — — О.
2) Пусть А — поле, Š— пространство конечной размерности л, Ф вЂ” эрмитова иолуторалинейная форма на Е, удовлетворяющая условию (Т) 1 4, и' 2, Л = (а;.) — матрица формы Ф относительно некоторого базиса (е1) пространства Г. а) Пусть ранг формы Ф равен г и главный минор (управгнение 1), полученный на Л вычеркиванием строк п столбцов с номерами )г, отличен от нуля. Показать, что в пространстве Е найдется новый базис (11) такой, что е; = 11 пРи 1 ( 1 ( г. При этом матрица формы Ф относ1ктельно этого базиса получается иэ Л подстановкой нуля вместо всех элементов а11 с индексами 1 ° г илн у ~ г (рассмотреть надпространство Ее, ортогональное к Е). б) Пусть форма Ф имеет ранг л и алгебраическое дополяение.
Л„, элемента а в определителе Л = 1(ес Л отлично от нуля. Вывести иэ а), что в пространстве Е существует новый базис (11) таКОй, что 1'1 =- ее 1 ( 1 ( л — 1, и е о я-1 о-1 Л Ф(х, у)=Ф( ~~ Ы ~ т(;У1)= Я~ 5~ а1Й1Ч1+д— чача 1=1 1=1 1=1 1=1 (рассмотреть эрмитову форму, матрица которой относительно баэи- Л са (е1) получается иэ Л эаыеной элемента ала на а Л„„) в) Пусть ранг формы Ф равен п, Л„1 = О, но минор Л э, полученный нэ Л вычеркиванием строк п столбцов с номерами и 1 и я, 132 полутоРАлинеаные и кВАдРАтичные ФОРмы, гл. 1Х, 1 б отличен от нуля.
Показать, что в пространстве Е найдется новый базис (/;) такой, что /1 —— ан 1 < 1~~ и — 2, н и и и — хи-2 Ф(з, У)=(~ Э1/1 ~~З т)1/1)= ~ ~1 пг/З11)/+Зп-Яп+зпг)п-г. 1-1 1=! 1=11 1 (Пусть Н вЂ” изотропная гиперплоскостги порожденная злементамн е„..., еп,; заметить, что прямая, ортогональная к Н, пе содержнтсн в подпространстве, порожденном элементами е„..., еп применить предложение 2 3 4, и' 2.) 3) Пусть А — конечное поле, Š— векторное пространство конечной размерности над полем А, Ф вЂ” невырожденная эрмитова форма на Е, полуторалинейная относительно азтоморфизма з Ф 1 поля А.
Показать, что пространство Е обладает ортонормальным относительно формы Ф базисом (см. гл. Ч, 4 11, п' 5, следствие теоремы 3). 4) Пусть А — конечное поле характеристики ~ 2, Š— векторное пространство конечной размерности и над полем А. а) Показать, что для любой невырождеиной симметрической билинейной фермы на пространстве Е существует ортогоиальный базис '(е;) этого пространства такой, что Ф (ен е1) =- 1 прн 1 ( 1 ( ( и — 1, Ф (еп, ап) = Л (днскриминант формы Ф относительно .базиса (з1)).
(Заметптги что при и() чь О уравнение пвз+ рг)з = у, где у ~ О, всегда имеет решения (5, т)) з поле А (гл. Ч, $11, упражнение 4).) б) Для того чтобы две незырожденные билинейные симметрические формы на Е были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы отношение их дискриминантов (относительно одного и того же бааиса) было в поле А квадратом. Вывести отсюда, что при нечетном п для всякой невыро'кденной симметрической билинейной формы Ф в пространстве Е существует ортогональный базис, относительно которого матрица формы Ф имеет вид 2/и ()1 б А), следовательно, индекс формы Ф равен (и — 1)/2. в) Покааать, что при и четиолг, и = 2т, индекс невырожденной симметрической билинейной формы Ф на пространстве Е ранен т, если элемент ( — 1)'" Л является квадратом в поле А,и равен пг — 1 в противоположном случае.
5) Пусть А — поле характеристики чь2 и / — многочлен от и (и + 1)/2 переменных Х (1 ~ 1 ( / ~ п) с коэффициентами из А; для всякой сиз1яеюрипескоя матрицы Е =- (Ф ) с элементами кз неко- П торого надполя А' поля А череа 1 (Л) обозначим алемент поля А', получаемый из многочлена / подстаяовкой элементов ФП вместо переменных Хгу (1 ~~ /) . Предположим, что многочлен / обладает следующим свойством: /(1Р(/Р) (г)ег Р)л /(1/) где матрица // = (и, ), и = Х при 1~/, иич = Х1 пРВ 1)/, р = (У..) — квадратйая матрица йорядка и (1'» — еще один набор Ц НВКОТОРЫН СВОЙСТВА ЭРМИТОВЫХ ФОРМ 433 иэ переменных), Ь ) Π— целое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
