Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 92
Текст из файла (страница 92)
12) Пусть А — поле, Š— векторное пространство четной размерности и = 2т над полем А, Ф вЂ” невырожденная знакопеременная билинейная форма яа Е. Показать, что для любого подобия и относительно формы Ф (1 6, и' 5) с коэффициентом и выполняется равенство бей и =- ат (воспользоваться формулой (7)), е13) Предположим, чта поле А имеет характеристику О, Е— векторное пространство размерности 2т над полем А, Ф вЂ” невырождениая энакопеременная билинейная форма на Е. Отождествим 3 форму Ф, обратную к Ф, с бивектором Г 3 Д Е. Тогда лля всякого симплектпческого базиса (е;) г <г з,„пространства Р (относительна формы Ф), занумерованного таким образом, чтобы Ф (ее, еу) = = Ф (е„,~.н е„,г.г) = О, Ф (ен етг.г) = 5П (1~(1~( т, 1 ~1~ т), выполняется равенство Г = ее д е„,+г+ ее д е„,+э+...
+ею д езт. ' р Ненулевой разложнмый р-вектор е б/~ Е называется иеотравмыле (соответственно вполне игетреяним) относительна Ф, если векторное надпространство У„соответствующее е (гл. 111, 3 7, и' 3), изотропво (соответственно вполне изотропно). а) Пусть е — ненулевой разложпмый р-вектор и 2г — размерность дополнения надпространства Уе () Уе в У,. Показать, что т — р+ г есть наибольшее из целых чисел Ь, для которых сВОЙстВА знАИОИВРеменных Билинейных ФОРМ 415 е /1 Г" Ф О, где Г" — Ь-я внешняя степень бивектора Г во внешней алегбре /1 Е (воспольвоваться предложением 2 2 4, пч 2).
2 б) Покавать, что всякий бивектор л р /1 Е может быть записан в виде АГ + лп где А — скаляр, а *, — линейная комбинация вполне изотропных разаожнмых бивекторов. (Свести докавательство к случаю, когда бявектор л раеложим, и ваметить, что если базис (е;) симплектнческнй, то бивектоР (ег+ее) /1 (е .~., — е, +с) вполне ивотропен.) в) Пустьр(ж. Показать, чтовсякий р-вектор вДЕ может быть аапнсан в виде з = л/1 Г+ с„где л — (р — 2)-вектор, а ы— линейная комбинация вполне ивотропных разложимых р-векторов.
(Свестн докааательство к случаю, когда р-вектор с рааложкм, и применить индукцию по р. Таким же образом свести все к случаю, когда з = ег /1 ее /1 ° ° . /1 ер, /1 е +р „где (е,) — симплектический базис, и для О (1 ( т — р рассмотреть бивекторы (РР 1+Рвы) /1 (е,„ер 1 — егс+Р+1).) г) Пусть 1 (р ч, Рь Покачать, что всякий (ж+ р)-вектор бъ+ Р /1 Е может быть записан в виде а = у /1 ГР, где у — (т — р)-вектор. (Свестн доказательство к случаю, когда з разложим; рассмотреть два случая: г = р и г ) р, где 2г — раамерность дополнения подпространства 1', Д 7* относительно У,; во втором случае применить индукцию по г — так же, как в упражнении в).) Вывести отсюда, ю- Р т+Р что отображение у -~ у/1 ГР степени Д Е в /1 Е биектнвно (ваметить, что оба пространства имеют одну и ту же размерность).
Показать, что если (т — р)-вектор у рааложим, то с = у /1 ГР разложим и ус= ую д) Вывести иа г), что прн р (т подпространство /1 Е есть прямая сумма однородной компоненты степени р двустороннего ццеала с, порожденного в /1 Е алементом Г, и подпространства Ер, состоящего иа р-векторов в, таких, что сг /', Гю-Р+1 = О (для з Р /1 Е применять г) к (2т — р+ 2)-вектору з /1 Г"'-Р+').
Испольауя в), показать, что подпространство Ер порождается вполне нвотропными рааложимыми р-векторами, н, испольауя г), покавать, что отобра- Р-2 Р жение л-Рл/1Г степени /1 Е в /1 Е инъективно н раамерность ЕР равна ( ) — ( 2) . е) Пусть р ( т. Доказать, что р-вектор в тогда и только тогда имеет вид в/1 Г, когда з,с, и = О для любого вполне нвотропного разложпмого ж-вектора и. (Показать, что если это условие выполнено п е б Ер, то з /1 у = О для любого (2т — р)-вектора у; для етого представить р в виде в/1, Г -Р, где л — р-вектор, затем 4(6 гголутпрлднынйыын н кклдглтичытяи юпгиьг применить к и утверждевяе в) и заметить, что если э, — вполне иаотропный раэложимый р-вектор, то (2пг — р)-вектор х~ Ц Г -э вполне рааложим и может быть представлен в виде и, /~ ап где и~ вполне вэотропвый раэложнмый т-вектор.) Пусть а — аннулятор идеала с в /~ Е; а есть прямая сумма подпространств В, Вм, /~ Г,, В, Ц Гж-' и АГ"'. Покаэать, что аннулятор идеала а в /~ Е равен с (см.
$2, упражнение 46)). ж) Пусть и — симплектический автоморфвэм пространства Е (относительно Ф) и и — его каноническое продолжение до автоморфиэма алгебры Д Е (гл. 111, $5, в' 9). Покаэать, вто единственными элементами алгебры Д Е, инвариантвыми относительно всех автоморфиамов и, являются линейные комбинации элементов 1, Г, Гэ,..., Г"' с коаффициевтами иэ А. (Ваяв симплектическнй базис (е;), эаписать, что некоторый элемент алгебры ЦЕ инвариантен относительно симплектических сдвигов (упражнение 11), соответствующих гиперплосиостям, ортогональным к еб ватем рассмотреть симплеитиЯеские пРеобРаэовавиЯ игь опРеделаемые Равенствами и)(е~) = е ~ р ц и~ ° (гу) = еп иП (ет+г) =ещ+В ищ (е„,~./) = еж+и иг (еэ) = еа для всех индексов й.) 14) Пусть А — поле характеристики 2, Š— векторное пространство Аэ'а; отождествим симплектическую группу Яр (2т, А) с группой симплектических матриц У, удовлетворяющих, следовательно, ГО У„~ гО Оц условию ЮВУ = В, где В=~ ~ ) .
Положим В=~ 0 О.)' ~/„О.) покавать, что всякая симплектическая матрица У, для которой матрица г + У обратима, может быть единственным обраэом ваписана в виде (Ю + Ю)-' (Р + Ю), где матрица Ю симметрична и Р + Ю обратима, и обратно (см. $4, упражнение 11). 15) Пусть А — поле, Š— векторное пространство равмерноств 2т иад полем А, Ф вЂ” невырождекная внакопеременная билвиейная форма на Е. а) Перенести реэультаты $ 4, упражнения 12 а) н б), иа эндоморфиамы и пространства Е, удовлетворяющие условию лев = иве (и* — эндоморфвэм, сопряженный с и относительно формы Ф).
б) Предположим, вто и* = и. Пусть М вЂ” минимальный элемент множества Я подпространств, неиаотропных, содержащихся в 6(р, р) и устойчивых относительно и (обоаначения иэ упражнения 12 1 4). Покаэать, что М вЂ” либо нерааложимый подмодуль в Е„, либо сумма двух таких подмодулей, иэоморфных друг другу (рассуждать, кав в упрюкневии 12в) 1 4). Покаэать на примерах, что могут осуществиться оба случая (вэять р (Х) = Х вЂ” 1). в) Предположим, что и* = — и и характериствка поля А не равна 2. В тех же обоэначениях, пусть ра минимальный много- член сужения эндоморфнама и на М и  — степень миогочлеиа р. Покаэать, что если В (Ь вЂ” 1) печатно, то М нераэложимый под- 417 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЗРМИТОВЫХ ЬОРМ модуль в Е„; напротив, если а (Ь вЂ” 1) четно, то модуль М либо иеразложиы, либо является прямой суммон двух неразложимых подмодулей, пзоморфных между собой.
г) Предполотвизг, что иеа = 1 (другими словами, и б Яр (Ф)). Если, в обозначениях уира;инения в), р (Х) не делит Хе~а-л1 — 1 плп р (Х) =- Х вЂ” 1 и ( — 1)" Ф вЂ” 1, то М вЂ” неразложимый подмодуль з Ре; в противоположном случае подмодуль М либо неразложим, либо является прялюй суммой двух неразложимых подмодулей, изоморфиых между собой. й 6. Некоторые свойства врмитовых форм 1.
Орпзогоналъньте базисы Определение 1. Пусть Ф вЂ” грмитова форма на модуле Е. Базис (е~) модуля Е называется ортпозональным относительно формы Ф, если два любых его элемента ортогональны относительно Ф. Если, кроме того, Ф (е;, е;) = 1 для любого 1, то базис (ет) называется ортонормальным, Пусть (е;) — ортогональный базис; положив Ф (е„е;) = и„ будем иметь равенство Ф(~э ~$теь ~~ т);е;) = 'Я $;атт)т.
Лемма 1. Пусть А — тело тл Ф вЂ” ненулевая зрмитова форма на пространстпве Е. Если все векторы простпранства Е изотропны, то А — поле характеристики 2, антпиавпломорфигм У вЂ” тождественный и форма Ф вЂ” знакопеременная. В самом деле, развернув равенство Ф (х + у, х + у) =-- О, получим, учитывая, что, по предположению, Ф(х,х) =- Ф(у, у) = О, соотношение Ф (х, у) =- — Ф (х, у) для любых х, у б Е. Поскольку Ф Ф О, то существуют х, у Е Е такие, что Ф (х, у) = 1, Но длп любого Л й А Ф (Лх, у) = — Ф (Лх, у), откуда Л =- — Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
