Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 89
Текст из файла (страница 89)
6) В предположениях упражнения 2 возьмем ненулевой изотропвый вектор а 5 Е (соответственно изотропвый, но ие сввгуляриый (заметим, что такие векторы существуют только в случае, когда характеристика тела А равна 2)). Пусть элемент Х б А обладаег свойством Х+ Й = О (соответственно Х = (Ч (а))-г); показать, что сдвиг в-~- л+ Ф (х, а) Ха (гл. П, $6, упражнение 7) является метрическим автоморфиэмом пространства Е; доказать обратное. 7) В предположениях упражнения 2 рассмотрим группу 6 метрических автоморфизмов пространства Е.
Показать, что единственными полулинейвыми биекциями пространства Е ва себя, перестановочвыми со всеми элементами группы О, являются гомогетии. Исключение представляют лишь три случая: Мш Е = 2, б — группа метрических автоморфизмов, соответствующих квадратичной форме индекса ( ва пространстве Е, и А — одно иа трех тел: Рз, Рз или Ры (Воспользоваться упражнениями 5, 6 и 3; отдельно рассмотреть случай квадратичной формы на векторном пространстве размерности 2.) 8) Пусть А — тело, Š— векторное пространство конечной раамерности )О вад телом А, Ф вЂ” вевырождеввая полуторалинейная е-зрмвтова форма ва пространстве Е, удовлетворяющая условию (Т). Пусть М (Ф) — группа коэффициентов подобия пространства Е относительно Ф (5 6, л' 5). а) Пусть Ум Уз — венторвые подпростравства в Е, имеющие одинаковую размерность, и Фь Фз — сужения формы Ф на У» Уз соответственно.
Для того чтобы существовало подобие и такое, что и (у,) = уз, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой элемент а 5 М (Ф), что формы аФ, и Фз эквивалентны (воспользоваться теоремой Витта). б) Пусть (Р, Р', 6) разложение Витта пространства .Е (в' 2) и Фе сужение формы Ф ва неизотропное подпространство 6. Показать, что если 6 чь (О), то М (Ф) М (Фе). (Воспользоваться теоремой Витта и предложением 2 пе 2.) 26 Н, Втрсаае 02 нолктогллинввныв и квлдглтичныв ячггыы гл.
гх, 4 4 в) Показать, что если индекс формм Ф равен т и ойш Е = 2т, то группа йу (Ф) состоит ие ненулевых эяемектов ь ~ 0 центра коль- ца А, удовлетворяющих условию ь = (. Если я(ш Е = 2т+ 1, то группа М (Ф) состоит из элементов вида 99, где О ~ 0 пробегает мультипликативиую группу ненулевых элементов центра кольца А (воспользоваться теоремой Витта).
(См. $10, упражнение 18.) '9) Пусть А — поле, Š— векторное пространство над полем А, () — невырожденкая квадратичная форма па Е. Подобием относи- тельно Д называется всякий автоморфизм и пространства Е, для которого существует элемент и б А, отличный от нуля, такой, что () (и (з)) = а() (х) при любых з б Е; при этом автоморфизм и является также подобием относительно билинейной формы, ассоциированной с О. Предполагая, что пространство Е конечномерно, сформулировать и доказать результаты, аналогичные результатам из упражнения 8, для подобий относительно формы О., ЧО) Пусть А — тело, Š— векторное пространство над телом А размерности ~~ 2, Ф, (соотвстственно Фз) — невырожденнал з,-эрми- това (соответственно ез-эрмитова) форма, полугоралинейная относи- тельно антиавтоморфизма Х, (соответственно Уз) тела А, удовлетво- ряющая условию (Т).
Показать, что если группа метрических авто- морфизмов пространства Е откосгпельно Ф1 является подгруппой группы подобий относительно Фз, то существует элемент а б А такой, что Фэ = Ф,а (воспользоваться упражнениями бб) и 6). Доказать аналогичное свойство в случае, когда тело Л комму- татнвно н вместо форм Ф, п Фэ в формулировке стоят незырожденные квадратичные формы Оы (7з на простстранстве Е., 1Ц Пусть А — кольцо, Х вЂ” ииволютизпый актпавтоморфизм кольца Л, Š— А-модуль с конечным базисом (е;), Ф вЂ” певырождеи- ная е-эрмитова форма иа модуле Е,  — матрица формы Ф относи- тельно баапса (е;); группа метрических автоморфпзмов относитель- но Ф отождествляется с группой О обратимых матриц У таких, что С (ГВ (ГГ В а) Предположим, что существует матрица Р такая, что В.
= 'Р + зР~. Доказать, что для всякой матрицы Я такой, что ~Ю + -)- зоэ = 0 и Р+ Е обратима, матрица У = ('Р— е~б)-' (Р+ Я) входит в С, а матрица е1+ У обратима. Доказать обратное (пока- зать, что для всякой матрицы П б 6 такой, что е1 + У обратима, выполняется равенство е(еХ+'у) гВ)-егВ(сг!+Юг)-г=В). б) Показать, что условие утверждения а) выполняется, если форма Ф удовлетворяет условию (Т).
В этом случае уравнение 2" = а в кольце А имеет единственное решение при любом и б А. э12) Пусть А — поле, Š— векторное пространство над полем А конечной размерности в, Ф вЂ” невырожденная е-эрмитова полутора- линейная форма на Е. ВПОЛНЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 403 а) Пусть и зндоморфизм пространства Е; показать, что еслв г, (1 < 1 а. н) инварианты подобия зндомарфпама и (гл.
т 11, $5, в' 1, определение 1), то иввариантами подобия сопряженного относительно Ф зндоморфизма и» являются многочлепы г; (1 с .~ т), где всякий г; при применении к каждому коэффициенту автоморфизма о сводится к гс (см. гл. т11, $5, увражненпе 2). Для любого непрвводямога унитарного многочлена р б А [Х), делящего минимальный многочлен зпдоморфизма и, абоаяачим через Га (и, р) ядро зндоморфизма (р (и))" пространства Е и через Е (ы, р) — объединение ядер Гь (и, р) для всех целых чисел й ) О.
Показать, что если р и о— различные непривадимые унитарные многочлевы, делящее минимальный многочлен зндоморфизма и, то надпространства Г (и, р) п Г (и", д) ортогональвы (врименвть тождество Безу). Наконец, если подпространство 6 в Е обладает свойством и (6) с- 6, то и» (6о) с 6о. б) Предположим, что ии» = и»и (в этом случае говорят, что зндомарфизм и нормален относительно Ф; см. й 7, в' 3). показать, что в атом случае и» (Гй (и, р)) с ' Гй (и, р) для любого й и, следовательно, и» (Г(и, р)) с Г(и, р). Положив 6(р, д) = Г(и, р) П () Г (и», д), показать, что пространство Е является прямой суммой надпространств 6 (р, д) и что кри р Ф дс и р, тъ д подвространства 6(р, д) и 6 (р„ос) ортогональны; в частности, при р ть 7 надпространство 6 (р, 1) вполне иаотрокно. Показать, что надпространство 6 (р, р) нулевое или неизотропное и тго при р ~ д нп один ненулевой вектор из 6 (р, о) не артогонален к 6 (Ф р) (воспользоватьсв тем, что форма Ф незырождена); вывести отсюда, чта при р ~ 7 подпространства 6(р, д) и 6 (7, р) вполне изотропны и пмесот одвяаковую размерность и вх сумма 6 (р, у) + 6(Ф р) неизотропна.
в) Предположим, что автаморфизм У отличен от тождественного, характеристика ноля А не равна 2 и ы» = и. Пусть % — множество неизотроннож надпространств М ~ 6 (р, р), устойчивых относительно зндоморфиама и (п, следовательно, подмодулей А [Х)-модуля Еи (гл. У11, $5, и' 1)). Покааать, что всякий минимальный элемент М множества а)) является неразложимым подмодулем модуля Е и (гл. У11, $4, в' 7). (Предпололжть, что М есть прямая сумма перааложимого кодмодуля Мо и некоторого подмодуля Мз Ф (О), п рассмотреть минимальные мпогочлены р" и рь сужений зпдоморфизма и на М, и Л|з соответственно, считал, что й ) й.
Заметить, что моДУль Ме должен быть нестранным и что всяивй его злемеят з ~ О такой, что р (и)о = О, ортогонален к М, (воспользоваться тем, что всякий подмодуль модуля М, моногеввый); записать, что о = (р (и))" — тв и что з пе ортоганален к Луз, в вывести отсюда, что й = й. Покааать затем, ято в Мз имеется неразложимый подмодуль 1уз такой, что сумма 26» 404 поль тоглпининнык и нвлдглтнчнып юогмы гл. гх, 1 4 М, + Ка неиаотропна, и минимальным многочленом сужения экдоморфиама в на Кз является ра; вывести отсюда, что Ма — — )г'а.
Наконец, взяв элемент у б Ма, не ортогоиальиый к з, рассмотреть в модуле М подмодуль Р, порождекный элементом ьг = з + 3у, где Х Я А, и пока- вать, что элемент )ь можно выбрать так, чтобы модуль был неиаатропнмм (доказав для этого, иго Ф ((р( и))ь-ььг, ш) ~ О); это приводит к противоречию.) г) Вывестн из утверждения в), что подпространство 6(р, р) является прямой суммой попарно ортогональных неразложимых подмодулей Нг Показать, что если минимальный многочлен сужения эндоморфизмв ива Н, разек на и степень многочлена р равна и, то в Нь Гйч имеется вполне иаотропное подпространство размерности 3 ~ — ~ .
(,г) Разобрать случай, когда пространство Е не содержит ненулевых изотропных векторов (см. $7, па 3). д) Сформулировать и доказать утверждения, аналогичные в) и г), в случаях, когда иа и или и*и = 1, е) Привести пример, в котором я = 4, Ф симметрическая форма индекса 2, р = р Х 1, эндоморфиам и нормален, Е = 6 (р, р), но Е не является прямой суммой минимальных подмодулей пз множества ЯИ и существует вектор, являющийся собственным для эндоморфиама и, ио не для и" (см.
$7, пс 3). 13) В предположениях упражнения 2 будем считать дополнительно, что пространство Е имеет счетный базис (еэ). Пусть Р— вполне изотропкое (соответственно вполне сингулярное) подпространство в Е такое, что Рш Р; показать, что существует вполне иаотропное (соответственно вполне сингулярное) подпространство Р' такое, что: 1' РДР'= (О); 2 в подпространствах Р и Р' существуют базисы (а„,)юзг В (а,„) такие, что для любой пары индексов Ф (ан а)) дн (7 отрезок множества У с началом в О); 3' (Р+ Р')со = Р+ Р', и пространство Е является прямой суммой подпространств Р+ Р' и (Р+ Р')о.
(Построить по индукции возрастающую последовательность (Еа) неизотропных подпространств с объединением Е и такую, что б(ш ба+ь б(ш А 2; к каждому Ьа применить предложение 2 па 2; для построения этой последовательности для всякого в рассмотреть наименьшее целое число з такое, что га З Е~„ п воспользоваться упражнением 96) $ 1.) 14) Пусть А тело характеристики 2, Š— векторное пространство конечной рвамерности и над телом А, Ф вЂ” невырожденная эрмптова форма на Е, не обязательно удовлетворяющая условию (Т). а) Показать, что множество У элементов х б Е таких, что Ф (х, з) имеет вид и + и, является векторным подпростракством в Е. б) ПУсть Уь = У Д Уе, в = Йш Рн Уа — Дополнение Уь относвтельио У, Ра — дополнение Уь относительно Ус.
Показать, что под- е свойства Знлконвгвмвнных вилинвиных ФОРМ 405 пространство (Рэ+ Уэ)~ = Рз~ Д е1 имеет бавис (е»)» -» .т такой, ято векторы е„..., ее образуют базис подпространстэа у» н прв 1 ~ » ( д, 1 ~1 ( е выполняется равенство Ф (е», ее+1) = Ь» . в) Пусть 6 (Ф) — группа метрических автоморфизмов пространства Я (относительно формы Ф). Показать, что для любого и б 6 (Ф) равенство и (э) = х выполняется для всех е с ус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
