Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 91
Текст из файла (страница 91)
2х, $ з то есть соответствует, по указанному правилу, матрице 'Р В.Р. Так как продолжение /~~ эндоморфизма 1 на внешнюю алгебру /~А' является эндоморфизмом этой алгебры (гл. П1, ~ 5„п' 9), ов 2 2НВ уй зт имеем равенство /~((Д~)(и)) =(Я)(Ди).
Но /~~ — это гомотвтия относительно бе$~, так что нз формулы (6) и определения 1 следует равенство т! Р1('РВР)=т|(сеьР)Р1(Л), то есть в рассмотренном случае равенство (7) верно. Доназательство в общем случае получается, если заметить, что обе части равенства (7) являются многочленами с целыми коэффициентами от элементов матриц Л и Р (гл. Гу, 2 2, и' 5, схолия). ПРждложжннж 2. Для всякой внакопеременной матрицы Л четного порядка 2т над коммутативным кольцом А выполняется равенство йе$ Л = (Р1(В))2. (8) В самом деле, обе части равенства (8) являются многочленами с целыми коэффициентами от элементов матрицы В, так что, в силу принципа продолжения алгебраических тождеств (гл, 1У', 2 2, п'5, схолия), достаточно провести докааательство лишь в случае, когда А — поле характеристики 0 и г(ес Л ~ О. Пусть Р— произвольная обратимая квадратная матрица порядка 2т над полем А.
Тогда йе2 ('РВР) = (ае2 Р)' без Л и Р1 ('РВР) = = (бес Р) Р1 (Л) (предложение 1). Поэтому равенство (8) достаточно доказать для матрицы 'РВР. Благодаря следствию 1 из теоремы 1 матрицу Р можно выбрать так, что 'РВР будет иметь вид (аы), где а,г =- — а21 = 1 ..., аг 6 2Ф = — аг~, 2 ~-2 = 1 а зсе остальные аы равны нулю (см. пример). Но тогда определитель этой матрицы, как и ее пфаффиан, равен 1, что и заканчивает доказательство. 8.
Сылтлемпзичесгсая гругзма Будем предполагать, что кольцо А коммутативно. Пусть Ф— знакопеременная билинейная форма на модуле Е. Автоморфизмы модуля Е, оставляющие форму Ф инвариантной, называются симплектическими автоморфивмами (или симплектическими пре- сВОЙстВА анАкОПВРвмкнных Вилинкйных ФОРМ 411 обраеоеаниями) модуля Е относительно формы Ф, Эти автоморфивмы обравуют группу, называемую симплеятической группой, ассопиированной с формой Ф, Иногда эта 'группа обоеначается Эр (Ф). Рассмотрим, в частности, на модуле Е = Аа знакопеременную билинейную форму Фо, матрица которой в каноническом бависе (е,) модуля Е имеет вид Симплектические авгоморфивмы, ассоциированные с формой Фо, навываются просто симплектическими автоморфивмами, а симплектическая группа, ассоциированная с Ф„называется симплектической группой от 2т переменнь х (над кольцом А).'Эта группа обовначается Бр (2т, А) или Эр, (А).
Матрица симнлектического автоморфивма относительно канонического базиса (е,) навывается симнлектической матрицей. Всякая симплектическая матрица обратима и но формуле (48) 3 1, и' 10, удовлетворяет соотношению 'АЕ А=В . (9) Обратно, если квадратная матрица порядка 2т удовлетворяет (9), то она симплектическая. В самом деле, достаточно показать, что она обратима; однако в силу предложения 1 и' 2 и (9) Р1 (Е ) = = Р1('АЕ А) = (йе1 А) Р1 (Е ), то есть се1А = 1. Одновременно мы докааали следующее утверждение: Пгвдложвнив 3.
Определитель симплектической матрицы равен 1. Коли А — поле и Ф вЂ” невырождеиная билинейная форма на векторном пространстве Е четной раамерности 2т над телом А, то ассоциированная с формой Ф симплектическая группа иломорфна Яр (2т, А). Это получается ив следствия 1 теоремы 1, У и р а ж н е н и я. 1) Пусть А — коммутативкоо кольцо главных идеалов, в' свободный А-модуль конечной раамерности и, Ф вЂ” звакопоременная билпнсйная форма на Е; идеалы Аа; (1 ~~ ~ .
г), опрсдоленвые в теорема 1 и' 1, называются инввриаивннмжи множителлли формы Ф. 422 нплутОРАлннейные и НВАЛРАтнчные ФОРмы гл. гх, $ б а) Пусть Р— подмодуль Е, Ф» — сужение формы Ф на Р и Ар; (1 ~ 1 ( з) — инвариантные множители формы Ф» (()~ делит ~гг,). покавать, что е 4 г и для 1 (1~ г элемент' ()1 кратен ап (Свести доказательство к случаю г =- е = — и воспользоваться упраж- 2 нениямн Эб) и Ов) гл. ЧП, $4.) б) Пусть Е, — второй свободный А-модуль конечной размерности, Ф, — знакопеременная билинейная форма на Ем Ауг ° ° Ауе ее инвариантные множители (т; делит у~+,). Для того чтобы форма Фг была обратным образом формы Ф при некотором линейном отображении модуля Е, в Р, необходимо и достаточно, ятобы в ( г и элемент у; был кратным а~ для 1 ~ 1 ~ г.
(Использовать а) и предложение 4, гл. Ч11, $4, пе 5.) в) Пусть Р, С вЂ” подмодули модуля Е такие, что Ре (соответ- ' ственно Се) является дополнением Р (соответственно 6) в Е. Показать, что если сужения формы Ф на Р и 6 эквивалентны, то зквивалевтны и ее сужения на Ре и 6е, и что существует автоморфизм модули Е, оставляющий ннвариантной форму Ф и переводящий Р в 6. г) Привести пример двух подмодулей Р, 6 модуля Е, имеющих размерность 2, обладающих дополнениями в Е и таких, что ограничения Ф» и Фя эквивалентны, но не существует автоморфиэма модуля Е, оставляющего форму Ф нввариантной и переводящего Р в С (взять и = 4).
2) Пусть Ф вЂ” знакопеременная билинейная форма на конечно- мерном векторном пространстве Е. Показать, что для любого векторного подпространства М пространства Е разность йш М вЂ” бпп (М ( ) Ме) чашнал. (Рассмотреть сначала случай, когда форма Ф невырождена.) еЗ) Пусть Š— векторное пространство четной размерности и = 2т над полем А, н пусть Ф и 2г — анакопеременные билинейные формы на Е; предположим, что форма Ч' не вырождена. Пусть и и г линейные отображения модуля Е в Е*, ассоциированные справа с формами Ф и %' соответственно; отображение г есть изоморфнзм модуля Е на Е*; положив и= гш о и, получим, что м — зндоморфнзм пространства Е. а) Положим Ме — — Е и, по индукции, МА+1 = м (МА) для й )~ О.
Пусть Мь — подпространство, ортогональное к Мь относительно Ф. Показать, что МА+, — подпространство, ортогональное к Мь относительно чг. б) Пусть ле — размерность подпространства Ме, положим ше — — О и обозначим череа шь, й;> 1, размерность подпространства МА 1) Ме. Покааать, что размерность подпространства МЮ й ~~ 1, равна и — л, — (шг + ...
+ ть,), а размерность МЬ, й ~. 1г равна ле + (ш, +... + шь). в) Показать, что при любом й ~ О раамерность подпространства Мь () Мь равна шь + ть+, +... + шзь, а размерность Мь () Мь+, сВОйстВА знАкопегеыенных Билинейных ФОРМ 413' равна тлс, + ть+з +... + тзьс, (для вычисления с помощью индукции по й размерностей подпростраиств Ма() Мзь+~ ь применить упражнение 2б) $3).
г) Вывести иэ упражнения в), что числа ть чгжнме (испольэовать упражнение 2). д) Получить ив г), что висло элементарных делителей эцдоморфивма ю, соответствующих характеристическому корню А = 0 и имеющих данную степень, четко (см. гл. Ч11, $5, упражнение 20). 4) Пусть Е векторное пространство пад полем А, имеющее счетный базис (е„)„>1, Ф вЂ” певырождениая зпакоперемеппая форма на Е, Показать, что в пространстве Е существует такой базис (аэ), нто Ф (аэ, м аг„) = 1 для любого и > 1 и Ф (а;, а1) = 0 для любой другой пары ицдексов с 1 (1 (рассуждать, как в упражнении 13 1 4). 5) Покаэатьт ято для всякой эпакоперемевпой матрицы Х = (х~1) нотного порядка я = 2т вад воммутативвым кольцом и для всякого индекса 1 справедливо равенство Р((Х)= ~~~~ ( — 1)'т/-'Р((ХП) хП, 1=1 где ХМ вЂ” матрица порядка я — 2, получаемая иэ Х вычеркиванием строк и столбцов с номерами 1 и 1.
6) Пусть М вЂ” квадратная матрица порядка т пад коммутативиым кольцом. Положим ( — гМ 0)' Показать, ято Р1 (Е) = йеь М (используя формулу (7), докавать сначала зто равенство в случае, когда матрица М обратима). 7) Пусть А — поле, Й (А) — множество апакопеременных матриц порядка 2т пад полем А; пусть 1 — такое отображение множества 6(А) в А, что для любой матрицы Е с Й (А) и любой матрицы Р порядка 2ж пад полем А выполняется равенство 1 ('РЕР) = (без Р)" 1 (Е), где й — целое рациональное число. Покааать, что 1 (Е) = с (Р( (Е))Ь, где с б А (воспользоваться формулой (7) и теоремой 1 и' 1).
8) Пусть Р, д — зпакоперемепвые квадратные матрицы четного порядка 2гн иад коммутативпьтм кольцом А. Пусть ю (Х) = Р( (Р— Х0); показать, что если матрица () обратима, то ю (()-' Р) = О. (Рассмотреть сначала случай, когда А — поле; аатем иэ упражнения 3 вывести, нто минимальный миогочлеп матрицы 4)-'Р делит ~р (Х)— для этого перейти к алгебраически замкнутому расширению поля А и заметить, что ~рз с точностью до скалярного множителя совпадает с характеристическим миогочлепом матрицы ЧЫР.) э9) Пусть Š— векторное пространство раамервости я иад полем А, Ф вЂ” анакоперемеппая билинейная форма па Е, Ч вЂ” эрмитова полуторалипейная форма па Е (относительпо некоторого ивволютивпого автоморфиэма поля А), Р и () — матрицы форм Ф и Ч соответственно относительно одного и того же базиса пространства Е.
414 нолутовллинкйнып н ннлдпьтичнып воины гл. гх. 1 б а) Предположим, что форма Ф не вырождена. Показать, что чпсло элементарных делителей матрицы О-гР, соответствующих характеристическому корню О и имеющих одну и ту же четную степень, четно (метод тот же, что и в упражнении 3). б) Предположим, что форма Ф не вырождена (отсюда следует, что и четно).
Показать, что числа элементарных делителей матрицы Р Ц, соответствуюшдх характеристическому корню О и имеющих одну и ту же иечевгяую степень, четно (метод тот же). 10) Пусть ве (Хч) — порядок симплектической группы Бр (2т, 2еч) над конечным полем Х . Показать, что ве (Х ) = =- Ье ве э (Меч), где Ьэ — число пар векторов (и, у) из лат, удовлетворяющих условию Фе (х, у) = 1 (обозначения ив и' 3); вывестн отсюда равенство взт (Еч) (дэт 1) дзт-г (дэт-э 1) дтт-э (дз 1) д 11) Пусть А — поле, Покавать, что всякое преобразование и, принадлелеащее симплектической группе Яр (2т, А), является произведением сдвигов, принадлежащих этой группе (называемых еииплеитичеевилги сдвигали; см. 1 4, упражнение 6). (Провести индукцшо по т, покавав, что если векторы л и у ив Е = Аэ"' не ортогональны, то существует произведение е симплектических сдвигов такое, что эи оставляет з и у ннварнантными.) Получить отсюда новое доказательство предложения 3 п' 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
