Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Пусть Е и Е' — конечномерные векторные пространства, наделенные соответственно невырожденными з-зрмитовыми формами Ф и Ф', удовлетворяющими условию (Т) и' 2 (соответственно невырожденными квадратичными формами (г и Ч'), и зти структуры изоморфны. Тогда всякий инъективный метрический гомоморфизм некоторого подпространства Р пространства Е в Е' можно продолжить до метрического изоморфизма пространства Е на Е'. Поскольку структуры Е и Е' изоморфны, достаточно показать, что всякий инъективный метрический гомоморфизм подпространства Р в Е моя'но продоля;ить до метрического автоморфизма пространства Е. Заметим, что если Р1 (1 = 1, 2) — подпространство в Е, Р1ДРг — — (О) и и — метрический гомоморфизм надпространства Р, в Е такой, что Ф (и, (х1), иг (хг)) =- == Ф (х„хг) для х, Е Р, (1 = 4, 2), то гомоморфизм Рл х, + х, — ~ — ~ и1(х1) + и,(хг) сУммы Р, + Рг в Е, являющийся продолжением гомоморфизмов и1 и и„также метрический: в самом деле, разложение каждого из выражений Ф (х1+ хг, у1+ уг) и Ф (и, (х,) + иг (хг), и1 (у,) + иг (уг)) (соответственно ч (х1 + хг) и 1г (и, (х,) + иг (хг))) содержит четыре (соответственно три) члена, и при сделанных пред~алов;ениях зти члены соответственно равны.
Кроме того, если гомоморфизмы и, и иг инъек- Вполне изотРОпные подпРОстРАнстВА тивны и и, (Р,) () иг (Рг) = (О), то гомоморфизм Р также инъективен. 1) Докажем теорему Витта прежде всего в случае, когда многкество точек, инвариантных относительно гомоморфивма и, образует гиперплоскость У пространства Р. Тогда множество векторов вида и (х) — х, где х с Р, будет некоторой прямой .О. Если подпространство Р' ортогонально к .0 и Р' П Р = = — Р' П и (Р) = О, то для всех х с Р, у Е Р' выполняется равенство Ф (и (х), у) = Ф (х, у). Применив к гомоморфизму и и тождественному отображению Р' в Е замечание, сделанное в начале доказательства, получим, что гомоморфизм и продолжается на Р + Р', причем точки подпространства Р' Остаются фиксированными; множество векторов вида и (х) — х (х с Р + Р') есть та же прямая Р.
Но для х ~ Р, у ~ Р имеем Ф(и(х), и(у) — у) =Ф(и(х), и(у)) — Ф(и(х), у) =Ф(х — и(х), у), (5) откуда при х Е У (то есть и (х) = х) следует, что х Е Р', другими словами, У с:.0г. Будем различать два случая; а) РС~ Р'. Формула (5) показывает, что и (Р) не содержится в Р', так что РПР = и (Р)ПРг = У. В качестве Р' возьмем дополнение подпространства У в Р', так как Р + Р' содержит гиперплоскость У и отлична от яее, то Р + Р' =- Е, так что в этом случае искомое продолжение гомоморфизма и на К найдено. б) РсРг. Тогда по формуле (5) и (Р)сРг, следовательно, РсРг, то есть прямая .0 изотропна (соответственно сингулярна, так как для х ~ Р выполняются равенства 1г (и (х) — х) = = (> (и (х)) — Ф (х, и (х)) + 1г (х) = 2(1 (х) — Ф (х, х) =- 0). Покажем, что при этих условиях в Р' существует надпространство Р', являющееся дополнением надпространств Р и и (Р) в Рг.
Это ясно, если Р = и (Р). Если же это неверно, то возьмем такие векторы х и у, что х с Р, х б У, у Е У (Р), у ~ У; тогда Р = П + Лх, и (Р) = У + Лу и Р не содержит суммы х + у: иначе элемент у =- (х + у) — х принадлежал бы к РП и (Р) = У; аналогично сумма х + у не входит в и (Р); таким образом, прямая Л (х + у) является дополнением подпространств Р и и (Р) в подпространстве Р+ и (Р); теперь достаточно положить Р' = Л (х + у) + 6, где 6 — дополнение надпространства Р+ и (Р) в Р'.
Тогда будут 398 полутОРАлинейные и кВАдРАтичные ФОРмы Гл. 1х. $4 выполнены равенства Р + Р' = и (Р) + Р' = Р' и рассуждение, проведенное в начале 1), показывает, что и в данном случае существует продолжение гомоморфязма и на гиперплоскость Рв пространства Е, причем Рв устойчива относительно этого продолжения. Следовательно, остается рассмотреть случай, когда Р есть гнперплоскость Рв и и — автоморфизм надпространства Р.,Цокажем, что для любого г ~ Е существует вектор г' б Е такой, что Ф(и(х), г') =Ф(х, г) (6) для любого х ~ Р; в самом деле, линейная форма х -э Ф (и '(х), г) на Р является сужением некоторой линейной формы на Е, именно формы типа х ->.
Ф (х, г'), так как форма Ф невырождена; следовательно, равенство (6) верно; более того, если г б Р, то существует вектор г' Е Е, удовлетворяющий условию (6) и такой, что Ф (г', г') = Ф (г, г) (соответственно ч (г) = г): в самом деле, поскольку Р = Р', равенство (6) сохраняется, если к вектору г прибавить любой элемент и (у) — у (у Е Р) прямой Р; так как вектор г не ортогонален к Р, то доказываемое утверждение следует из леммы 1 л' 2. Замечание, сделанное в начале доказательства, показывает, что существует метрический гомоморфизм о пространства Р + Аг = Е в Е, являющийся продолжением гомоморфнзма и н переводящий вектор г в г'. Поскольку форма Ф не вырождена, о — искомый метрический автоморфиам пространства Е.
2) В общем случае проведем индукцию по числу г = дйп Р. Случай г = 0 тривиален. Пусть г ) О, то есть Р ч>. (О), и пусть У вЂ” гнперплоскость в Р. Сужение ио гомоморфизма и ка Г, по предположению индукции, может быть продолжено до метрического автоморфизма о, пространства Е. Волн о, является продолжением гомоморфизма и, то теорема доказана. Если же это не так, то П является множеством элементов, инвариантных относительно Р,,*и, и, по случаю 1), существует метрический автоморфизм о, пространства Е, являющийся продолжением гомоморфизма о,'и.
Тогда автоморфизм о, о, будет искомым продолжением гомоморфизма и, что н требовалось доказать. Слкдствие 1. Пусть Е> (1 = 1, 2) — конечномерные векторные пространства, Ф> — невыролсоенная з-эрмитова форма на Е„ д ВпОлне изотРОпные подпРОстРАнстВА 399 удовлетворяюи(ая условию (Т) (соответственно ~',); — невырожденная квадратичная форма на Е1).
Пусть, далее, Е; является прямой суммой своих ортогональных подпространств Е; и Е;". Если формы Фт и Фэ (соответственно ()т и ~',) ) эквивалентны и их сужения на Е; и Е; эквивалентны, то их сужения на Е," и Е; также вквиволентны. В самом деле, пусть и — метрический нзоморфнзм надпространства Е; на Е;. 11о теореме 1 его можно продолжить до метрического изоморфизма э пространства Е, на Ег. Так как форма Ф, невырождена н Е( ортогонально к Е1 в Е„то нзоморфизм э отображает Е,' на Е"„что н требовалось доказать, Следствие 2. Б предположениях теоремы 1 группа метрических автоморфизмов пространства Е транэитиено переставляет его вполне иэотропные (соответственно вполне сингулярные) подпространства данной размерности. Более того, всякое биективное линейное отображение вполне изотропного (соответственно вполне сингулярного) подпространства Р пространстпеа Е на Р индуцируется некоторым метрическим автоморфиэмом пространства Е.
Следствие 3. Пусть ~) — невырожденная квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем А. Группа метрических автоморфиэмов пространства Е транэитивно переставляет его неиготропные надпространства данной размерности. Это сразу же вытекает нз теоремы 1 н следствия 2 предложения 3.
У п р а ж в о и и я. 1) а) Пусть К вЂ” тело характеристики 2, Х: $ -ь $ — ивэолютивиый аптиавтоморфиэм тела К, Я вЂ” центр тела К. Показать, что эслк сужение антиавтоморфиэма э аа Я нэ тождестаевно, то всякий элемент и б К такой, что и = Р, имеет вид Х + Х (заметить, что в 2 содержится элемент о Ф О, который может быть эанисэн в виде 1+ 1, где ь б 2); э этом случае всякая эрмитова форма на векторном пространство над телом К удовлетворяет условию (Т). б) Привести пример тела характеристики 2, обладающего инволютиэным автиавторфиэмом $ -~ 1, отличным от тождествениого, и э котором существуют элементы д = — к, но имеющие вида Х+ Х (см. гл. У111, 1 11, упражнение 4).
;10 поль Ровллнннйные и кнлдРАтичны1с с10Рмы Гл. 1х, 1 4 2) Пусть А — тело, Š— векторное пространство над А, Ф— невырождекная е-зрмитова форма на Е, удовлетворяющая условию (Т) (соответственно 4) — невыро;кденная квадратичная форма на Е, Ф вЂ” симметрическая билинейная форма, ассоциированная с формой 4)). а) Доказать, что плоскость Р ~ Е изотропна (соответственно сннгулярна), но не вполне изотропна (соответственно нс вполне сингулярна) тогда и только тогда, когда она не содержит ни одной нзотропной (соответственно сингулярной) прямой (см, упражнение 14д)).
б) Предположим, что йш Е > 3 и что в Е существуют ненуле. вые пзотропные векторы. Показать, что для всякой не вполне пзотропной плоскости Р в пространстве Е существует неизотропное векторное подпространство Уг Е размерности 3, содержащее ненулевые изотропные векторы и такое, что Р1 У. 3) Показать, что в предположениях упражнения 2 и при условии Йш Е)~ 3 всякая изотропная прямая в пространстве Е является пересечением двух неизотропных плоскостей. 4) Сохраняя предположения упражнения 2, будем считать дополнительно, что пространство Е конечномерно. а) Показать, что если индекс т формы Ф (соответственно 4)) )~ 1, то для всякого ненулевого иаотропного (соответственно сингулярного) вектора а чь О существует базис (е;) пространства Е, составленный из изотроппых (соответственно сингулярных) векторов н такой, что е, = а (см.
упражнение 14д)). б) Пусть У, И' — вполне изотропные (соответственно вполне сингулярные) надпространства одинаковой размерности г ( ж показать, что существуют максимальные вполне изотропные (соответственно вполне сингулярные) подпространства Уы И'~ такие, что УС У„(УС)У, и У, П И; = УП ИУ. (Е и= УП и, про— водить рассуждения в факторпространстве сгег'сг.) в) Пусть У, И', Уы И; — вполне изотропные (соответственно вполне сингулярные) подпространства одинаковой размерности, и нодпространства 1'+ И' и У1 + И", неизотроппы. Показать, что существует метрический автоморфизм и пространства Е такой, что и (У) = = У, н и (УУ) = )Уо г) Пусть 1 — линейяая форма на пространстве Е, н а — элемент тела А, имеющий вид ) + ей (соответственно злемент тела А). Рассмотрим на Е полуторалинейную форму (х, у) — > Ф1 (х, у) =Ф (х, у) — '1(х) аг (у) (соответственно квадратичную форму х — > ()1 (х) = (1 (х)+ а () (х))з).
Показать, что если форма Ф, (соответственно (),) невырожлена и ее индекс равен ты то ~ т~ — т ) к, 1. ВПОЧНЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 5) а) Пусть В кольцо, 5 -1. з — его ивволютивный антиавтоморфиам, з — элемент центра кольца В такой, что ее = 1. Показать, что для любого обратимого элемента )3 кольца К, удовлетворяющего условию () + зб чь О, существует обратимый элемент р Ф 1 такойэ вто р (р + з()) р р + з(). (Показать, что можно взять такой элемент р, для которого ррах = )).) б) Пусть А — тело, Š— векторное пространство нед А, Ф невырожденвая полуторалинейная е-эрмвтова форма на пространстве Е, удовлетворяющая условию (Т); Покааать, что если форма Ф ие звакоперемевная, то для любой веизотропвой гиперплоскости Н пространства Е существует отличный от тождественного метрическвй автоморфиэм пространства Е, оставляющий неподвижным всякий элемент иэ Н (использовать а)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
