Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Покаватти что )е чежхо, Ь = 2й, 1 ((7) = у (бес (г)а, где у б А. (Применяя теорему 1, показать, что для вснкой симметрической матрицы Л над алгебраическим аамыканием () поля А выполняется равенство (1 (Л))э = 1. (е)ес Л)А, где 1 б О; рассматривая в многочлене бес 11 от переменных Хеу слагаемые, содержащие некоторое Хы, воспольэоваться тем, что этот многочлеи не является квадратом.) ' 6) Пусть А — полное не дискретное нормированное поле характеристики Ф 2 (Общ. топол., гл. 1Х, 1 8, в' 2), Ф вЂ” невырожденная эрмптова форма на векторном пространстве Е конечной раамерности я над полем А, л = (ссы) — матрица формы Ф относительно базиса (е1) пространства Е.
Показать, что существует такое е ) О, что для всякой матрицы Л' = (ац), удовлетворяющей условиям (агу — аы ) ( е для всех пар (1, 1), форма Ф', имеющая относительно баэиса (е1) матрицу Л, эквивалентна форме Ф. (Овести докааательство к случаю, когда матрица Л диагональна; воспользоваться упражнением 2б), опираясь на следующую лемму: существует такое число а ) О, что прп ~ ч) ~ ( а найдется элемент $ б А, удовлетворяющий равенству ьэ = 1 — ч). Для докаэательства этой леммы использовать раэложение в ряд биновга (1 э)гГе.), *7) Пусть А — неуиорядочиеаеяое поле (гл. У1, 1 2, упражнение 8) характеристики ть2, Š— векторное пространство конечной равмерности и ) О над полем А, Π— иевырожденная квадратичная форма на пространстве Е, (е1) — баэис, ортогональкый относительи п но О, Тогда О ( ~ 4~ее)= ~ аетате.
Положим (?~ ($ы ° ° $~)ии Г=1 1 ! Г а1ь1, 1 ( г ( в, и через М„обовиачим множество значений 1=е функции О„когда скаляры $1 (1 (1(г) пробегают поле 1. а) Предположим, что для некоторого номера г выполняется равенство М„= М„~.„показать, что Мг = А (эаметить, что всякий элемент поля А является суммой квадратов (гл. У1, 1 2, упражнение 7)).
б) Предположим, что подгруппа Е, состоящая иэ квадратов элементов полн А, имеет в мультиплнкатпвиой группе Ао конечный индекс е. Вывести иэ а), что прн и ) е всякая невырождеииая квадратичная форма на пространстве Е имеет индекс ) О (заметить, что каждое множество Мг является объединением нуля и некоторых классов по шоб Ю). Рассмотреть применение к случаю, иогда А— поле р-аднческих чисел (эр (Общ.
топол., гл. 1П, 1 5, упражнеяие 35). 8) Пусть А поле характеристики чь2, Š— конечномеркое векторное пространство равмерности в над полем А, Π— невырожденная квадратичная форма индекса О на пространстве Е, Пусть 28 Ы. Втреавв 434 нолуторллннввныв н нвлдгатнчныв юогмы гл. 1х, 19 А' — алгебраическое расширение конечной нечеткой степени поля А, Е' — векторное пространство над полем А', полученное пз Е расширением поля скаляров до А'. Показать, что продолжение 4)' формы 4) на пространство Е' Я 3, л' 4, предложение 3) также имеет индекс О.
(Свести доказательство к случаю, когда А' = А [Х)/(1), где ( — иеприводимый многочлен над полем А нечетной степени'т. Пусть (е;) — ортогональный относительно формы Д бааис пространства е и 91 = ч (е1); показать, что в кольце А (х) не может быть выполнено сооткошеиие ~ч~~р~ (ьЧ (х))з = ( (Х) й (Х), где все у; $ отличные от нуля многочлены степени (т — 1; для этого заметить, что многочлен й непременно должен иметь нечетную степень, и рассмотреть какой-нибудь его неприводнмый множитель нечетной степени.) 9) Пусть А — тело, Š— векторное пространство над А со счетньгм базисом (е„)„во Ф вЂ” невырожденная зрмвтова полуторалинейная форма на Е, удовлетворяющая условию (Т) (4 4, п' 2).
а) Покааать, что если условие (С) теоремы 1 не выполняются одновременно, то в пространстве К существует базис, ортогональный относительно Ф (рассуждать, как в упрвкненян 4 $5). б) Предположнм, что, кроме того, А — поле и существует целое число з такое, что всякая невырожденная эрмитова полуторалпнейная форма на любом векторном пространстве конечной размерности ~ г пад полем А имеет индекс ) О (см. упражнение 7).
Показать, что в пространстве К имеется базис, ортонормальный относительно Ф. (Рассуждать, как в а), заметив сначала, что для всякой невырожденной эрмитовой формы Ч.' на пространстве )г конечной размерности ) з и всякого элемента поля А, имеющего вид сз = й+ Х, найдется вектор х б Е такой, что Ч" (з, з) = сз (см. 3 4, и' 2, предложение 4).) е10) а) Пусть А — кольцо главных идеалов, в котором имеется единственный максимальный идеал Ая такой, что 2 не делится на я (гл.
т11, 1 1, упражнение 4). Пусть К вЂ” свободный А-модуль размерности л. Понааать, что всякая симметрическая билинейная форма Ф на модуле К имеет ортогональный базис, (Пусть г — наибольший показатель степени, для которого я' делит все элементы Ф (х, у); показать, что существует а б К такой, что Ф (а, а) = пя", где ив обратимый элемент кольца А; вывести отсюда, что модуль Е является прямой суммой подмодуля Е = А а и подмодуля )ю, ортогонального к Р) б) Привести пример (для в = 2), в котором форма Ф невырождена и в модуле К существует неиэотропный подмодуль )г ранга 1, обладающий в Е дополнением, однако )го не является его дополпением.
в) Пусть (е~) — базис, ортогональпый относительно Ф, и и; = = Ф (ео е;). Показать, что идеалы Ая1 с точностью до порядка не зависят от рассматриваемого ортогонального базиса (см. 1 5, теорема 1). 435 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВРМИТОВЫХ ФОРМ Эти идеалы называются инвариантннми мнвжитеени и формы Ф. Привести пример двух форм, имеющих одинаковые инвариавтпые множители и не эквивалентных (взять две формы, у которых отношение дискриминантов не является квадратом).
г) Пусть р — подмодуль в Е, Фр — ограничения формы Ф на Р Х Р и инваРиаптные ненУлевые множители Аае (1 (1 ( г) фоР- мы Ф занумерованы таким образом, по ае делит а~+,, пусть инвариаитные множители А()~ (1 ( г ( е) формы Фр занумерованы таким обрааом, что ~е делит ()е+и Показаттн что в ( г и при 1 ( 1( е злемент ()е кратен а; (так же, как в упражнении 1а) 1 5). д) Пусть форма Ф невырождеиа; пусть Е, 6 — неизотропные подмодули модуля Е такие, что ре (соответственно 6с) является дополнением к е" (соответственно к 6). Предположим, что сужения формы Ф ка Е и 6 эквивалентны; показать, что существует автоморфизм модуля Е, оставляющий форму Ф внвариавтной и такой, вто и (Е) = 6.
(Пользуясь упражнением а), свести доказательство к случаю, когда Е = Ае, 6= АЬ, Ф (а, а) = Ф (Ь, Ь). Пусть (ев)— некоторый бааис модуля 6е, Ь' и е (1 (1( и — 1) — компонентм соответственно элементов Ь и е1 в Ре; показать, что найдутся такие скаляры )е в (1 ( у' ( н — 1), *по элементы еу = ег' + )еуЬ' удовлетворяют соотношениям Ф (ЛВ в~а) = Ф (еу, ел) для любых индексов г и Ь; для етого заметить, что при любом й бА один иа 'злемеигов 1 ~ Х обратим в кольце А.) 11) Пусть А — кольцо главных идеалов характеристики О, в котором имеется единственный главный идеал и такой, что 2 делится на и. Пусть Ф вЂ” симметрическая билинейная форма на модуле е = Аз, определенная формулой Ф (гвене + гьзег, гдее + е)зез) = еычз+ + $ иы где (е„ез) — канонический базис модуля Е.
Показать, что модуль Е не имеет базиса, ортогонального относительно Ф. 12) Пусть А — конечное поле Еее, в — ипволютиввый автоморфизм $ -~ зе воля А, инвариантное поле которого есть Рс. Пусть, далее, Š— векторное пространство раамерности л над полем А, Ф вЂ” певырожденная эрмитова форма на пространстве Е, полуторалинейная относительно Х. Показать, что порядок унитарной группы У (Ф) равен (д" — ( — 1)") ч"-г (ч~г — ( — 1)"-г) д"-з... (д~ — 1) в (е+1) (доказательство такое же, как в упражнении 10 1 Ь; воспользоваться упражнением 3).
13) ПУсть А — конечное поле Х'з (е не кРатно 2), Š— вектоРное пространство раамерности и над А, 6 — певырожденная квадратичная форма на пространстве Е. Показатгн что а) если и нечетко, то порядок группы БО (6) равен н-г 1) н з( н-з 1) н-е ( з 1) 28е 436 попутовллыккйыык и кллдглтнчлып юогыы гл. гх, 1б б) если л = 2гл летно, то порядок группы ЯО (Ч) равен (Чзш-г зтж-т) (Чз и-з И сзш-з (сз 1) с где е = 1, если ( — 1)'" Л является квадратом в поле А, и е = -1 в противоположном случае, А — дискрпминант формы 41 в проиавольном базисе пространства Е (доказательстзо такое же, кан и в упражнении 12; использовать упражненле 3 $6 и упражнение 5 гл.
М, ( 11). 14) Пусть А поле, Š— векторное пространство над А конечной размерности л,л 2, Ф вЂ” невырожденная эрмлтова полутора- линейная форма на пространстве Е, удовлетворяющая условию (Т) ($4, л' 2). Показать, что едннствениымн эндоморфиэмамн ш пространства Е, перестановочныыи со всеми автоморфиамами и из специальной унитарной группы Ябт (Ф), явллютсл гомотетин; исключение представляет лишь случай, когда одновременно выполняются условия л = 2, Х = 1 н характеристика поля А чь 2.
(При л ~ 3 записать, что эндоморфизм ш лерестаповочен с инволюцлями и б ВП (Ф), и применить упражнение 3 $4; прл л = 2, з' ~ 1 записать, что ш перестановочен со всеми элементами лз ЗП (Ф), матрицы которых относнтелько некоторого ортогонального базиса пространства Е имеют вид ( „ ). ) *15) Пусть А — поле характеристики Ф 2, Š— векторное пространство иад А размерности л) 1, Π— невырожденная квадратичная форма на пространстве Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
