Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Опгкдклвннв 2. Пара (в, с) (в обозначениях теоремы 1) набывается сигнатурой формы Ф. 3. Приведение формьс но отногиеннто ус данной положительной эрмиууговой форме В этом и' предполагается, что пространство Е имеет конечную размерность и над телом А, а эрмвтова форма Ф на пространстве Е невырождена и положительна. Так как линейные отобраясения пространства Е в Е*, ассоциированные с формой Ф, биективны, то для любых элементов х, у, г Е Е, у~О, существует единственный элемент с Е Е такой, 29 н.
БуРбаки 450 пОлРТОРАлинеиныв и кВАдРАтичныв ФОРмы гл. 1х, 1 7 что Ф (х, х) = Ф (1, у). В частности, если А = — К или А = К (1) и и — полулинсйнос относительно з' отображение пространства Е в себя (гл. и, приложение 1, и'1), то для любого х Е Е существует единственный элемент и* (х) такой, что для всех р Е Е выполняется равенство Ф (х, и (р)) = Ф (и* (х), у), Ясно, что из является полулинейяым относительно л отображением пространства Е в себя; зто отображение называется сопряженным к отображениго и. 3 з м е ч з и и и. 1) Если Х вЂ” толздеогзеиный ззтоморфизм, мы приходим к поиигию сопряженного гомоморфпзмз, введенному в $1, и' 8. 2) Пусть А = К иаи А = К (1), ЕЛ вЂ” правый А-модуль, определенный з 1 1, и' 2, определение 5.
Ф является билипейиой формой иа произведении Е и Е~, Ф~ — билинейной формой иа произзедеиии Е~ Х Е, з — А-лииейиым огобрзжеиизм модуля Е в Е*. Соприжеииый к и гомоморфизмз смысле $1, и' 8, будет тогда А-линейным отображением модуля Е з Е*. Очевидно, зто отобрзжеиие совпадает о отображением и", определеииым выше. Эндоморфизм и пространства Е называется нормальным (относительно Ф), если ииз = изи. Примеры нормальных эндоморфизмов. 1) Унитарные автоморфизмы (З 6, и' 2), характеризующиеся равенством и х = и* (3 4, и' 8, следствие предложения 8); 2) эндоморфиамы и, удовлетворягощие условию и = из; эти эндоморфизмы называются зрмипзсвыми.
Для всякого эндоморфизма и пространства Е положим Ф (х, р) = — Ф (и (х), р); тогда Ф,(у, )=-Ф(и(р),*)=Ф(р, "(х))=Ф(и(х) И=Ф,(х, р), то есть форма Ф„на пространстве Е эрмитова. Обратно, пусть Ч" — эрмитова форма на пространстве Е; так как отображение г,з пространства Е в Е*, ассоциированное с формой Ф, биективно, то для любого х Е Е существует единственный элемент и (х) Е Е такой, что Ч" (х, р) = Ф (и (х), р). Легко проверить, что и является эрмитовым эндоморфизмом пространства. Таким образом, отображение и — Ф„является биекцией множества эрмитовых эндоморфизмов пространства Е на множество эрмитовых форм на Е и называется канонической биекиисй. 8 эРмитовы ФОРмы и упОРядочкннык поля 451 Пусть А = К или А = К (г); если на пространстве Е вадана билинейная форма Ч', то для любого х Е Е существует единственный элемент и (х) г Е такой, что Ч" (х, у) = Ф (и (х), у); ясно, что и будет полулинейным (относительно г') отображением пространства Е в себя.
Так как Ф (и (х), у) = Ф (у, и (х)) = = Ф (ив (у), х), то форма Ч" является симметрической (соответственно анакопеременной) тогда и только тогда, когда ив = и (соответственно ив = — и). Тковкмя 2. Пусть Š— множество гндоморфигмов пространстпва Е (соответственно полулинейных отображений Е в себя, если А = К или А = К (>)), устойчивое относительно отображения и -э- и*. Если подпространство Г с: Е устойчиво относительно множеппва Я, то его ортогональное дополнение устойчиво относительно Я. Далее, проапранстео Е является прямой суммой попарно ортогонольных подпространстпв, устойчивых относительно Я и минимальных во множестве ненулевых устойчивых относительно Я подпространств.
В самом деле, пусть подпространство У в Е устойчиво относительно 8; для любых х Е У', у Е У и и Е Я имеем и* (у) Е У, откуда Ф (у, и (х)) = Ф (ив (х), у =-0 (соответственно Ф (у, и (х)) = = Ф (ив (у), х) = 0), и следовательно, и (х) Е Уг„таким образом, подпространство р' устойчиво относительно множества я, что доказывает первое утверждение. Для доказательства второго утверждения проведем индукцию по размерности и пространства Е. Случай и = 0 тривиален.
с'ели и ~ О, то в Е существует минимальное подпространство г' Ф (0), устойчивое относительно Я, например ненулевое устойчивое надпространство минимальной размерности. Теперь достаточно применить предположение индукции к уг, поскольку сопряженный экдоморфиам к сужению ендоморфиэма и на Уг (относительно сужения формы Ф) совпадает с сужением на г'г зндоморфиама, сопряженного к и.
Слкдствив 4. Пусп>ь А = Х или А = К (>), и  — подалгебра в у; (Е), устойчивая относительно о>пображения и-э ив. Тогда пространство Е является полупроспил>в В-модулем и раглагается в прямую сумму попарно ортогональных простых подмодулей. Алгебра В полупроста. 29* 452 НОЛРТОРАЛИНЕИНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ГЛ, тх, $7 В самом деле, поскольку каждый В-подмодуль Р пространства Е имеет дополнение, например Уэ, В-модуль Е полупрост (гл. У111, $3, в' 3, предложение 7). Так как всякий минимальный ненулевой В-подмодуль пространства Е простой, Е является прямой суммой попарно ортогональных простых подмодулей.
Наконец, алгебра В полупроста, так как она имеет точный полупростой ' модуль Е, контрмодуль которого является модулем конечного типа (гл. ЧШ, $5, п' 1, предложение 3). Слкдствив 2. В обозначениях и предположен ях следствия $ будем считать дополнительно, что алгебра В коммутативна. Тогда все ее элементы являются полупростыми (нормальными) эндомор4ивмами пространства Е. В случае А = К (соответственно А = К (1)) Е является прямой суммой попарно ортогональных простых В-подмодулей, являющихся векторными пространствами размерности 1 или 2 (соответственно 1) над полем А.
Первое утверждение следует иа предложения 2 гл. У111, $9, в' 1, так как алгебра В полупроста. С другой стороны, всякий простой В-модуль изоморфен В-модулю вида В/т, где т — максимальный идеал алгебры В, то есть иаоморфен полю Ь конечной степени над полем А; в случае А = К (соответственно А = К (1)) поле Х изоморфно К или К (1) (соответственно К (1)), так как поле К (1) алгебраически замкнуто (гл.
У1, т 2, п' 3, теорема 3). Пгвдложвник 4. Пусть и — нормальный эндоморЯизм пространства Е. В слу ие, когда А есть К (1) или тело кватернионое над полем К, Е имеет ортонормальный (относительно Ф) базис, состоящий из собственных векторов эндоморЯигма и. В случае А = К эндоморфизм полупрост и Е является прямой суммой попарно ортогональньх подпространств размерности 1 или 2, устойчивых относительно и. Рассмотрим сначала случай, когда А коммутатнвно (А = К яли А = К (~)). Тогда подалгебра В = А !и, иь) в ХА (Е) коммутативна, так как эндоморфиам и нормален; по формулам (32) и (33) 1 1, и' 8, подалгебра В устойчива при отображении Р-э- Рз. В случае А = К утверждение немедленно следует тогда иа следствия 2 теоремы 2.
В случае А = К (1) это:ледствие покааывает, что Е является прямой суммой попарно ортогональных векторных 8 ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ И УПОРЯДОЧВИИЫЕ ПОЛЯ 458 подпространств Ах, (1 = 1,..., п) размерности 1, устойчивых 1 относительно зндоморфизма и; положив е; = Ф (х;, х;) г хь получим искомый ортонормальный базис (е,). В случае, когда А — тело кватернионов над полем К, достаточно показать, ввиду теоремы 2, что всякий минимальный элемент множества ненулевых подпространств, устойчивых относительно зндоморфизмов и и и*, имеет размерность'1.
Но всякое такое подпространство У содержит собственный вектор х ~= О зндоморфиэма и *): в атом легко убедиться, если заметить,'что тело кватернионов А содержит алгебраически замкнутое подполе К (1), и сузить тело скаляров пространства з' до этого подполя.
Теперь остается лишь показать, что собственный вектор х зпдоморфизма и является собственным и для зндоморфизма ие. Пусть и (х) = ах (а с А); тогда Ф (и (х), х) = аФ (х, х) = Ф (х, х) а = Ф (х, ах), так как элемент Ф (х, х) входит в центр тела А; с другой стороны, Ф (и (х), х) = Ф (х, ие (х)); отсюда следует, что Ф (х, ие (х) — ах) = = О, так что можно записать и* (х) = ах+ г, где г — вектор. ортогональный к х. Но тогда Ф(ие(х), и'(х)) = ааФ(х, х)+Ф(г, г) =Ф(и(х), и(х))+Ф(г, г).
Поскольку зндоморфизм и нормален, то Ф(и(х), и(х)) =Ф(х, и'и(х)) =Ф(х, ипз(х)) = =Ф(ии*(х), х)=Ф(и'(х), и*(х)), Следовательно, Ф (г, г) = О, откуда, по предположению, г = О н и* (х) = ах, что и требовалось доказать. 3 а ив чан не. Из теоремы 2 следует, что собственные полпространства, соответствующие двум различным собственным значением эндоморфизма к, ортогональны. Пгвдложннин 5, Пусть и — врмитов зндоморфизм пространства Е. Собственные значения зндоморфизма и принадлехсат полю К. *) 11усть à — левое векторное пространство над некоммутативкыв телом А и к — звдоморфизм пространства Е; вектор х ~0 из Г называется собмввкккым вектором эздоморфззма в, если существует элемент а б А такой, что и (х) = ех; скалвр а называетсл тогда собсвыевнкм значением эндоморфизма в. Заметим, что для любого Ь Ф 0 нз кольца А вектор Ьт будет собственным вектором эпдоморфнзма в и соответствующее собственное значеане равно Ьаь-'.
454 ПОЛУТОРАЛИНКИНЫИ И КВАДРАТИЧНЫК ФОРМЫ ГЛ. 1Х, $7 и пространство Е имеет ортонормальный багие, составленный иг собственных векторов эндоморфигма и. В случае, когда А есть поле К (1) или тело кватернионов над полем К, достаточно, ввиду предложения 4, доказать первое утверждение; однако если х — ненулевой собственный вектор эндоморфизма и и а — соответствующее собственное значение, то по условию и = — ив имеем аФ (х, х) = Ф (и (х), х) = Ф (х, и (х)) = Ф (х, х) а. Так как Ф (х, х) — ненулевой элемент центра кольца А, то из этого равенства следует, что а = а, то есть а ~ К.
Следовательно, все собственные значения эрмитовой матрицы лежат в поле К. Теперь рассмотрим случай А = К. Матрица М эндоморфиама и относительно любого ортонормального базиса пространства Е будет тогда симметрической, то есть эрмитовой, если ее рассматривать как матрицу над К (1). Первая часть доказательства показывает, что все собственные значения этой матрицы лежат в К, так что если Е чь (О), то матрица М имеет в Е ненулевые собственные векторы.
Отсюда следует, что всякое минимальное подпространство, устойчивое относительно эндоморфизма и, имеет размерность 1, откуда, как в предложении 4, легко следует доказываемое утверждение. Пгвдложкннв 6. а) Пусть Ч' — ормитова форма (соответственно симметрическая билинейном форма, если А = К или А = К (1)) на пространстве Е.
Тогда в Е существует багие, ортонормальный относительно Ф и ортогональный относительно Ч', б) Пусть А = К или А = К (1), и Ч" — гнакопеременная билинейная форма на пространстве Е. Тогда в Е существует ортонормальный (относительно Ф) базис, относительно которого матрица формы Ч' имеет вид О а, О О ... Π— а, О О О ... О О О О ... ΠΠΠ— агО...О О О О О ... О где все а1 >О в поле К. 8 'эРмитовы ФОРмы и упОРядочвнныв поля 455 Для эрмитовой формы Ч" наше утверждение легко следует из предложения 5 и канонического соответствия мея'ду эрмвтовйми формами на пространстве Е и эрмитовыми эндоморфиамами относительно формы Ф.
В двух оставшихся случаях воаьмем полу- линейное отображение и пространства Е в себя, определенное в начале этого и' формулой Ч' (х, у) = Ф (и (х), у). Тогда отобрал~ение иг А-линейно; если форма Ч" симметрическая (соответственно анакопеременная), то и = ие (соответственно и = — — ие), так что эндоморфизм и' эрмитов, отсюда следует . Ф(иг(х), х) = Ф(х, иг(х)) = Ф(и" (х), и(х)) = Ф(и(х), и (х)) (соответственно — Ф (и (х), и (х))), то есть эрмитова форма (х, у) -~- Ф (и' (х), у) положительна (соответственно отрицательна). Применим теперь теорему 2 и обозначим череа Р' минимальный элемент множества ненулевых надпространств в Е, устойчивых относительно эндоморфизмов и и ие. Поскольку эндоморфпзм иг эрмитов, подпространство у содержит некоторый его собственный вектор х ~ О; положим и' (х) = ах, где а ~ К (предложение 5). Если Ч' — форма симметрическая, то неравенство Ф (иг (х), х) > О показывает, что а>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
