Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Вывестп отсюда, что в этом случае и" ю = мэ". 23) Пусть выполнены условия, укааанпые в п' 3, и и, е — эндоморфпзмы пространства Е. а) Предположим, что эндоморфизмы и и иг нормальны. Поиааать, что эндоморфизм эи нормален тогда и только тогда, когда иэи н х перестановочны. (Для доказательства необходимости испольэовать упражнение 22 п соотношение и (эи) = (иэ) и; для докааательства достаточности использовать упражнения 14а) п 10г).) НОЛУТОРАЛИНЕИНЫЕ И КПАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ РЛ.
1Х, 1 7 б) Предположим, что эндоморфиэмы и, ю и ию нормальны; пусть () — наибольшее собственное значение эндоморфцэма ил*, и Р подпространство.в Е, состоящее иэ собственных векторов атого андо. морфнзма, соответствующих собственному значению )). Показать, что ю (Р) ~ Р. (Заметить, что всякий нормальный аидоморфиам и обладает свойством Ф (и (х), и (х))=Ф (ие (х), ие (х)) для всех х б Е. Свести докаэательство к случаю, когда А есть К (1) или тело кватерниовов над полем К; подпространство Р имеет базис, составленный иэ собственных векторов эндоморфпзма и (и и*); эаметить, что для всякого такого вектора ю выполняется равенство Ф (иеию (з), ю (ю)) = РФ(ю (е), ю(х)).) Вывести отс1ода, что эндоморфпэм юк нормален (прпиенпть индукцию по числу различных собственных значений эндоморфиэма к" и). Пусть Ь (соответственно Ь') — положительный эрмитов эндоморфпэм такой, что Ьэ = иве (соответственно Ь'э = юю"); положим в = Ьи„ю = Ь'юь где и, и юг— унитарные эндоморфпэмы и Ь верестановочен с и„Ь' перестановочен с ю~ (упражнение 14а)); показать, что пары (Ь, Ь'), (Ь, ю1) и (Ь', к,) перестановочвы; доказать обратное утверждение.
Вывестн отсюда, что при этих условиях эндоморфиэмы ижю", ю"и'", ию* и юеи вормальвы (т н в — произвольные целые числа ) 0). 24) Пусть выполнены условия, указанные в и' 3. Пусть Г— некоторая группа автоморфпэмов пространства Е такая, что всякий автоморфпзм и б Г нормален. Показать, что пространство Е может быть разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств Еь (1 ( Ь ~ г) таких, что сужение всякого автоморфнэма и 5 Г на Еь имеет вид Хью», где Хь ) Π— элемент воля К, юа — унитарный эндоморфпэм подпространства Еь (каждый элемент и б Г представить в виде Ью, где эндоморфпэм ю унитарный, эндоморфпам Ь положительный эрмвтов и Ьа = иих (упражнение 14а))' воспользоваться упражнением 23б) и применить следствие 2 теоремы 2 к алгебре, порожденной эрмнтовыми эндоморфиэмами Ь, соответствующими элементам и 5 Г).
Вывест~ отсюда, что если группа Г конечна, то все ее элементы унитарны. 25) Пусть А = К (максимальное упорядоченное поле), Е— евклидово пространство размерности в над полем А, имеющее невырождевную положительную метрическую форму.
Пусть Я вЂ” невырождениая аффинная квадрика в пространстве Е ($ б, упражнение 25), Показать, что если квадрика Х имеет центр и этот центр принят эа начало в пространстве Ро то в Е существует ортонормальный базис (е;), относительно которого квадрика Я имеет уравнение )чД + . ° ° + ХДо = 1. Прн этом, если два ортонормальвых базиса обладают этим свойством, то соответствующие им элементы Ц Р К с точностью до порядка совпадают. ЗРМИТОВЫ ФОРМЫ И УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 465 Если квадрика 8 не имеет центра, то показать, что существует точка Ь б К такая, что если Ь привять эа начало, то в пространстве Ь найдется ортонормальный баанс, относительно которого квадрнка К имеет уравнение )ЧЯ+ ... Хх Д„, + ...
+ Ь„= О. (Пусть Х— проектнвная квадрика такая, что Ю = 5 () У, е — (бесконечно удаленный) полюс бесконечно удаленной гнперплоскости Не (относительно У); определить Ь с помощью условия, что прямая, проходящая через Ь н с, перпендикулярна к гиперплоскости, касательной к К в точке Ь.) *26) а) Пусть К вЂ” лоле и Б — такое его подмножество, что К вЂ” максимальное Ю-упорядочиваемое поле .(гл.
Ч1,' $2, упражнение 8). Пусть 1 — многочлен нз кольца К [Х[, Ь вЂ” его воле корней. Предположим, что для всякой структуры (совершенного) порядка на поле К, согласованной с его структурой кольца, поле 5 может быть наделено структурой упорядоченного расширения поля К, Покааать, что Ь = К (рассуждать от противного: поступая, как в упражнении 8д), гл.
Ч1, $ 2, свести докааательстзо к случаю, когда [5: К[ = 2. В заключение заметить, что если элемент Ь 5 К не является квадратом, то существует структура совершенного порядка на поле К, согласованная с его структурой кольца, в которой Ь ( 0 (см. гл.
Ч|, $2, п' 3, лемма к теореме 1)). б) Перенести реаультаты и' 3 (аа исключением предложения 6) на случай, когда К вЂ” максимальное К-упорядочвваемое поле *).(Используя а), докааать сначала утверждение, аналогичное предложению 5. Затем, используя предложение 10, гл. Ч111, 1 О,п' 4, докааать утверждение, аналогичное следствие 2 теоремы 2, в случае, когда коммутативная алгебра В состоит нз врмитовых эндоморфпзмов.
Прп А = К (1) рассмотреть нормальный андоморфиэм и, ваметпв, что его можно представить в виде к = э + Гм, где эрьштовы эндоморфпамы и и м перестановочвы. Наконец, если А есть тело кзатернионов над полем К, рассмотреть пространство К как векторное пространство раамерности 2и над полем К (1) и, положив Ф (х, у) = Ф, (х, у) + + Ф, (х, у) П где Ф, н Фх принимают значения в К (1), заметить, что если андоморфиам и нормален относительно Ф, то он нормален и относительно Фо) е27) Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле, К вЂ” векторное пространство размерности и над полем К, Ф невырожденная симметрическая билинейная форма на пространстве К, сигнатура которой (х, г) отлична от (о, 0) и (О, л).
Пусть (е;) — ортогональвый относительно Ф базис, такой, что Ф (еп е~) = 1, 1 ( Г < х, Ф (еп е;) = =- — 1, з+ 1 ~ 1 ( в. Для всякого ортогоцзльного преобразования и 5 П (Ф) запишем его матрицу относительно базиса (х~) в ваде е) Эти (неопубликованные) рва ультаты сообщевм нам И. Капланскнм. 30 Н. Вуреека 466 полуторллипкинык и квлдрлтичпьгк Формы гл. гх, 1 б таблицы из матриц, соответствующпх разбкению отрезка [1, и) на [1, «) в [»+1, и), а) Доказать равенства ~М М вЂ” 'Р Р=1„ Е П вЂ” )У К=у,, М.)У вЂ” Р.
1« = О. б) Пусть  — матрица пад полем К, имеющая г строк и «столбцов, такая, что У, — 'В В является матрвцей ~«вырожденной положительной зрмвтовой формы (вад К«). Показать, что беь (М + ХУВ) пе меняет знака прв — 1 ~ Х ~ 1 в поле К (используя а), показать, что ~(м+ Х)«'В) (м+)л)гВ) является матркцей певырождеппой полсжктельпой симметрической формы). в) Положим а (а) = а (У) = зйп (бе«М); показать, что для любых злсмевтов а, » ортогональной группы У (Ф) выполняется равенство а (и») = о (а) о (г) (к«пользовать а) и б)). Виве«та отсюда, чт» коммутаят специальной ортогональной группы ВУ (Ф) отличен ст Жу (Ф) (см. [ 10, упражнение 9).
$8. 'Гипы квадратичных форм И шпож параграфе предполагается, что Л вЂ” поле. Х. Типы»гапдрамзн«сне«гс фот»м Если на векторном пространстве Е над полем А аадана квадратичная форма Ч (9 3, и* 4), то Е называют пространством определения формы ®, а 6[ш (Е) — размерностью формы ч. Для двух квадратичных форм Д и ()', заданных на пространствах Е и Е' над полем А, через Д ) ()' будем обозначать их прямую сумму (9 3, п' 4). Напомним, что прямая сумма нейтральных форм является нейтральной формой (9 4, и' 2). Введем следующее отношение: «Ч н [)' — невырожденкые квадратичные формы конечной размерности над полем А, и существуют нейтральные квадратичные формы Ю и йг' такие, что форма () Г дг эквивалентна д' у дг'».
Ясно, что это отношение, обозначаемое в дальнейшем () рефлексивно и симметрично. В то же время оно транзитивно: в самом деле, если для трех квадратичных форм ф, (~' и Ч" выпол- типы квлдглтичных догм иены условия Ч (е' н (е' Ч", то существуют нейтральные формы М, М', Х, Л" такие, что форма 9 1 М эквивалентна ~' Т М', а ~ Т Л эквивалентна (У' Т У', тогда форма 9 Т (М Т Л~) эквивалентна Я Т М) Т Л'и, следовательно, форме Я' Т М') Т Л'; точно так же она эквивалентна (;»' Т Л') Т .М ', то есть (К Т Л") Т М' и ~" Т (У' Т М'); так как формы М Т Л'и Л" Т М' нейтральны, то Ч Ч".
Таким обрааом, отношение Ч Ч' является отношением эквивалентности между 9 и ~', Ясно, что если две невыроя;денные квадратичные формы () и ~' конечной размерности эквивалентны, то Ч Для всякой невырождевной ковечномериой формы ~',) над полем А положим б(Е)=,х(Х Ь 11 (~)) будем называть типом формы ф Для любых двух конечно- мерных невырожденных форм над полем А соотношения () и й (9) =- () (9') эквивалентны, ПРедлОжение 1. Пусть () и ~' — невырожденные конечномерные формы над полем А, Для того чтобы формы ~ и ~' были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они были одного типа и имели одинаковую размерность. Необходимость этого условия очевидна. Предположим, что оно выполнено.
Тогда существуют нейтральные формы ЛГ и Х' такие, что формы ч Т Х и ()' Т Л" эвкивалентны. Поскольку последние две формы имеют одинаковую размерность, то У и Х' также имеют одинаковую размерность и, следовательно, эквивалентны (3 4, и' 2, следствие 2 предложения 2). Поэтому вследствие теоремы Витта (4 4, п' 3, следствие 1 теоремы 1) формы ~ и ~' эквивалентны. Пгвдложвнив 2. Отношение «существует невырожденная конечномерная квадратичная форма () над полем А такая, что Х = =- () (ф» является коллектививирующим по Х (Теор. мн., гл. 11, 31, и'4).
В самом деле, пусть У вЂ” бесконечномерное пространство иад полем А, Я вЂ” множество невырожденных квадратичных форм на конечномерных подпространствах пространства К, и 2)«в множество типов () (~) квадратичных форм «С Е 6. Ясно, что 30« 468 полутогллннеиныв и квлделтнчныв Фогмы Гл 1х 1 $ всякая невырожденная конечпомерная квадратичная форма ф' над полем А эквивалентна по крайней мере одной форме иэ множе ства ю; поэтому б (О') ~ И, что и требовалось доказать З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
