Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Положим у = ап'х + и (х); тогда и (у) = а'ыи (х) + ах = ап'у и, значит, ~надпространство Ау устойчиво относительно эндоморфизмов и и ие. Если у = О, то устойчивым относительно и и и* будет надпространство Ах; во всяком случае, надпространство У имеет размерность 1, так что наше утверждение сразу следует из теоремы 2.
Если Ч~ — знакопеременная форма, то а<О; положим у = ( — а)'их+ и (х), г = ( — а)'и х — и (х). Тогда и(у) =- — ( — а)ы*г, и(г) =( — а)'ыу и Ф(у, г) = — аФ(х, х) — Ф(и(х), и(х))= = — Ф(ах, х)+Ф(и'(х), х) =О, Если у = г = О, то а = О и и (х) = О, так что надпространство Ах устойчиво относительно и и и*, Р' имеет раамерность 1, и' матрица сужения формы Ч' на Р' нулевая, так как форма Ч' анакопеременная.
Если же оба элемента у и г отличны от О, то они по. рождают пространство У, которое, в силу ортогональности 456 ПОЛУТОРАЛИНПЙНЫВ И КВАДРАТИЧНЫВ ФОРМЫ ГЛ. 1Х, 1 7 векторов р и х, имеет равмерность 2. Матрица сужения формы Ч' Г ОЬ.; на р' имеет при этом вид ( 3 ~, Наконец, в силу формулы Ч' (х', у') = Ф (и (х'), у') имеем равенство гг (х', р') = О, если х' и р' принадлежат двум подпространствам, устойчивым относительно эндоморфиэма и и ортогональным относительно Ф.
Отсюда следует существование ортонормального (относительно Ф) базиса пространства Е, относительно которого матрица формы 1Р имеет указанный вид, что и требовалось доказать. У п р а ж н е н и я. 1) Пусть выполнены предположения, укааанные в начале $7, н Ф вЂ” положительная зрмитова форма на пространство Е. а) для выполнения равенства Ф (*, л) Ф (у у) = Ф (в у) Ф (л у) необходимо и достаточно, чтобы векторы л и у были зависимы плв порожденная ими плоскость была нзотропна. б) Предположим, что для всякого л б Е элемент Ф (л, л) является в поле К квадратом. Показать, что для любых двух векторов ж у б Е справедливо неравенство у' Ф (л+ у, ъ+ у) ~ РФ (л, л) + Р' Ф (у, у). Если форма Ф невырождена, то левая и правая частя этого неравенства могут быть равны только в случае, когда па+ ()у = О, где а и (3 — алементы поля К, ие равные одновременно пулю, и и(3 (О.
2) Предположим, что А = К или А (К (1), н пусть Х вЂ” зрмнтова квадратная матрица порядка и над А такая, что ХП,Л,Р О для любого непустого подмножества Н отреака [1, яф Обовначения из предложения 3 $ 1.) а) Пусть ), ) Π— элемент поля К; показать, что матрица Х+ + )л положительная невырождеиная (применить предложение 3 и' 1 и индукцию по и). б) Вывести отсюда, что зрмвтова матрица Х леаожитеяьна. 3) Предположим, что А = К или А = К (1) и пространство конечномерно.
Пусть Ф„Фз — положительные зрмитовы формы на Е, У = (нм), В' = ((3П) — матрицы этих форм относительно одного и того же бааиса (е1) пространства Е. Пусть, далее, форма Ф имеет относительно базиса (ел) матрицу (уы), где уп = а11()гт для любых индексов 1 и Е Показать, что форма Ф положительна и, кроме того, если Ф, и Фз невырождены, то п Ф невырождена. (При вычислении Ф (л, л) вырааить элементы сщ через Ф, (со с;), где (с;) — баанс пространства Е, ортогональиый относительно формы Ф,.) 4) Предположим, что А К илн А = К(г). Пусть  — армитова матрица порядка н над полем А, и пусть армптова форма на про- эгмитовы юогмы и упогядочвнныв поля 457 странстве А", имеющая в каноническом базисе матрицу В, имеет сигнатуру (е, г); тогда (а, г) называют сигнатурой матрицы Я.
Обозначим через йл главный минор матрицм В, полученный вычеркиванием из Л строк и столбцов с номерами ) М предположим, что Л,+г Ф О и для вслкого в ( г + г миноры Ль и бл.~., не равны нулю одновременно (см. т 6, упражнение 1б)). Показать, что еслн для некоторого 4(г+ г минор ба — — О, то бь, и Ль+, имеют противоположные знаки (так же, как в упражненви 1а) $6) и выполняется равенство г — г= зпп Ь1+злл (Лгбз)+... +ели (Л,ы гЛт м) (воспользоваться упражнением 2 1 6). 5) Предположим, что А = К илн А = К (1); пусть В, Я вЂ” зрмитовы матрицы над полем А с сигнатурами (в, г) и (е', К) соответственно (упражнение 4); показать, что матрица В (х) Ю зрмитова и ее сигнатура равна (ж'+ гг', зу + в'1).
6) Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле, Ь вЂ” простая алгебра конечного ранга над полем К, (а, г) — сигнатура симметрической билинейной формы (з, у) -~ Тгыл (лу) на алгебре Ь. Показать, что з — г .— — т, если алгебра Ь изоморфна алгебре матриц порядка ш над нолем К; е — с = О, если Ь изоморфна алгебре матриц над К (1); а — с = — 2т, если Ь изоморфна алгебре матриц порядка т над телом кватернионов над полем К. 7) Предположим, что А удовлетворяет условиям, указанным в начале 1 7, и пространство Е имеет конечную размерность л. Пусть Ф вЂ” невырожденная положительная ермитова форма на и.
а) Показать, что всякое подобие относительно Ф единственным образом может быть представлено в виде произведения гомотетии с козффицкентом > О в поле К и унитарного преобразования. б) Показать, что для всякого базиса (а~),же<в пространства Е найдется единственный ортонормальный базис (е~)~ мене етого пространства, удовлетворяющий следующим условиям: 1' для любого т, 1 (лг~~л, подпространство, порожденное векторами а1, ..., а совпадает с подпространством, порожденным векторами ем..., е,„; 2'длявсехнндексов 1выполняется неравенствоФ (а;, е;)» О в поле К (см.
$ 6, и' 1, предложение 1), в) Пусть М вЂ” обратимая квадратичная матрица порядка и над полем А; вывести из б), что существует единственная пара (Ь, П) матриц порядка л таких, что У унитарна, и все злементы матрицы Ь = ()ч ), лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, а ее диагональные элементы йп ) О в поле К и, наконец, М = ЬУ. е 8) Предположим, что А = К; пусть Ь вЂ” конечномерное зрмитово пространство над полем А и его метрическая форма положительна и невырождена 11усть и — биекцня некоторого подмножества М на 58 ПОЛУТОРАЛИНВЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ГЛ.
1Х, $7 подмнакество А> такая, что для любых точек а, Ь б М выполняется равенство е (и (а), и (Ь)) = е (а, Ь). Показать, что найдется движение, сужение которого па М равно и (так же, как в процессе ортогояализации Грама — Шмидта, провести индукцию ао размерности аффинного линейного ыиогообразая, порожденного множеством М). Можно ли переяести это нредложеиие на случаю, когда А есть К (1) или тело кватернпонов аад полем К? 9) Пусть выполнены условия, указанные в $ 3; предположим дополнительно, что А есть тело кватернионов над полем К. Пусть и — вормальаый эндоморфизм пространства К.
Показать, что пространство Г является прямой суммой попарно ортогональных подпространств Ре (1 < Ь < г), в каждом из которых существует ортояормальяый базис, (е;А)) (1 < 1 < па),) причем и (е>А) = Л>,ееа при 1 < 1 < пь и два) элемента Ла с различными индексами ае могут быть переведены друг в друга никаким вяутреаним автоморфизмом тела А. Более того, если (Ра) — другое разложение пространства Е, обладаю>цее теми же свойствами, с системой (Ла) собственных значений, -1, то (с точностью до перестановки индексов) Ра = Рв и Ль = аАЛАаа; множество собственных векторов эндоморфнзма и, соответствующих собстзеняому значению Ла, является подпространством над цеитралвзатором Аа элемента ЛА в теле А и порождается векторами е>а (1 <1< и,).
10) Пусть" выполаены условия, указанные в 5 3; предположим дополнительно, что А есть К (1) пля тело кватернионов над нолем К. Пусть и — нормальный аадоморфпзм пространства К. а) Показать, что векторное подпрострааство Р пространства Е обладает свойством и (Р) с Р тогда и только тогда, когда оно порождается собственными векторами1 аадоморфиэма и; в этом случае и (Ре) с Ре и и* (Р)'( Р. б) Зядоморфизм и унитарный (соответственно и» =- и, и» = — и) тогда и только тогда, когда все его собственные значения Л удовлетворяют уравпепию ЛЛ = 1 (соответственно Л = Л, Л = — Л).
в) Эрмитов эндоморфизм и пространства Г называется положителен»>н (соответственно >еееырожденныи поеожитееън»ьн), если кано нически соответствующая ему эрмитова форма (х, у) — Ф (и (х), у) положительна (соответственао иевырождена а поло>кительна); дтя этого необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения эндоморфизма и были ) 0 (соответственно ) О).
г) Показатьн что для любого целого числа т существует нормальный эндоморфиэм ю пространства Е такой, что эт = и. Если и— положительный эрмитов эндоморфиам, то существует единственный положительный зрмитов видоморфизм е такой, что эы = и, и существует мпогочлен 1 б К (Х) такой, что е = 1 (и); последаее утверждение перно и в случае А = К. дРМИТОВЫ ФОРЫЫ И УБОРЯДОЧЕННЫЕ НОЛЯ 459 11) Пусть выполнены условия, указанные в и' 3; предположим дополнительно, что А = К. Пусть и — нормальный зндоморфизм пространства Е.
а) Пусть У вЂ” минниальный элемент множества ненулевых надпространств пространства Е, устойчивых относительно и н и"; показать, что если размерность надпространства У равна 2, то сужение эндоморфнзмаи на У является прямым подобием с коэффициентом) О. б) Показать, что всякое надпространство, устойчивое относительно и, устойчиво также и относительно и". (Пусть Ес — векторное пространства, полученное из Е расширением поля скаляров до К (!); форма Ф является суженном на Е нексторой невырожденной положительной зрмитовой формы на пространстве Ес, эндоморфнзм и является сужением нормального эндоморфизма (относительно атой формы) ис пространства Ес, кроме тога, Ь' является множеством элементов х б Ес, ннвариавтных относительно внволютивной полулннейной биекцни 1 нРостРаиства Ье, и и,у = Уис.
Затем пРименкть УпРажиенне 10а).) 12) Пусть выполнены условия, указанные в и' 3; предположим дополнительно, что А есть К (!) или тело кватернпонов над полем К. Показать, что для всяко>а эндоморфизма и пространства Ь' найдется ортонормальный базис этого пространства, относительно которого и имеет матрицу са всеми нулями них>е диагонали. (!'ассмотрев некоторый собственный вектор эндоморфизма и, применить индукцию по размерности пространства Е.) 13) Пусть А — тело, удовлетворяющее условиям, указанным в начале $7, Е, Š— конечномерные векторнь>е пространства над А, Ф (соответственно >У) — невырождекная положительная эрмнтова форма на пространстве Е (соответственно Ь), и — линейное отобра>кение пространства Е в Р. Показать, что отображения и"и и ии*, где и" — сопряженное к и отображение (относительно Ф и >У! см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
