Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 105
Текст из файла (страница 105)
$) х„) =- ~ (х,)... ((х„)). Тогда. Ь (х (В х — ) ) (х) 1) = (у (х)' — 1) (х)) 1-= О, и следовательно, гомон))рфизм Ь аннулируется на идеале 1 (Ч) и посредством факторизации определяет искомый гомоморфизм ~. Предложение 1 показывает, что алгебра С (()) является решением проблемы универсального отображения (Теор. Мн., гл. 11), зЗ, п'1).
Возьмем, в частности, в качестве П алгебру, противоположную С ()',)), и в качестве 1 отображение рд вследствие предложения 1 существует единственный антиавтоморфизм () алгебры С(Д), сужение которого на д (Е) тождественно; зтот антиавтоморфизм называется главным антиавтоморфизмом алгебры С (1)), Ясно, что рз =- 1.
С другой стороны, пусть )7 — квадратичная форма на А-модуле Е' и ~ — линейное отображение модуля Е в Е' такое, что )' =- ф Тогда да (г(х))г = ~'(/(х)) 1 = ))(х).1, .и следовательно, существует единственный гомоморфизм С ф алгебры С (9) в С (Д') такой, что С 9) ° до = уа *1. Если отображение 1 тождественно, то и С (~) тождественно; если еще заданы квадратичная форма ()" на А-модуле Е" и линейное отображение у модуля Е' в Е" такое, что Ч" ~ у = ),с', то С (у ~) = = С (д) о С ()).
В случае, когда Е' — подмодуль модуля Е, а ~ — каноническая инъекция подмодуля Е' в Е (откуда следует, что )',)' — сужение формы Ч'па Ь"), гомоморфизм С (1) называется каноническим гомоморфизмом алгебры С (),с) в С (ч). Возьмем, в частности, )',)' = — )), а в качестве ~ отображение х -+. — х; тогда существует единственный автоморфизм а алгебры С (()) такой, что сс 1) = — рб зтот автоморфизм называется главным автоморфизмом алгебры С (ч). Ясно, что сев = 1 и что сужение сс на С+ (соответственно С ) тождественно (естественно, есть и -~. — и), Пведложение 2. Пусть Л' — коммутативное кольцо, )р— гомоморфизм кольца Л в Л', )',)' — квадратичная форма на Е' = = А ' ЗА Е, получаемая иг формы () расширением скаляров 475 АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА 2.
Некоторые операции в пьенаорной алгебре В этом и' ее (х Е Е) означает линейное отобраягение и — ~ х ® и телзорной алгебры Т (Е) в себя. Лемма 1. Пусть ~ — элемент сопряженного к Е модуля Е*. Существует единственное линейное отображение гг алгебры Т (Е) в себя, удовлетворяющее условиям: гт(1) =О, с~ье„+е„о~~ —— ~(х) Х для любого хЕЕ (4) (5) (где Т вЂ” тождественное отображение). Отображение ~ -+ ~т модуля Е" в У (Т (Е)) линейно, Выполняются соотношения ~у (Т") с: ~ Т" т, (~г)в = О и 1го 1в+ 1го ~т = О для всяких ~, убЕе. Отображение 1т равно нулю на подалгебре алгебры Т (Е), порожденной ядром элемента ~.
Идеал Т (Я устойчив относительно ~В следовательно, отображение юг посредством факторивации определяегп линейное отображение алгебры С (()) в себя (также обогначаемое ст), В самом деле., формулу (5) можно записать в виде с~ (х 8 и) =- — х ® (т (и) + У (х) и (х Е Е, и Е Т (Е)). (6) (1 3, и' 4, предложение 3), Существует единственный автоморфивм 1 алгебры Л' ЯА С ф) на алгебру С ф') такой, что 1 (1 Э Оо (х)) = уо (1 З х) для любого х Е Е.
Достаточно доказать, что алгебра С' = А' бр С (О) и отображение 1 (3 оо модуля Е' в С' образуют решение той же проблемы универсального отображения, что и алгебра С ф') и отображение оо . Пусть Л' — алгебра над кольцом Л' и 7' — А'-линейное отображение ыодуля Е' в Л' такое, что 1' (х')г =- О' (х').1 дчя любого х' Е Е'. Отобралсение у: х-ь 1' (1 ® х) модуля Е в 'Л' (Л' рассматривается как Л-модуль в соответствии с гомоморфизмом ~р) А-линейно, и у (х)' =- О' (1 бр х) 1 = О (х) 1 для любого х ~ Е. Тогда существует единственный А-гомоморфизм у алгебры С (с) в Л' такой, что у (Оо (х)) = 7' (1 Я х). Следовательно, существует единственный Л'-гомоморфизм ~' алгебры С' в Л' такой, что 7' (1 ® оо (х)) = 1' (1 ® х) для любого х Е Е; отсюда по линейности следует равенство ~' ((1 Э Оо)(х')) = 1' (х') для любого х' Р Е', что и требовалось доказать. 476 полттогялинвиныв и кв»дгятнчныв фогмы гл.
зх, ~ в Равенство (4) полностью определяет отображение 1» на Т', а равенство (6) определяет 1» на Т", если известны значения отображения 1» на То-т. Отсюда следует единственность отображения»». С другой стороны, для х Е Е и и Е Т" т правая часть равенства (6) является билинейным отображением на произведении Е х Т" ', отсюда индукцией по п следует существование отображения 1» (гл. ?11, З 1, и' 2) и, также по индукции, включение 1» (Т ) ~ Т"-'. Если / = ау+ ЬЛ (а, Ь Е А, у, й Е Е*), то отображение а?в + И» довлетворяет условиям (4) и (5), то есть равно ~р Имеем (1»)» ос = — ~» ос о?у+~~ (х) 3» = е о ((»)г откуда индукцией по п, в силу равенства (1»)г (1) = О, получаем, что (17)' = 0 на Т".
Заменив ? на ? + у, из равенства (?у)г =О получим, что 1» о ?в + ?в о»» — — О. Индукция, аналогичная предыдущей, показывает, что»в обращается в нуль на подалгебре, порожденной ядром злемента 7. Наконец, нз равенства (6) следует, что множество элементов и Е 1 (Ч) таких, что 1» (и) с ? (()), является левым идеалом в алгебре Т (Е); более того, если и = (х ® х— — ч (х) 1) (ф и (х г Е, о ~ Т (Е)), то 1» (и) = ? (х) х ® и — х 3 ~» (х ® о) — Ч (х) 1» (о) = =Йх)хЗ вЂ” 1(х)хЗ +хЗх® '~(и) — ()(х) '»(и)= =(х® х — ()(х).1) бУ 1~(о); следовательно, идеал Х ф) устойчив относительно 1у, откуда следует последнее из доказываемых утверждений.
Пусть Р— билинейная форма на модуле Е. В оставшейся части параграфа мы будем обозначать через ~~ (х Е Е) отображение ?п соответствующее линейной форме /: у о- Р (х, у) на модуле Е. Лкмм» 2. Существует единственное отображение Ле алгебры Т (Е) в себя, удовлетворяющее условиял Л,(1) =О, (7) Л» о е„= (е„+ 4) о Ле (х Е Е). (8) Для любого ~~ Е* выполняется равенство Л»о о ~» = ~ о Ъл (О) В самом деле, формула (8) означает, что Ле(х ® и) =х® Ле(и)+1„(Л»(и)) (х~Е, иЕ Т(Е)).
(10) 477 АЛГВВРЫ КЛИФФОРДА Равенство (7) полностью определяет отображение Лр па Те, а равенство (10) определяет Лр на Т", если известны его значения на Т"-'. Отсюда следует единственность отображения Лр С другой стороны, для х Е Е и и ~ Т"-' правая часть равенства (10) является билинейным отображением на произведении Е Х Т" '; отсюда индукцией по и устанавливается существование отображения Лр. Остается доказать формулу (9).
Мы сделаем зто по индукции; обе части равенства (9) равны нулю на Т', предположим, что о — 1 (9) верно на А,' Т»; тогда для х ~ Е и и Е Т" ' имеем »=о (Лр юю) (хюз и) =( — Лроехоюр+ 1(х)Лю,)(и) = — (ех+юР) оЛроюр(и)+ + / (х) Л„(и) — (ех+ 4) о юю о Лр (и) + / (х) Лр (и) = = (юю о е о Лр — ? (х) Лр — юю о ю~ о Лр+ У (х) Лр) (и) = = (юю (ех+ юг) Лр) (и) =(юю Лр) (х (х! и), откуда следует последнее доказываемое утверждение.
Лвмм» 3, 1?усть Г и 6 — билинейные формы на модуле Е. Тогда Лр о Лс — — Лрес. Для всякой билинейной формы Р на модуле Е отобраэсение Лр является биекцией алгебрью Т (Е) на себя. В самом деле, отображение Лр о Лс обладает свойствами (7) и (8), характеризующими отображение Лрос! (Лр о Лс) (1) = 0 и ЛроЛсоех=Лро(ех+! ) 'Лс=(ех+юх+юх) о Лр'Лс= с .с .р =(ех+юх )оЛроЛс. р+с С другой стороны, если Г = О, то ю~ = 0 для любого х Е Е, и позтому Лр= Х, откуда следует, что Лр о Л р = Л р о Лр для любого Р.
3. Бааыс алгебры Клиффорда Пгвдложвнив 3. Пусть (ю и (?' — квадратичные формы, Р— билинейная форма на модуле Е и юю' (х) = ю,"ю (х) + р (х, х) для любого х Е Е, Тогда Лр отображает идеал 1(ю,ю') на идеал ? Я) и определяет изоморфиз»ю (обогначаемый Л ) А-мсдуля С Я') ююа А-модуль С (юс). 478 полхтогл.чинвнныв н квлдглтичнык ч»огмы гл. »х, 1 э Так как )»е — биекция и Х е — обратная ей биекцня (лемма 3), достаточно доказать включение )»е (7 (О')) ~ Т Ф) Идеал 1 (0) является левым идеалом, устойчивым относительна отображения»,„(лемма 1), так что из (8) следует, что множество элементов и г Т (Е) таких, что Хз (и) г Е (»,), является левым идеалом. Поэтому достаточно показать, что для любых и г Т (Е) и х Е Е имеем Хе (х 3 х ® и — ()' (х) и) с Т (»с).
Но по формуле (8) и лемме 1 Хе е'„= (е„+»е) )»„= (е'„+ г" (х, х)) Хе, откуда Хе(х ® х ® и — »',1' (х) и) = — (е'+г" (х, х) — »',»' (х)) о )»,„(и) = = (х»З х 0 (х)) З ) е (и) Е 7 ('е)- Ламма 4. Если квадршпичная форма»с равна нулю, то алгебра С (»',1) является внешней алгеброй модуля Е.
В самом деле, внешняя алгебра модуля Е есть факторалгебра Т (Е) по двустороннему идеалу У, порожденному элементами а(х> о® а(аЕЕ, о~ Т(Е)) (гл. 111, т 5, и'5ип'9). Ясно, что 1 ((») с: У. Достаточно, следовательно, доказать, что а бу о (ф (х~ а Е 1 (»»). Это очевидно, если о Е Тг; предположим, что это »»-» утверждение доказано для о г, ~ Т", и пусть х г Е и и Е Т" ', а=о тогда а ® х»8» и (8» а = (а+ х)»3 (а+ х)»8» и ® а— — а (8» а ® и ® а — х ® а»8) и ® а — х»8» х (ф и ® а и все четыре члена в правой части принадлежат идеалу Т (»»). Предположим, в частности, что модуль Е имеет базис (х,)», »,, и совершенно упорядочим множество индексов» . Известно (гл, 111, з 5, и' 6), что внешняя алгебра модуля Е имеет базис, состоящий из элементов хн, где Н пробегает множество конечных подмножеств из Ь, а хк имеет вид хи, Л ° .. Д хи где (й» г ..., Йо) — строго возрастающая последовательность элементу из Н.
479 АЛГКБРЫ КЛИФФОРДА С другой стороны, рассмотрим билинейную форму Р, определяемую равенствами; Р (хн ху) = — ф (хн ху), если У ~ у, Р (х,, ху) = = О, если у ( у, и Р (х;, х;) = (у (х;). Ясно, что ч (х) + Р (х, х) =- — — О; из предложения 3 и леммы 4 следует, что отображение УР (обозначение из предложения 3) будет изоморфизмом модуля ДЕ' на алгебру С (Ч), являющуюся, следовательно, свободным А-модулем. Индукцней по числу элементов множества Н докажем равенство АР(хп) =О(хл,)...О(хл ). (11) (где Й„ ..., Йв — строго возрастающая последовательность элементов множества Н).
Если Н пусто или содержит один элемент, то это утверждение очевидяо. Предположим, что равенство (11) верно для любых подмножеств, содержащих не более чем д — 1 элементов. Рассмотрим множество Н из д элементов. Обозначим через у его наименьший элемент и положим Н =. (у) () К, где подмножество К имеет д — 1 элементов. По формуле (8) и предположению индукции имеем Йэ (ХН) =У'Р(ХУ Д ХК) = 0 (ХУ) ~.~(ХК)+ Уг.(УЗ (ХК)) =ХП+1. (ХК) где х) = 9(ху)... о (ху ) для любого конечного подмножества У множества Н и (у„..., у',) — возрастающая последовательность элементов множества У. Однако если у Е К, то элемент х; входит в ядро линейной формы у-л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
