Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Имеем г'=-2г" ( — 1)" () (х,)... () (х„,) =( — 1)'Р, где Р— дискриминант формы Ф относительно базиса (х,) (см. упражнение 9). Теогема 3. Пусть пространство Е имеет нечетную размер.ность т = 2г+ 1 (следовательно, характеристика поля А не равна 2). а) Алгебра Св (~) — центральная простая. Если форма имеет максимальный индекс г, то алгебра Св (Д) изоморфна алгебре всех эндоморфизмов векторного пространства размерности 2" над полем А. б) Алгебра С (9) сепарабельна.
Ее центр Я имеет размерность 2, и С ((~) изоморфна тензорному произведению 2 КА С" (()), то есть или проста, или является прямой композицией двух простых подалгебр. В самом деле, пусть х, — неизотропный вектор пространства Е и à — надпространство, ортогональное к х„обозначим череа (>, квадратичную форму у -+- — () (х,) Ч (у) на пространстве Е; ясно, что форма 9, невырождена. Так как х,у =- — ух, (для у б г'), то (хэу)' = — () (хо) ~ (у) =- (), (у), и следовательно, отображение у -+. хгу подпространства Р в С+ ф) может быть продолжено до гомоморфизма й алгебры С ф,) в С' ф).(л' 1, предложение 1).
Но алгебра С ф1) проста (теорема 2), н ее размерность 2г" — та же, что у алгебры С+ (~). Поэтому (ввиду того, что Ь (1) = 1) й — нзоморфизм. Более того, если индекс формы 4) равен г, то алемент хо можно выбрать таким обрааом, чтобы форма 4~, также имела индекс г ($4, и' 2, предложение 3).
Отсюда следует утверждение а). Пусть теперь (х„..., хг„) — ортогоиальный базис надпространства Е; положим г =- х,х, ... х„. Непосредственно проверяется, что элемент г коммутирует с х, при ) = О... „ 2г, то есть принадлежит центру алгебры С (()). Подпространство 2 алгебры С (ч), порожденное элементами Р и г, является подалгеброй центра АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА алгебры С ф) и квадратичным расширением поля А, так как элемент г нечетный и г' равен скаляру ( — 1)" Йхо) ° ° ° 0 (хгс). Рассмотрим гомоморфизм Ю тензорного произведения Е (Вл С+ (()) в С (6), определенный формулой б (и ® Р) = ио. Так как элемент г ~ С обратим, отображение и -ь ги будет нзоморфизмом модуля С+ на С-, откуда следует, что образ б (Е 6~ С+) содержит модули С+ и С, то есть совпадает с алгеброй С (6).
Так как алгебры 2 К С+ и С (ч) имеют одинаковую размерность 2"", () — нзоморфнзм. Отсюда, в силу результатов гл. Ъ'111, $7, следует утверждение б). 3 а м е ч а н и е. Дпскриминант Р формы Ф относительно базиса (х;) <; с,, гп равен 2г"+' Ч (х,)... Д (хг„), Следовательно, надпространство Я порождается 1 и нечетным элементом г' — -- 2"+'г таким, что г' = ( — 1)" 2л).
Следовательно, алгебра С ф) проста тогда и только тогда, когда элемент 2 ( — 1)')) не является квадратом в поле А. й. Группа Кмыуэфорда В атом и' предполагается, что А — поле, пространство Е имеет конечную размерность т и форма Ч невырождена; при этом Е отождествляется со своим каноническим образом в алгебре С (6).
Опввдклкник 2. Группой Клиффорда форггы Д (соответственно специальной группой Клиффорда формы 6) нагывается мультипликативная группа обратимых элементов г алгебры С (Е (соответственно С+ (ч)) таких, что гЕг-' = Е. Группа Клиффорда и специальная группа Клиффорда формы 1г обозначаются в этом п' 6 и 6+.
Ясно, что 6+ =- 6 П С+ (Д). ТеОРемА 4. Положим <р (э).х = — эхэ-' для э ~ 6 и х ~ Е. а) Отображение <р является гомоморфиэмом группы 6 в ортовональную группу О (Е формы Ч, и его ядро есть множество обратимых элементов центра Я алгебры С (у). б) Множество Е Д 6 представляет собой множество несингулярных векторов пространства Е; при х ~ Е Д 6 отображение — <р (х) является симметрией относительно гиперплоскости, ортогональной к вектору х. 486 полутОРАлинейные и квАдРАтичные ФОРмы гл.
зх, г 9 в) Если 41ш (Е) четна, то при Е Ф. (0) ~р (6) = О (у) и у (6+) имеет в О (~) индекс 2, и ~р (6А) совпадает с ВО (~), если поле А имеет характеристику ~2. г) Если сИш (Е) нечетна (и, следовательно, характеристика поля А не равна 2), то <р (6) = ~р (6+) = ВО (О). В самом деле, для г Е 6 и х Е Е имеем равенства О (гхз ') = = (зхз т)з = гх'з т = ~ (х), откуда <р (г) Е О ((г). Для выполнения равенства ц (г) = 4 необходимо и достаточно, чтобы элемент г коммутировал со всеми элементами из Е, то есть принадлежал цеитру 2 алгебры С (О). Это доказывает утверждение а). Для того чтобы элемент х ~ Е принадлежал группе 6, необходимо, чтобы ок был обратимым, то есть несикгулярным (так как х' = О (х)).
Если же это так, то х т = Ч (х) 'х, откуда для любого у Е Е имеем хух '=~(х) тхух=Д(х) 'х(Ф(х, у) — ху)= — (у — Ф(х, у) ~) (х ') х), что и доказывает утверждение б) (з О, п' 4). Леммл 5. Всякий элемент г группы 6 имеет вид гг', где г— обратимый элемент центра 2 и г' входит в 6 П Св (~) либо в 6 П С (9); при Е ~ 0 подгруппа 6+ имеет в группе 6 индекс 2. Второе утверждение, очевидно, следует из первого, так как все иесингуляркые векторы входят в пересечение 6 П С ®). Предположим сначала, что 41ш (Е) четная, и пусть г =-'с' + ~", где Г ч С+ (~) и ~" Е С (О); по определению, для любого з б Е имеем равенство г (х) = Ор (г) х) у'; так как элементы 8'х и (<р (з).х) с' (соответственно 1"х и (<р (г) х) В") нечетны (соответственно четпы), то с'х = (<р (з).х) Е', и поэтому г-'с'х = хг 'й' для любого х ч Е. Отсюда следует, что г 'Г Е 2, и, поскольку йш (Е) четка, 2 = А (и' 4, следствие теоремы 2), то есть г' = аг, где а Е А.
Если а ~ О, то з = а 'г' и с' Е 6 П С+ (О); если а = О, то з = 8" ч 6 Д С (ч), и в рассматриваемом случае лемма доказана. Если дАш (Е) иечетиа, так что характеристика поля А отлична от 2, то для любого г ~ 6 элемент ~р (г) является произведением симметрий относительно несингуляриых векторов х; (з' = 4,..., Ь) (г 6, п' 4, предложение 5); пололсив з' = х,хг ... хю будем иметь ~р (г) = ц (з'), то есть' з = гз', где г ~ Ю, а з' входит в Се (9 или в С (9), смотря по тому, четко й или нечетко. 487 АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА л Предположим, что размерность й(т (Е) четна. Так как всякий автоморфизм и из группы О ((г) однозначно продолжается до автоморфизма и алгебры С (О) (предложение 1) и С (6) —.центральная простая алгебра (теорема 2), то и является внутренним автоморфизмом (гл.
Ч111, $ 10, п' 1, теорема 1). Следовательно, в группе 6 существует элемент з такой, что у (з) = и. С другой стороны, центр алгебры С (6) содеря'ится.в С", откуда следует, что факторгруппа у (6)/р (6з) изоморфна 6!6+, то есть если Е ~ (О), то у (6+) имеет индекс 2 в группе у (6) = О. ф). Зто доказывает первые два утверждения в в). Предположим, наконец, что поле А имеет характеристику ~2.
Тогда всякий алемент и группы О (ч) является произведением симметрий относительно гиперплоскостей, ортогональных к несингулярным векторам х; (1 = 1,..., Ь) Я 6, и' 4, предложение 5); следовательно, и = ( — 1)з у (х,, хь) и де1 (и) =- ( — 1)". Для того чтобы автоморфизм и принадлежал группе ЯО ( е), необходимо и достаточно, чтобы й было четным; зто показывает, что ф (6+):э :э ЯО (9). Если Е ~ (О) имеет четную размерность, то ~р (6+) = = ЯО (О), так как подгруппа Я О (О) в группе О (ч) имеет индекс 2, и утверждение в) доказано. Напротив, если размерность Е нечетна, то у (6) не содержит ортогонального преобразования х-+. — х. В самом деле, это преобразование продолжается до главного автоморфизма и алгебры С (6) (и' 1), и а не является внутренним автоморфизмом, так как центр Я алгебры С Я) содержит ненулевой элемент из С- (~) (теорема 3).
Следовательно, у (6) ~ О (9). и, поскольку <р (6) ~ ср (6з):э ЯО (у) и индекс подгруппы ЯО ф) в О (6) равен 2„имеем у (6) = ~р (6+) = ЯО (О), что и доказывает г). Подгруппа у (6') группы О (О), имеющая в случае Е ~ (О) индекс 2, называется группой вращений пространства Е, а ее элементы — вращениями; обозначается эта группа О+ (6). Заметим, что если поле А имеет характеристику, отличную от 2, то О+ Я) = ЯО (6) (см. упразкнение 9). Пгедложенке 4. Пусть р — главный антиавтоморфизм алгебры С ф) (и' 1).
Тогда длл любого з ~ 6+ элемент () (з) з будет скаллром и отобралсение Лг: з -г Р (з) з является гомоморфизмом группы 6" в мультиплипативную группу А* ненулевых элементов поля А. 488 полутогллинкипын и квлдглтичныи еогмы гл. гх, 1 в В самом деле, при з ~ 6+ имеем зЕз г = Е, откуда () (з) гЕ() (х) = = Е, то есть () (з) Е 6+.
Так как ех = (<р (з) х) з для любого х ЕЕ, то хр (з) = р (зх) = () (з) (1р (з) .х), и следовательно, р (з) ах =- = )) (з) (<р (з).х) з = хр(з) з, так что р(з) з входит в центр алгебры С (Д). Поскольку, кроме того, р(з)з ~ С+ (с)), этот элемент является скаляром (теоремы 2 и 3). Наконец, р(з1)з( = р(1) ()(з) з1= = 'р(з) з()(1) 1, то есть Х(з1) = й/(з) Ж(1) для з, 1 Е 6+, что итребовалось доказать. Скаляр Л' (з) = р(з)з (з Е 6+) называется спинорлой нормой элемента з. Ядро гомоморфизма Ф называется приведенной группой Клиффорда и обозначаетси символом 6~. Образ ~р (С,+) обозначается О, (О) и называется приведенной ортогональной группой ф е Так как ядро сужения гомоморфизма 1р на 6~ состоит из четных обратимых элементов центра алгебры С (()) (теореыа 4) и, следовательно, отождествляется с А* (теоремы 2 и 3), фактор- группа ф (С+)/О+ (()) изоморфна 6+/А'6+, то есть изоморфпа факторгруппе Х (6+) /Х (Л*), и, в частности, ко,чмулгативпа.
Ясно, что множество Л" (Л*) является подгруппой (А*)' квадратов элементов группы Л*. Если индекс формы () больше О, то для любого элемента а Е Л* существуют два элемента х и у с Е такие, что () (х) = а и () (у) = 1 (э 4, и 2, предложение 4); так как хр Е 6+ и /т' (ху) = Ч (х) () (у) = а, отсюда следует равенство /)/ (6+) = А*, так что факторгруппа ~р (С+)/О+ (Ч) иэоморфна группе А*/(А*)з.
У к раж н е ил я. *1) Доказать следствия 3 и 4 теоремы 1 и' 3 в случае, когда Р., н Ег — вронззольные дополнительные полмодули в Ь'. (Сначала доказать следствие 4; для етого показать, что тензорное пролзведевве С Я) 8 С (()г) после соглашения о выборе знака, сделанного з формулировке следствия 4, наделяется структурой алгебры н зта алгебра лзляетсз решением той же кроблемы унлзерсзльяого отображения, что н С (()); для этого вместе со всяким лквейным отображением / модуля Е в некстсруи алгебру 11 над кольцом А таккы, что (/ (х))з = С (х) 1, рассмотреть гомсморфкзм /; алгебры С (® в В такой, что /; = — 1, /, (СС (х;)) = / (х;) для х1 сс; (1 = 1, 2), н доказать, что существует гомоморфнзм / алгебры с" з С такой, что /(гг ® гг) = /г (х1) /г (гг) 489 АЛГЕНРЫ КЛИФФОРДА для гг Ь С (();) (1 =- 1, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
