Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Р (ху, у), то есть У~. (хк) = О (лемма 1). Это доказывает нужное утверждение. Таким образом, мы доказали следующую теорему: Ткогкмя 1. Нусть А-модуль Е имеет базис (х,); с Б и множество индексов Х наделено структурой совершенного порядка. ХХля любого конечного подмножества Н множества Х положим хн = р (хл ) о (хл~... д (хл ), где (Й„..., Й ) — строго возрастаюиуая последовательность элементов множества Н. Тогда элементы хн образуют базис А-модуля С (Д). Слвдствив 1. Если Š— свободный модуль размерности и.
то С ф) — свободный модуль размерности 2"; кроме того, если и ) О, то Св и С вЂ” свободные модули размерности 2" 1. Это сразу следует из свойств бнномиальяых коэффициентов. 480 полгтОРАлнпкинык и кВАДРАтичнык ФОРмы Гл. тх, $9 Слкдствик 2. Если Š— свободный модуль, то каноническое отпображение 9 модуля Е в С (ч) и отображение а -+- а 1 алгебры А в С (ч) инъективны. Слкдствнк 3. Пусть Š— прямая сумма двух свободных иодмодулей Е1 и Ег, Ч; — сужение формы () на ЕО и р; — каноническое отображение алгебры С (();) в С (Я (1 = 1, 2). Тогда линейное отображение р тпензорного произведения С (ст) Э С (тсг) в С (т)), получаемое из билинейного отпображения (а, 6) — ь рт (а) рг (6) пре- изведениЯ С ф~) Х С (()г) в С (Ч), Явлаетсл биекцигй.
В самом деле, достаточно рассмотреть базис модуля Е, полученный объединением базисов модулей Е, и Е,. Слкдствик 4, В обозначениях и предположениях следствия 3 предположим дополнительно, что подмодули Ет и Ег ортогональны, и перенесем с помощью биекции р струюпуру алгебры С ф) на тпгнзорное произведение С ((~т) 3 С (()г). Если ат и 6; — четные или нечетные элементы алгебры С (()т) (1 = 1, 2), то (ат бр аг) (Ьт бб 6г) = е (а,Ь,) ® (агЬг), где е = 1, за исключением случая, когда аг и Ь, неч тны, в котором е = — 1. В самом деле, достаточно доказать равенство рг (аг) р, (6,) = = ерт (Ьт) рг (аг); при этом можно предположить, что рг (аг) (соответственно р, (6,)) является произведением х,...
хь (соответственно у,... уя) элементов множества Оа (Е,) (соответственно Оа (Е,). Так как подмодули Е, и Ег ортогональны, то х;у, + утхт = Ф (хн у,) = О, откуда х,... хьу,... уз = ( — 1) "ь у,... улх,... хл. утверждения следствий 3 и 4 остаются верными, если не предполагать, что модули Ет и дг свободны. й. Стпрутгтпуузсг алгебры Клмббб)орда В этом и' предполагается, по А — иоле, Š— векторное пространство конечной размерности т над полем А и квадратичная форма ~ невырождена (откуда по теореме 1 5 5, и' 1, следует, что т четно, если поле А имеет характеристику 2). Так как модуль Е свободен, каноническое отображение у инъективно (и' 3, след- 481 АЛГКБРЫ КЛИФФОРДА стане 2 теоремы 1).
Мы будем в дальнейшем отождествлять Е с его образом в С (В. Ткогкмл 2. Пусть размерность т —.— 2г пространства Е— четное число, а форма Д нейтральна ($ 4, и' 2). Тогда алгебра С (у) сепарабельна (гл. У111, з 7, и 5, определение 1) и изоморфна алгебре всех зндоморфизмов векторного пространства размерности 2" пад полем А. Если, кроме того, т > О, то алгебра С+ (ч) сепара- бельна и является прямой композицией двух идеалов, изоморфнмх алгебре всех зндоморфизмов векторного пространства размерности 2" ' над полем Л. В самом деле, так как форма ~ нейтральна, то пространство Е можно разложить в прямую сумму вполне сингулярных над- пространств Х и Р размерности г (з 4, и 2, следствие 2 теоремы 2).
Сужение формы () на Л' равно нулю, и поэтому подалгебра Б алгебры С (9), порожденная подпространством Х, отождествляет- ся с внешней алгеброй этого надпространства (и' 3, лемма 4). Для любого элемента и Е Х обозначим через е„' отображение г -~- пг алгебры Е в себя. Пусть (и„..., и„) — некоторый базис надпространства Ю; обозначим через (р„..., р,) базис подпрострапства Р такой, что Ф (и;, р;) = Ьы (т 4, и 2, предложение 2). Пусть р' (р Е Р)— линейная форма и-а- Ф (и, р) на Л и1 — эпдоморфнзм алгебры Е, получающийся посредством факторизации иа андоморфизма 1р алгебры Т (Л), определенного для формы р' утверждением леммы 1 и' 2.
Тогда по формуле (5) е,', (р+(р ° еа — — Ф(п, р) (п~д~, рб,р). (12) Для х = и + р Е Е (где и Е Ю, р ~ Р) положим з (х) = е„' + гр. Ясно, что г будет линейным отображением пространства Е в й (Ю). Из равенства г(х)'=(е'„+ (р)'=-Д(п)+Ф(п, р)=() (х), в силу формулы (12) и леммы 1 (и' 2), следует, что отображение з можно продолжить до гомоморфизма (также обозначаемого з) алгебры С (ч) в ь (5) (и 1, предложение 1).
Покажем, что этот гомоморфизм сюръективен. Отсюда, ввиду того что С (9) и Ж (Ю) имеют одинаковую размерность 2'", будет следовать, что з— изоморфизм, то есть первое наше утверждение верно. 31 н. Бурсаки 482 полУтОРАлинейные и квАдРАтичные ФОРмы Гл. гх. 6 э В самом деле, пусть 1 — интервал 11, г1. Для любого подмножества Н в 1 положим Н' = 1 — Н и обозначим через и„ (соответственко р„) произведение элементов и; (соответственно р ) для 1 Е Н, расположенных в порядке возрастания индексов.
Напомним, что элементы п„образуют базис алгебры Я (в' 3, теорема 1). Положим, наконец, хн,к = пнр,их для любых двух подмногкеств Н и К множества 1. Докажем, что элементы г (хн,х) образа в (С (Ч)) пороягдают б (Ю). Но если у ч Н, то по лемме 1 г (р,) (пгг) = гр (пя) = О, так как все и; при 1 Е Н принадлежат ядру линейной формы и г- Ф (и, р) на подпространстве Лг; с другой стороны, по формуле (12) имеем г(рг) (игин) =(гр'е'т) (ин) =Ф(р;, и,) пн — и,"г(р,)(пн) =ил. Поскольку г — гомоморфизм, отсюда следует, что для любых двух подмножеств Н и К множества 1 выполняются равенства г(рн) (пн) =- О, если К (Д Н, н г(рк) (пн) = ж иная если К ~ Н, Но, по определению, при М ~ 1 и 1 с: 1 г (пм) (пь) =- = и, иь, и произведение пмиь равно нулю при М П Л ~ д и Равно Епм~~ь в пРотивоположном слУчае.
ПоэтомУ длЯ любых подмножеств Н, К, Ь множества 1 элемент г (хн, ) (пь) =- = г (пн) г (р,) г (пх) (пь) равен нулю при К-ь 1 и равен *пн при К = Ь. Это означает, что элементы г (хн, л) порождают алгебру Х (Е), так что первое утверждение доказано. Для доказательства второго утверждения положим Я' = = Я П С+ и Я = Я () С; ясно, что Ю' (соответственно Я ) является подпространством в Я, порожденным всеми элементамн и„, соответствующими множеству Н с четным (соответственно нечетным) числом элементов, что Ю является прямой суммой подпространств Я~ и Я и что Я+ и Я устойчивы относительно г (СА). Следовательно, в отображает С+ в некоторую подалгебру алгебры у (Я), изоморфную произведению л (Я+) х;ь (Е ). Сужение отображения в на С+ будет изоморфизмом Се на эту подалгебру, так как г инъективно, а С+ и произведение 2 (Я+) х .е (Е ) оба имеют размерность 2г"-' (п~ 2, следствие 1 теоремы 1).
Теорема доказана. Следствии. Если т — четное число, но нде ф невольный, то а иебра С (9) является простой центральной алгебРой РавггеРности 2м. Если,г иРоме того, т ) О, то подалгебРа 483 АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА С+ (~) сепарабельна и ее центр Уимеет размерность 2 над полем А. Если Š— поле, то оно является сепарабельным квадратичным расширением поля Л и алгебра С+ (ч) проста; в противоположном случае центр 2 будет прямой композицией двух полей, изоморфных полю А, а алгебра С+ (ч) будет прямой композицией двух простых алгебр размерности 2 В самом деле, пусть А' — алгебраическое замыкание поля Л, Сг' — квадратичная форма на пространстве е' = А' ®А е, полученная из формы Ч расширением скаляров..Мы уже видели, что алгебра С (9') изоморфна А' 3А С ®) (предложение 2).
Ясно, что алгебра С+ ф') изоморфна А' 3„С" (Ч). Так как форма Ч' нейтральна ($ 4, и' 2, следствие 2 предлонгения 1), то утверждение непосредственно следует из теоремы 2 и теорем перманентности гл. Ч111, 5 7. 3 а м е ч а н и я.
1) Так как алгебра С (Ч) проста, она имеет единственный класс неприводимых представлений; эти представления называются спинорными; если выбрано одно из этих представлений, скажем т, то элементы пространства, в котором действует т, называются спинорами. Если форма Ч нейтральна, то сужение представления т на С' (ч), так н'е как и сужение формы г на С+ (9, будет суммой двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений; элементы надпространств, в которых осуществляются эти два представления, называются полуспинорами.
В общем случае, если алгебра С' (()) не простая, сунгение представления т на С+ (0), будучи точным, должно содержать подпредставления, принадлежащие каждому из двух классов неприводимых представлений алгебры С+ (()) и, следовательно, будет суммой двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений, поскольку это верно прн расширении скаляров до алгебраического замыкания А' поля А.
Напротив, если алгебра СА ((г) простая, она имеет единственный класс непризодимых представлений, и сужение представления т на С+ ((г) яеприводимо, так как при расширении скаляров до поля А ' т распадается на два неэквивалентных представления. 2) Предположим, что характеристика поля А не равна 2, и пусть (хо..., х ) (т = 2г) — ортогональный базис пространства Е. 31* 484 полгтОРАлинейные и квлдРАтичные ФОРмы Гл. 1х, $9 Положим г =.— 2'х,... хы ~ С (®. Так как х;хт + хвх~ — — О для с чь у, то гхз = — хтг, то есть элемент г входит в центр Л алгебры С+ (~) и не входит в А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
