Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Для доказательства следствия 3 рассмотреть внешнюю прямую сумму ()' форм ()г и ()г (1 3, и* 4) и заметить, что С' (х) = () (х) + Е (х, х), где Š— билинейная форма, определяемая ' равенством Е (хг + хю уг + уг) = — Ф (хг Уг) для хг Уг 6 Ег (г = 1, 2); затем применить предложение 3.) о2) Пусть модуль Е является прямой суммой ортогональных иодмодулей Е„ЬФ и (); — сукение формы С на Ь, (1 = 1, 2); предположим, что существует элемент и Ь Со (()г) такой, что иг = а 1, где а ЬА — обратный элемент, и ий '(хг) = — ОО (хг) для любого хг У Ег. Показать, что существует нзоморфпзм ф алгебры С (()) на тензорное произведение С (аСг) ® С (()г) (определенный в гл. 111, з 3, и' 1), обладающий свойством ф (ой ( )) = Е.О, (хг) З и- +1 ® ОО, (хз) ДлЯ Любого х = хг + хг (х; б ЕО г = 1, 2).
(СУЩествование гомо- морфизма ф вывести как следствие универсального свойства алге- бры С (С). С другой стороны, существует гомоморфпзм уг алгебры С (а()г) в С (()) такой, что уг (рой, (хг)) = Ьг (и) ОО (хг), где Ьг— канонический гомоморфизм алгебры С ((гг) в С (()); заметить, далее„ что при г, Ь С (а(/,) н гг б С (Сг) элементы уг (г,) и Ьг (гг) переста- новочны, откуда вывести существование гоыоморфизма, обратного к ф.) В каком случае этот результат применим, если А — поле харак- теристики ча 2 (зоспользоваться замечаниеы 2 после следствия к тео- реме 2)? 3) а) В обозначениях и' 2, пусть х; (1 < 1 ( и) — элементы моду- ля Е такие, что 1 (х;) = 0;показать, что 11 (хг 8 хг З .
° З хи)=0. В частности, если билинейная форма Е ка модуле Ь' удовлетворяет Е (хг, ху) = 0 для г ~', г'о г (хг 3 хг ®... ® хи) = О. б) В обозначениях предложении 3 и' 3, пусть хг (1 ( г ( и)— элементы модуля Е такие, что Е (х;, х.) = 0 при 1 ) Ь Показать, что ЬР (ОО (хг)... ОО (хи)) =- ОО (хг)... ОО (хи) (использовать а) и формулу (10) в' 2). в) Предположим, что А — поле характеристики чь2; для всякой квадратичной формы () на модуле Ь' обозначим через )го отображе- ние ХР алгебры С (()) на Л Е, соответствующее форме Е (х, у) 1 = — Ф (х, у).
Показать, что если векторы х; (1 ( г ( и) попарно ортогональны, то )гг) (хгхг ... хи) = хг Л хг Л ... Л хи, Вывести отсюда, что для произвольных векторов у; (1 ( 1 ( и) справедливо равенство и))г~О (уг Л узЛ ° ° ° Л уи) = ~ зоуоп)уо<г) ° ° уо<иь оэ~и 490 полутОРАлиггийныи и ИВАЛРАтичныи ФОРмы Гл. 1х, 1 9 4) Пусть Сь — кодмодуль алгебры С (С), порожденный произведениями я элементов иэ ОО (Е) для О ( й ~ Ь. Показать, что ото. браженпе (эм - .. эл) -ь ОО (эг) йО (эа) путем факторпэацин определяет анакопеременное полилинейное ото. бражение степени Е" в СА/Сь , Получить пв него линейное отобра.
ь жение ка внешней степени /', Е в Сь/СА И показать, что в случае. когда модуль Е свободен, ль является иэоморфизмом. Для всякого ортогонального преобразования / имеет место равенство С (/) ь кь ь яь ч Ц /. ПОКаэатЬ, ЧтО В СЛуЧаЕ, КОГда А — ПОЛЕ ХарантЕрИСтиив Ф 2, яь является сужением отобрал~ения р г, определенного в упражнении Зв).' 5) В обоэначеппях и' 2 рассмотрим отображеннеЛ/ модуля /1 Е в себя.
Докаэать равенство 4/ (э4 Л "° Л эь) = ~ ( — 1)' 4/ (э ) (э4 Л . Л *4-4 Л э4 ь4 Л ° ° Л эл) и вывести иа него, что отображение 4/ совпадает с правым внешним проиэведением э -~ с 1 / (гл. 111, 4 8, и' 4, определение 2). 6) Иокаэать, что если модуль Е имеет баацс (гы еэ), ортогональиый относительно формы (), то алгебра С (С) иэоморфна алгебре ква терннонов над А, соответствующей паре (аы аг) где п4 = (> (е,) (4 = 1, 2).
7) Пусть А — максимальное упорядоченное поле, Ь' — векторное пространство четной раэмерности 2г над полем А, С вЂ” невырожденная квадратичная форма на пространстве, положительная плэ отрицательная. Показать, что если форма С положительна, то прв яетном г (г — 1)/2 алгебра С (С) пэоморфна некоторой алгебре мат. риц над А, а прк нечетном г(г — 1)/2 С(Я иэоморфна некоторой алгебре матриц над телом кватернионов над полем А. Если форма С отрицательна, то С (С) иэоьгорфна некоторой алгебре матриц над А при г (г + 1)/2 четном и иэоморфна некоторой алгебре матриц пал телом кватернионов над полем А при г(г + 1)/2 нечетном (испольвать упражнения 2 и 6). Какова структура алгебры С+ (С) в этих двух различных случаях? 8) Пусть кольцо А есть Я/(4), Ь' — А-модуль Я/(2); пологкпэ С (О) = О, С (и) = 1 для единственного отличного от нуля элемента и 5 Е, получим квадратичную форму С на пространстве Е.
Показать, что А-модули С ((3) и /1 Е не изоморфны (докаэать, что модуль С ((/) иэоморфен прямой сумме модулей, иэоморфных Е). ей) Пусть А — поле хараитеристпкп ~ 2, Š— векторное пространство иад А конечной четной раэыеркостк 2г, С вЂ” невырожденвая квадратичная форма ва пространстве Е. 491 Л31ГЕБРЫ КЛИСвевОРДЛ а) Пусть (е,) — спыплектическнй базис (5 5, и" 1) пространства л" относительно знакопеременной билинейной формы Ф, ассоциированной с Р.
Показатен что элемент с=е1ез+езвв+... +вт твз, алгебры С+ (Р) образует вместе с единицей базис центра Я алгебры С+ (Р). Для того чтобы цеятр Е был прямой суммой двух полей, необходимо и достаточно, чтобы элемент й (р) = р (в 1) р (вт) + 0 (вз) р (вв) + ° ° . + р (вгг-1) р (взг) (называемый нвввдодивнрилинантол формы Р относительно симплектического базиса (в;)) имел внд Ьз + )., Х Е А. б) Пусть и — подобие относительно Ф ($6, и' 5) с коэффициентом р (и), п Р, (з) = Р (и (*)). Положим г г н (вз1 — 1) = х~~ е!увзг 1+ х~~~ ~ьцвзр 1=1 1=1 г и (етП= ~ ввуза) + ~ И11е 1=1 н Я(ез1 1)е ан р(вы)=р1 (1 <1~ г).
Показать, что Л (01) =(р (н))з в) (Р)+(Р (и))э+ р (и) Р (н), Р (и) = х~~ ~(с)а11в11+ ()1Ь11сК11+ Ьывы) где (инвариагин Динсвна подобия и относительно базиса (в1)). (Заметить, что элемент (р(и)) 1(и (е,) и(ех)+и (ез) и (е )+...+и (взг 1) и(взг)) принадлежит Я.) Для того чтобы и было подобием относительно р (Ь 4, упражнение 9) с козффцвевтом р (н), необходимо в достаточно, чтобы Р (и) = О плн Р (и) = р (и); подобия относительно Р такие, нто Р (и) = О. называются нрелмли.
в) Показать, что если е — подобие относительно Ф, и подобие относительно р, то Р (иг) = р (и) Р (и)+ р (и) Р (г) (рассмотреть инвариант Диксона подобия г отяосительно симплектического базиса, составленного из векторов и (вм,) и (р (и))-ти(вз1) для 1 (1 ( г). Вывести отсюда, что прямые подобия относвтельно р образуют в группе подобий относительно р нормальный делитель индекса 2. г) Пусть и — симметрия относительно гиперплоскости, ортогональной к иеиоторому несиягулярному вектору пространства Е. Показать, что Р (и) = 1. Вывести отсюда, что группа у (Сг+) 492 полутогллннканык и квадглтичнык с>огмы гл.
гх, ! О (обозначения из и' 5) совпадает с группой ВО (()), определенной в упражнении 28в) ! 6. д) Пусть поле Л алгебрапчески замкнуто и э с О (О). Показать, что к р ВО (()) тогда и только тогда, когда число элементарных делителей модуля Ез ветле. (Заметить сначала, что, в обозначениях упражнения 15 1 5, число неравложпмых подмодулей, в прямую сумму которых разлагается 0(р, д), где р, д — различные неприводнмые в>но- жители минимального многочлена автоморфпзма и, равно числу неразложимых подмодулен, на которые разлагается С (д, р). Заметить, что, с другой стороны, С (р, р) = (О) для всех р, кроме р = = Х вЂ” 1. Наконец, доказать, что можно ограничиться случаеы, когда модуль Еэ равен С (р, р) (р = Х вЂ” 1) п неразложпм.
Тогда существует симилектическнй базис (е;) пространства Е такой, что векторы е>, гз, .. й езь > образуют базис в (р (к))з"-а (Е), 1 ( )> ( г; показать, что векторы е>, ею ..., егг — з спнгулярны, и получать, что В (и) = 1.) э10) Пусть А — воле, Š— конечномерпое векторное пространство, С вЂ” вырождеээаз квадратичная форма на Е; пусть М вЂ” дополнение подпространства Ее з Е,  — (полупростая) алгебра Клиффорда сужения формы О на >)1. а) Предположим, что характеристика полн А не равна 2.
Пусть Ь вЂ” алгебра Клиффорда сужения формы (> на Еэ (нэоморфвая Л Ее), И, — ее радикал (идеал, порожденный в Е множеством Ее факторразмерности 1 в Е); показать, что радикал Я алгебры С (()) (с точностью до изоморфизма) получается при определении на В ®Яе структуры алгебры, указанной в следствии 4 н теореме 1, что алгебра С (()))Я пзоморфна В и что С ((>) является прямой суммой алгебр В н Я. б) Предположим, что поле А имеет характеристику 2. Пусть Р— подпространство в Ес, состоящее из сиэгулзрлыз векторов з р Ее, и )У вЂ” дополнение Р относительно Ез. Пусть (а;)! ! с — базис Л', С (а>) =- ао элементы и з линейно неаавпсимы в алгебраическом замы>/з канин поля А, и пусть (инз)гщ!<е — 2-базис поля А, = л (м~'з,... ..., а„~з) над А (гл.
У, $ 8, упражнение 1), Ь = й!ш Р, В, — центральная простая алгебра В >>)л А,. Показать, что алгебра С (С) нзоморфна алгебре В, О(>л Е„где Ь> — внешняя алгебра векторного пространства размерности й + й — е над А,. Пусть И, — радикал алгебры Ь, (имеющий в Ь> коразмерность 1 над полем А,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
