Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Но так как упорядоченное поле А максимально, 507 иглы а поле А (Ф) — его расширение степени 2 (предложение 1а)), то А (Ф) алгебраически замкнуто (гл. 71, з 2, и' 6, теорема 3). Следовательно, корни степени и из единицы этого поля образуют циклическую группу порядка и (гл. У, з 1, и' 1, теорема 1). Но для любого элемента и Е А (Ф) его норма Н (и) = ий > О, так что равенство и" = 1 влечет Л' (и) = 1, и значит, и есть вращение (и' 1, замечание 1).
Это и доказывает наше утверждение. Слвдствик. Прямой угол (соответственно развернутый угол) является единственным элементом порядка 2 в группе Я о (соответственно в группе Я). Наконец, предпололгим, что плоскость Е ориентирована. Ламма 1. Пусть и — прямое подобие плоскости Е; все бивекторы вида х /~ и (х) принадлежат одной замкнутой полупрямой 2 из /~, Е.
В случае, когда подобие и является гомотетией, утверждение леммы тривиально. В противоположном случае х Д и (х) чь 0 для любого х ~ 0; пусть х и у — векторы плоскости Е, х чь О, у ~ 0; существует подобие о Е Е+ такое, что у = о (х), откуда уДи (у) = о (х)/~ио (х) = о (х) /~ о (и (х)) =- (бег о) (х /~ и (х)); взяв в плоскости Е ортонормальный базис, убедимся, что бег о положителен (предложение 1б)), откуда и следует наше утверждение. Но если это так, то среди двух образующих ш поля А (Ф) таких, что иР = — 1, есть единственный элемент, для которого бивектор х Д и (х) полон;ителен при любом х ~ Е. Именно этот образующий мы и выберем для определения функций с„, з„и г„ (и' 2).
Пусть Ь и Ь' — определенные выше канонические бнекции группы Яг углов между прямыми на группу Е'/П и группы Я углов между полупрямыми на группу О+. Отображение г„о Ь группы Яо в проективное поле А и отображения с 0 Ь' и з„0 Ь' группы Я в поле А обозначаются соответственно 1п, соз и збп и называются тангенс, косинус и синус. Отображение у -+. 1/гл у группы Яо в А обозначается через его и называется котангенсом.
Косинус, синус„тангенс и котангенс называют тригонометрическими у)ункциями. Допуская вольность речи, через 1д и сгд 508 полктовллннвиныв и квядоятичныв догмы гл. 1к, 1 10 обозначают также композиции 1я о р и сся О р, где р — канонический гомоморфизм группы |й на а'в (см. вьппе замечание 2). Формулы (2), (8), (3), (4), (5) и (7) и' 2 при б = — 1 превращаются в формулы: 18||+18'1 (11) 1 — су с ск ч' ' 18 (2|р) =- (12) для |Р |у био созе О+в(п' 0 = 1, (13) соз (О+ 0') = соз 0 сов 0' — вш 0 вш 0', (14) зш(0+0 )=вшдсозб +совбв1пд', (15) ( з(п(26) = сов (26) = —,„~, для О, 0'~Й.
Кроме того, из определений или иа предыдущих формул легко следуют формулы: в|а 6 сов б 180=с —, аабб ' с180= в|а б 1+$8вб== — 1- —, 1+ссйв0=. — -|в сове 0 ' виРЮ (18) (18) (17) для 6~Я. Углом между двумя ненулевыми векторами х, у плоскости Е, ваятыми в данном порядке, называется угол между полупрямыми, содержащими эти векторы; этот угол обозначается (х, у). Для любого вектора х ~ Е его длиной называется элемент Ф (х, х)пв поля А; длина вектора обозначается ~х~. Повдложвник 10. Пусть А — максимальное упорядоченное поле.
Предположим, что плоскость Е ориентирована и 4орма Ф положительна. Для любой пары ненулевых векторов х, у плоскости Е выполняются равенства соз(х, у)= — ' л !*~~о~ ' (19) вЛо з)п(х, у) е=. 1в1~у~ ' (20) где е — положительный бивектор такой, что Ф<в, (е, е) = 1. 509 ъ глы В самом деле, векторы х' = х! ! х ! и у' = р! ! у ! имеют длину 1, следовательно, существует единственное вращение э такое, что э(х') = у' (и' 1, следствие 2 предложения 1). Положив и = Р == а+ Ью(а, ЬЕА), получим, по определению, а = соз (х, р) и Ь = — з1а (х, у). Равенство у' = э(х') = ах'+ 6ю(х') влечет Ф (х', у') = аФ (х', х') = а, так как х' н ю (х') ортогональны (замечание 2 п' 1), что доказывает равенство (19). С другой стороны, по определению продолязения Фка формы Ф на внешнюю сте- 2 пень Д Е (з 1, п' 9, формула (37)) и по выбору элемента ю, из этого соотношения следует также, что х' /~ у' = Ьх' /~ и (х') = == 6е, что доказывает равенство (20).
между векторами х и у называется угол между этими векторамн, Р~ как элементами плоскости Р'; этот угол обозначается (х, у). По формуле (19) косинус этого угла равен соз(х, у)= л )х)~у~ (21) (где число )х! = Ч'(х,х)па также называется длиной вектора х) и, следовательно, не зависит от выбора ориентации на плоскости Г'. Функции синус и тангенс угла (х, у) при изменении ориента- 3 а м е ч а н н я. 3) Пусть в а4ринной плоскости !, ассоциированной с плоскостью Е, заданы две прямые (соответственно полупрямые) Р, Р'. Углом между этими прямыми называется угол, образованный их направляющими прнмыми в плоскости Е (соответственно полупрямыми с началом 0 плоскости Е, соответствующими прямым Р и Р') (гл.
11, приложение и, п' 1 н л' 3); угол меязду прямыми Р и Р' обозначается (Р, Р'). 4) Пусть Р— векторное пространство произвольной размерности над максимальным упорядоченным полем А, н Ч" — невырожденвая положительная симметрическая билинейная форма на пространстве Г, и пусть Г' — векторная плоскость, порожденная двумя заданными линейно независимыми векторами х, у; углом 510 полутОРАлинеиныв и кВАдРАтичные»ьогмы Гл. »х, $1о ции плоскости Г' меняют знак. Если ненулевые векторы х и у пространства р пропорциональны, то угол (х, у) считают равным нулю. 4. Угловые се»сп«о ры Будем сначала предполагать только, что Š— ориентированная плоскость над упорядоченным полем А.
Будем говорить, что три полупрямые Лг, Р», Рг (с началом 0) плоскости Е образуют направленную последовательность, если для х; Е Р», х; чь 0 (» = 1, 2, 3), по меньшей мере два из бивекторов х, /»» х», х, Д хг, хг /», х«строго положительны; в этом случае последовательности Ро Рг. Ло и Рю Ыл также будут направленными. Ясно, что любые три прямые, образующие направленную последовательность, различны Неладу собой. Пусть Р» и Рг — произвольные полупрямые плоскости Е. Открытым (соответственно замкнуты.м) угловым сектором с началом Р» н концом Р, называется множество (или, более вольно, объединение) всех полупрямых Р таких, что последовательность Р», Р, Рг направленная (соответственно таких, что Р =- Л», или Л = Рг, или последовательностьР„Р, Р направленная).
ПРедлОжение 11, Пусть Š— ориентированная п.госкость над упорядоченным полем А, Р« — полупрямоя в плоскости Е, С— множество полупрямых, отличных от Р«. Отношение «Л» = Лг или последовательность Ро Р», Рг направленнаяг между глементами Р» и Р, л»ножества 6 является отношением совершенного порядка в множестве 6'. В самом деле, все аксиомы отношения строгого порядка, кроме транзитивности, проверяются тривиально. Пусть Р„ Р„ Лев три прямые такие, что последовательности Л«, Л», Рг и Рг, Рг, Лг направленные. Покажем, что последовательность Єл, Рг также направленная. Для этого воаьмем на полупрямой Р; (1 = О, 1, 2, 3) вектор х» ~= О, выберем некоторый бивектор е г 0 и положим х» /~ х; = аме (ам с А). Записав бивектор е в виде х«Д у (у с Е) и взяв (х«» у) в каче ' стве базиса плоскости Е, легко получить соотношение а«»агг+ аегаг» + а«за»г = О.
511 гглы Но тогда, если а««<0, то аз») 0 и аз«) 0 (так как первая последовательность направленная), далее, а,з ) 0 и азо ) 0 (так как аоз «0 и вторая последовательность направленная); отсюда по формуле (22) аы ) 0; следовательно, в данном случае последовательность Ро, Єл направленная. Пусть теперь аоз ) О. Если а«о (О, то аог ) 0 и а,з ) 0 (так как вторая последовательность направленная); далее, агз ) 0 (так как аз, « 0 и первая последовательность направленная); отсюда по формуле (22) аы ) О, то есть последовательность Р„ Р„ Рз направленная. Наконец, в случае аоз ) 0 и а,о ) 0 утверя«дение очевидно.
Слвдствив. Пусть Рз и Рг — две различные полупрямые плоскости Е. Для любой полупрямой Ро плоскости Е, такой, что последовательность Ро, .Ри Рз направленная, мнохсество полу- прямых плоскости Е, удовлетворяющих условиям Рз ( Р ( Рг (в смысле отношения совершенного порядка, определяемого полу- прямой Ро), совпадает с открытым угловым сектором с началом Рз и концом Р,. В самом деле, требуется доказать, что отношения «последовательность Р „ЄЫ направлеяная» и «последовательности Ро, Р„ Рз и Р«,.Рз, Рз направленные» эквивалентны.
Обозначим для краткости через (з)й) отношение «последовательность Ри Р;, Р„ направленная». По предложению 11 конъюнкция отношений (132) и (120) влечет (130); аналогично конъюнкция отношений (201) и (213) влечет (203), н в одну сторону утверждение докааано. Обратно, предположим, что выполнены отношения (012), (013), (032); тогда конъюнкция отношений (312) и (320) влечет (310) (предложение 11), а (310) и (013) несовместимы, поэтому отношение (312) не выполняется. Поэтому справедливо отношение (132), что и заканчивает доказательство.
В соответствии с этим следствием открытый (соответственно замкнутый) угловой сектор с началом Р, и концом Рг обоаначают через [ЄЫ[ (соответственно [Єл[), подразумевая при этом, что речь идет об интервале для структуры порядка, определенной любой прямой .Ро такой, что последовательность Ро, Р„Рг направленная. 512 полутоРЛЛИНКЙНЫК И Квлдгхтичпыв ФОРМЫ ГЛ. 1Х, 1 10 Пгкдложкник 12.
Пусть А — максимальное упорядоченное поле, Š— ориентированная плоскость над полем А, Пз — полу- прямая в плоскости Е, и 6 — множество отличных от 0е полу- прямых плоскости Е. Совершенно упорядоченные множества А и 6 ивом орфны. В самом деле, возьмем в плоскости Е такой базис (х, у), что х Š— Ре и бивектор х /( у > О. Каждому элементу т Е А поставим в соответствие полупрямую у (1), содержащую вектор (1 — тз) х + 2(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
