Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Инверсщо и яанывают также инверсией сферы С. 520 полгторалиныиныы и кнкдратичныи юормы гл. гх, 1 1О з14) Сохранны обозначения и предположения упражнения 12, примем О за начало в Ь. Пусть векторное пространство Е, — прямая сумма пространства Ь и некоторого пространства А(з размерыости 1. обозначим через О, квадратичную форму на пространстве Ем определенную равенством ()1 (х+ц)з) =() (х)+цз для любых х б Ь и ц б А; форма (), положительна и невырождена; пусть С вЂ” сфера в Е, радиуса 1 с центром О (относительно Оз). Пусть з — инверсия степени 2 с полюсом — П евклидова пространства Е, (упражнение 13); ее сужение зз на Ь переводит Ь в в С вЂ” ( — ),); допуская вольность речи, з, (соответственно з,') называют етереогреу)ичеекой креекиией пространства Ь на С (соответ- ственносферыСна Ь) е щечки обзора — )о Для всякой инверсии и в Ь с полюсом с отображение з,изе' является иыволютивной подстановкой на дополнении С множества (з, (е), — г',); положив и' (зг (е)) = = — 1о и' ( — П) = ез(с), ее можно продолжить до инволютнвной подстановки и' множества С; подстановка и' называется инверсией в С.
Аналогично для всякой симметрии г в Ь относительно ыекоторой гиперплоскости отображение ззззз" является иыволютнвной подстановкой на дополнении в С множества ( — П); положив г' ( — П) =- = — гы зтУ поДстановкУ можно пРоДолжить До инволютивной поД- становкн г' на С; подстановка к' нааывается еиммекгрией в С. Группа подстановок на множестве С, порожденная инверсиями и симмет-, рняык, называется кокгрормной групкай сферы С (нлн, допуская вольность речк, пространства Х). а) Покааать, что конформная группа сферы С порождается симметрлямп г' и инверсиями и', соответствующими инверсиям в Ь степени ~ О.
(Использовать упражнение 13 а) и заметить, что в пространстве Ь всякий перенос, а также гомотетия * — — х являются пронаведеннямн снмметрпй относительно гиперплоскостей,) б) Пусть и — инверсия в Ь степени ) О и и' — соответствующая инверсия в С; показать, что и' является сужением на С однозначно определенного преобразования из, которое есть либо инверсия в Е, степени ) О, сфера которой ортогональна к С (упражнение 13), либо симметрия относительно некоторой гиперплоскости пространства Е„ проходящей череа О.
(Рассмотреть в Е, инверсию из той же степени ы с тем же полюсом, что и.) Сформулировать соответствующее предложение для симметрии з' в С, соответствующей некоторой симметрии г в Ь относительно гиперплоскости. в) Рассмотрым на векторном пространстве Ез —— А х Е, квадратичную форму ()„определенную равенством Ог((г ьу))=из — Оз(у) г чбтр убЬю' зта форма невырождепа, и сигнатура ее равна (1, к + 1).
Отожде- мглы 521 ствнм Е, с его каноническим образом в проектявном пространство .Р (Е)з (гл. 11, приложение 11П л'4). Показать, что (в обозначенинх б)) инверсия и' являетсн также сужением на С некоторого проективного линейного отображения и", получающегося путем факторизации нз элемента и' ортогональной группы О (Щ, являющегося симметрией относительно неизотропной гиперплоскости в Е,. Сформулировать соответствующее предложение для и'. Вывести отсюда, что конформная группа пространства Ь изоморфна факторгруппе группы О (()г) по ее центру (исвользовать предложение 5 п упражнение 17в) $6), Получить отсюда, что всякое преобразование из конформной группы есть произведение не более чем и+ 2 преобразований, каждое пз которых есть либо инверсия, либо симметрия в Л (см. 1 6, упражнение 15д)).
г) Пусть Х вЂ” множество, состоящее из сфер и гиперплоскостей аффинного пространства Ь. Вывести нз б), что существует бпекция множества Х на дополнение в 2о(Ез) множества элементов х б Е, таких, что С, (л) (1; отсюда следует, что точки, соответствующие двум ортогональным сферам, сопряжены относительно С. 15) Обобщить определения и результаты упражнений 12, 13 и 14 на случай, когда А — пифагорово поле и существует базис, ортонормальный относительно Ф, 16) Пусть А — поле, У вЂ” векторное пространство над полем А нечетной размерности 2г + 1, г" — пространство А ХМ, Ч вЂ” невы- рожденная знакопеременпая форма на Р;множество С, пряыых проентивного пространства 1о (Р) размерности 2г + 1, являющихся каноническими образами вполне наотропных плоскостей пространства Р' (относительно Ч'), называется (проективпым) пикейным комплексом в йо (Р), ассоциированным с формой Ч.', В дальнейшем мы предполагаем, что А — максимальное упорядоченное поле; пусть Ф вЂ” невыро>кденная положительная симметрическая форма на Г.
Пусть Р— прямая, ортогональная (относительно Ч') к подпространству У в Р, лежащая в У, и Н вЂ” гнперплоскость в Г, ортогональная к Р (относительно Ф); в пространстве Г Н является неизотропным нодпространством относительно Чг, и его ортогональное подпространство (относительно Ч') является, следовательно, плоскостью, дополняю|цей Н и содержащей Р. Множество С пересечений вполне нзотропных (относительно Ч') плоскостей пространства р, не содержащихся в у, с аффинным пространством Е = (1) Х К С р называется (аффинпым) липвйпым комплексом в Е, ассоциированным с формой Ч', прямая Л = Р () Е называется осью линейного комплекса С (для структуры евклидова пространства, определенного на Е метрической формой Ф).
а) Показать, что в пространстве Е всякий перенос, равный направляющему вектору прямой Л (гл. 11, приложение П, и' 3)„ оставляет комплекс С инвариантным (см. 1 4, упражнение 6). ?2 ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ГЛ. 1Х, 1 10 б) Пусть (ег)еягмг„— ортонормальыый базис пространства относительно Ф, причем ее б Р и Ч'(егг-г, егг) = йг ) О для 1 ( 1 ( г, Чг (ед ез) = О длн пар индексов, ые имеющих вида (ег; егг) или (егн егг-г) (4 7, и' 3, предложение 6). Выберем в аффинном пространстве Е начало а б К и положим Ч" (а, е,) = йм Пусть х— вектор иэ плоскости, порождеыной векторами егг, и егм и у — вектор из этой же плоскости такой, что Ф (х, у) = О, Ф (у, у) = 1, и х ег у = = бег;,,А, ег; длы К) О.
Пусть Ег — аффинное линейное много- образие размерности 3, порожденыое точками а, а+ ее, а+ ег; а + е„в простраыстве Е, и „— пересечение Е, с аффиныой гипер- плоскостью (в Е), порожденной прямыми комплекса С, содержа- щими точку а+ х. Показать, что направляющее надпространство прямых, ортогопальных (относительно Ф) к плоскости В„в много- образии Ен есть прямая Бх, лежащая в плоскости Ае, + Ау, причем в случае, когда плоскость Ае, + Ау ориентирована таким образом, что бивектор ее,л, у положителен, выполняется равенство 13 О= Агг )/Ф (х, х), Ос где О = (Р, ~х). *17) а) Пусть А — поле, У: 3 -г. 3 — инволютывный автоморфизм поля А, Š— векторное пространство размерности 2 над полем А, Ф вЂ” невырожденная (не знакоперемепная) зрмнтова полуторалинейная форма на пространстве Е, (ег, ег) — ортогональный относительно Ф базис пространства Е (1 6, и' 1, теорема 1) такой, что Ф (ьгег+ 4гег, Ч гег+ Чзею' = оьгЧг+ РьгЧг (а и )) принадлежат полю К ннвариантных элементов автоморфизма е); положим у = ()/а.
Отождествим точку $гег + аггее б Е с элемеытом 1г + ьгр кольца В, определенного условиямн Оз = — у, чь = Ъ) для $ бА (4 3, упражнение 4а)). Для всякого х = $г+ +гэйл В положим х =- ьг — ьгр и )г' (х) = хх =- хх; тогда отображение х -ь х будет иыволютивным антиавтоморфизмом алгебры В (над полем К) и Ф (х, х) = айг (х). Показать, что всякоа подобие относительно Ф, определитель которого равен коэффициенту подобия (называемое также лрллмл подобием), единственным образом может быть представлено в виде х -*- ху, где у — ыеизотропный вектор пространства Е, и коэффициент этого подобия равен )У (у).
б) Предположим сначала, что е — тождественыый автоморфизм, так что К = А. Получить результаты и' 1 в случае, когда характеристика поля А чь 2. Развить соответствующую теорню, когда характеристика поля А равна 2 (см. 4 4, упражнение 14; разобрать два случая: у является или нет квадратом в поле А). в) Предположим, что е Ф 1, так что А — сепарабельыое квадратичное расширение поля К; тогда Ф обязательно удовлетворяет УГЛЫ 523 условию (Т) ($4, и' 2 н упражнение 1); если индекс формы Ф равен О, то  — рефлеясиааае тело с центром К (гл. Ч111, $11, упражнение 4); если же индекс формы Ф равен 1, то В изоморфно Жг (К). г) Предположим, что Х:~ 1 и характеристика поля А ~ 2; тогда А = К (О) и Оэ = — б р К; пусть Р— группа прямых подобий относительно Ф, Н вЂ” группа гомотетий в пространстве Е с коэффициентом Ф О, принадлежащим К (эта группа иэоморфна Ка).
Показать, что группа Е!Н иэоморфна группе вращений О+ (9), где ()— невырожденная квадратичная форма на векторном пространстве Р размерности 3 над полем К такая, что в Р существует ортогональный баэис ((„ (э, 76), относительно которого 0 (61(1+ ьэ(э+ ьэ)э) = 761+ бее+ Чье (см. 3 9, упражнение 18). э18) Пусть А — поле, 6 -ь 6 — няволютнвный автоморфиэм поля А, Š— векторное простраяство четной размерности 2т над полем А, Ф вЂ” невырожденная армитова форма индекса О на пространстве .Е, удовлетворяющая условию (Т), б — дискркмннант формы Ф относительно некоторого баэиса пространства Е.
Пусть М (Ф)— группа коэффициентов подобий относительно Ф (1 4, упражнение 8). Покаэать, что М (Ф) есть подгруппа мультнвлнкативиой группы элементов кольца А, имеюк1нх внд асс — ( — 1)'" ЯЗК, (Применить пндукцню по т, используя упражнение 17 и следующие два эамечаиня: 1' если и — подобие с коэффициентом р, х — вектор пространства Е, у = а (а) и х =- и (у), то существует унитарное преобраэованне и такое, что и (у) = — у н э (э) = рх; 2' если сс, (1, Х вЂ” отличные от О элементы полн А такие, что существуют а, Ь, с, а бА, удовлетворяющие условиям Х = аа + паа, Х = Ь Ь + ()аа', то существуют а, ! такие, что ). = аа — сс()1!.) б) Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле, К, = К ((1,))— поле формальных степенных рядов от одного переменного 1, с коэффициентами нэ поля К (гл. 1Ч, 1 Ь, п* 7), А = К, ((1,)) — поле формальных степенных рядов от другого переменного !э с коэффициентами нэ К,.
Пусть Š— векторное пространство раэмерностн 6 над полем А, () — невырожденная квадратичная форма на пространстве Е, для которой существует ортогональный баэис (е!) такой, что 6 0 (,Е Ьа ) =Я+Я+53+И+!143+!2Я. 1=1 Покаэать, что ве существует подобия относительно О, коэффициент которого равен !1!1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ 1Х (Римские цифры относятся к библиографии в конце настоящего очерка.) Теория квадратичных форм в ее современном виде восходит лишь ко второй половине Х «111 в. и, как мы увпдвм, развивалась, прежде всего, в связи с запросами арифметики, анализа и механики.
Однако основные понятия этой теории появились фактически вместе с «евклндовой геометрией» и составляют ее каркас. Поатому нельзя проследить историю ее развития, не говоря, хотя бы вкратце, о развитии, начиная с античности, «элементарной геометрии». Разумеется,мы коснемся лишь нескольких самых общих идей, и читатель не должен надеяться найти здесь точные справки об истории той нли иной отдельной теоремы; по этим вопросам следует обратиться к специальным трудам исторического и дидактического характера *). Разумеется также, что в случаях, когда мы ниже говорим о различных возможных интерпретациях одной и той же теоремы на различных алгебраических илк геометрических языках, мы ни в коей мере не собираемся утвер>кдать, что эти «переводы» во все времена были столь же хорошо известны, как сейчас; совсем наоборот, целью этого очерка и является показать, как математики постепенно, шаг за шагом, осознавали родство между этими вопросами, столь рааличными внешне;мы покажем также, как в процессе этого им удалось навести некоторый порядок в обичии геометрических теорем, оставленных древними, и попытаться, наконец, точно определить, что следует понимать под «геометрией».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
