Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Яснее, / (А) ~ 6. Покажем„что отображение / строго возрастающее. В самом деле, для того чтобы последовательность В„/ ((), / (Р) (т, 1' к А) была направленной, необходимо и достаточно, по определению, чтобы по крайней мере два кз элементов — 26 (1 — (з) 21' — (1 — Ез) 21, 2т' были )О.
Но второй элемент равен 2 (à — () (1 .Р (Р), так что при 1( Р имеем: если й'>О, то Г ) О или — 1) О, а если П' ( О, то — 1 ~ О и 1' ~ О; во всех случаях последовательность Ю„) (1), )' (Г) направленная. Так как множество А совершенно упорядочено, то отображение у является изоморфизмом множества А на у (А) (Теор. Мн., гл. 111, з 1, и' 14, предложение 13).
Остается доказать, что отображение у сюръективно. Рассмотрим для этого па плоскости Е такую положительную форму Ф, чтобы базис (х, у) был ортонормалькым относительно Ф. Для всякой полупрямой О г 6 существует единственный угол у такой, что 2~у=- ( — ))е, ()) (и' 1, предложение 1); так как угол ( — Ве, 1)) не является развернутым, то угол Ф не будет прямым и, следовательно, сй <р конечен. По формулам (16) (п' 3) 1) .= у (су <р), что и заканчивает доказательство.
У и р а ж н е н и я. 1) В обозначениях и' 1 положпм С (х)= = Ф (х, х). Векторное пространство Ю канонически отождествляется с С- (С) П 9, и' 1). Для любых элементов з б С+ (С) и х б Е имеем зх В Г:, показать, что з,: х <. зх принадлежит группе А (Ф) п отображение з — <, является изоморфизмом алгебры Сч (С) на А (Ф). 2) Обозначения и предположения те же, что з и' 1 п упражнении 1, з) Пусть С вЂ” мяожестзо таких элементов х б Е, что Ф (х, х) = (<единичная окружвость<), и Й вЂ” множество прямых В, пересечение которых с С не пусто (и, следовательно, состоит нз двух про- тулы тввоположиых элементов Л). Пряной е ок»меченной точкой называется всякая пара (Р, г), 'состоящая из некоторой прямой Р р З и точки г Е Р () С.
Показать, что для любых двух прямых с отмеченной точкой Л, = (Р„ г,) п Лг =- (Р„ г,) существует единственное вращение и такое, что и (г,) = гз (и, следовательно, и (Р~) = Рг); этот факт будем выражать равенством и (Л,) = Лг. Определенное на множестве пар (Л„ Лг) зримых с отмеченной точкой отношение «существует вращение и таиое, что и (Л,) = — Л,' и и (Лг) = Л,» является отношением эквивалентности. Множество классов эквивалентности прямых с отмеченной точкой по етому отношению называется множеством угла« между прпмыми с отмеченными точками, и класс эквивалентности, в котором лежит некоторая нара (Л„Лг) прямых с отмеченными точками, называется углом, образуемым этой парой, и оболч Л аначаэтся (Лы Лг); отношение (Л„лг) = (Л;, Лг) эквивалентно л, л, (Л„Л() = (Лг, Лг), и вращение, переводящее Л, в Лг, называется «ращением на угол б = (Лы Лг) н обоаначается Ь» (б); Ь» является биекцией множества 6, на О»; посредством отображения Ь» на множество 6, переносится структура коммутативиой группы О+; таким образом определенная группа 6, записывается аддитивно; раееернутым углом в 6«называется угол, образованный прямой с отмеченной точкой (Р, г) в прямой с «противоположно» отмечевиой точкой (Р,— г), который соответствует вращешпо к-».
— к. б) На множестве Зе ~ Р неиаотропиых прямых, так же как в в' 3, определяются понятия угла между пркмыми, грузны 6« (используется следствие 3 предложения 1 в' 1), пркмого угла в 6, и канонической биекции Ь группы 6« на К+(Н. Положим в обозначениях следстввя предложения 3 К= Ь вЂ”,' » а' » Ь и» =- Ь-г» «» ЬП тогд໠— гомоморфиам группы 6, в 6«, К вЂ” гомоморфизм группы 6, в 6,; гомоморфиам й биективен, ядро гомоморфнэма» состоит из нуля и развернутого угла; кроме того, 7й(1(())) = — 2б для () б 6«и» (й (ф)) =- =2ф для ф р 6«. Гомоморфизм 1 сюръективен (другими словаыи, З совпадает со множеством всех неизотропвых прямых) тогда и только тогда, когда ноле А пифагорово (гл.
Ч1, 1 2, упражнеяне 8г)) и сушествует бвана, ортоиормальиый относительно формы Ф; вместе с тем элемент Ф (к, к) прн любом к б Ь' является кеадратом. 3) Обоаначения и предположения те же, что в упражнении 2. а) Пусть г — симметрия относительно иеиаотропной прямой Р (1 8, в' 4). Для всякой врямой с отмеченной точкой Л, = (Р,, г,) наложим Лз=г (Лг) =(г(Р«). г(гг))~ и пусть ф = (Р„Р); показать, что (Л„йг) = й (ф). 33 н, Бтэсакк 514 полутовллипкииын и квлдвлтичнын юормы гл. гх, ! 10 б) Показать, что всякое ортогональное преобразование с опре- делителем — 1 является симметрией е относительно некоторой пеиэо- троппой прямой (см. ! 6, упражнение 15д)); для всякого вращения а имеем равенство еие т =- а П в) Для любых двух точекх, у р Е, таких, что Ф (х, х) = Ф (у,у) чь ~ О, существует едияственная симметрия относительно некоторой неизотропной прямой, переводящая х в у.
г) Пусть е, е' — симметрия относительно пеизотроппых пря- Р, мых Р, В' п с) = (В, В'); для того чтобы произведение е'е было вра- щением с углом д, необходимо и достаточно, чтобы Х(4г) = д, д) Показать, что коммутавт ортогояальной группы О (С) является образом группы 5, при гомоморфизме д-~Ле (26) (! 6, упражнение 1!а)); этот образ совпадает с Ое тогда и только тогда, когда гомоморфиэм ! сюръективеп (упражненне 26)). 4) Обозначения и предположения те же, что в упражнеяии 2. Пусть а, Ь вЂ” две точки окружности С, ба, йь — прямые с отмечен- ными тачками, проходящие соответственно через а и Ь [п через 0), Л. и д = (йю Ль). Для всякой точки х б Е, отличкой от ли Ь, через Р„ (соответственно Р„ь) обозначим аффинную прямую, проходюцую через а и х (соответственно череа Ь и х); пусть Р„'а (соответственно Р ь) — направляющая,пряман Р„(соответственно Р„ь); показать, что х р С (точна х отлична от а и Ь) тогда и только тогда, когда угол ~р =- (Рха, В .ь) удовлетворяет условию 6 (ф = д (воспользоваться упражнением 3).
Как изменится зто утверждение в случае х =- а плп х =- Ь (см. упражнение 25а) 6 6)? 5) В обозначениях и'и' 1 и 2 и упражнения 2 предположим, что Ф вЂ” форма индекса 1, иными словами, 6 есть квадрат уэ в иоле Л; обозначпм через Вп Вг изотроппые прямые плоскости Е, содержа1 щпе соответственно векторы ее — — ег и е, + .— ег. у т а) Показать, что группа вращений О" изоморфна мульппшпка- тпвяой группе А* полн А. б) Для всякого угла д 5 1)(~ пологким е,е (д) = ец, (Л~ (д)) + уе (Л, (д)). Г!оказать, что отображение д — ех (д) есть изомор- фкзм группы и, на группу Л*. в) Пусть В, В' — произвольные прямые и ~р = (В, У').
ПокаГРе Ргл вать, что двойное отношение ! В, ! (гл. П, приложение 111, управ!- пенне 5) равно е, (Т(~р)) (ефорлула етаееррае). (Заметить, что пря- мые В~ и Р, инвариантны относительно всех прямых подобий, и, поль- зуясь упражнением 4в) гл. 11, приложение 111, свестп доказатель- ство к случаю В = Ле,.) углы 515 6) Предположим, что поле А упорядочено. а) Пусть ЄЫ — неиэбгропные полупрямые с началом О.
Показать, что существует нрвмое подобие и такое, что и (Р,) = Р; всякое подобие, обладающее этим свойством, имеет вид о = ги, где г — гомотетия с коэффициентом ) О. б) Определенное на множестве пар (Р,, Рг) веиэотропных полу- прямых отношение «существует прямое подобие и такое, что и (Р,) = = Р,' п и (Рг) =- Р;» есть отношение эявивалентности. Множество классов эквивалентности ненэотронных полупрямых по этому отношению паэывается множеством углов между полупрпмими (неиэотропиммп), и класс эквивалентности, в котсром лежит яекоторая пара (ЄЫ) таких полупрямых, наэывается углом, образованным л л этой парой, и обозначается (Рм Рг), угол О = (Єл) называют углом всякого прямого подобия, переводящего Р, в Р; пусть Ьг (О)— класс этих подобий ко шоб Н; тогда /»г является биекцией множества 6 на группу о"+/Н+; посредством отображения /»г» на множество 6 переносится структура коммутативной группы К«/Н«; определенная таким образом группа обозначается аддитивно.
Определить каноническую инъекцию у группы 6, углов между прямыми с отмеченными точками (упражнение 2) в группу 6 таким образом, чтобы отображение /«г « у Ьг» было кановнческой инъекцней /' группьг О+ в о+/Н+, Отображение / сюръективно тогда п только тогда, когда сюръективен гомоморфиэм г группы 6, в 6« (упражнение 2б)). в) Показать, что уравнение 20 = 0 в группе 6 имеет два решения прп 6 ( О и четыре решения при б ~ О. Б первом случае решение ю Ф 0 этого уравнения также называется развернутым углом. *7) Сохраняя предположения и обозначения упражнения 6'„ будем считать, что гомоморфнэм у биектнвен; тогда для любого Ф Е Ж можно определить соэ О и э1п О так же, как в и' 3. Пусть Т вЂ” мпо жество таких О б 6, что э1п б л О.
а) Понавать, что для всякого угла О Е Т существует единственный угол О' б Т таков, что 26' = б; положим О' = О/2. б) Пусть Р— Я-модуль формальных линейных комбинаций множества Т с коэффициентами нэ Е (гл. 11, 1 1, в' 8); обозначим черен $ +»1 и — 4 сумму и противоположный элемент в Ь. Пусть К вЂ” подмодуль Ь, порожденный элементами вида Э+ т) — (э+»)) для всех пар (Э, «)) элементов Т таких, что $ + «) Е Т (сумма взята в группе 6). Пусть / — гомоморфиэм модуля Ь в 5, являющийся кродолжением канонической инъекции множества Т в 6, и у — эндоморфиэм модуля Р, продолжающий отобрюкение О -» О/2 множества Т в себя. Тогда /(Л«) = (0) и у(Н) ~Л'. Путем факторизации нэ гомоморфиэма / получается гомоморфивм / модуля М = ИЛ/ в 6, а иэ у— 33» 516 нолутОРАлинеиные и килДРлтичные ФОРмы Рл.
1х, 1 10 эидоморфизм модуля Лз; положим у (р) = р(2; тогда ут (р) = 2-"' р, где у'" — птерироваявая т-я степень у; имеем равенство 2т(2ьт р) = = р для любого р Р М. в) Покавать, что сужение ва Т канонического отображения ф модуля Ь па ЛХ = И)у ивъективпо; это поаволяет восредством ф отождествить Т с некоторым подмножеством модуля М.
Показать, что сумма ).г+ Дз+ ... + )ь певулевых элемевтов йп 2з,... .. „Х множества Т не может быть равна нулю в М (рассмотреть элемевт 2-т ()ч + ... + 2 ) и примепить индукцию ко т, ааметив, что эти элементы принадлежат Т). г) Пусть Мг — миожество конечных сумм (в М) элементов множества Т; показать, что М+ П ( — М+) = (О) и М = М+ () ( — М+) и, следовательио, Мл является множеством элементов ~ 0 в веко- торой структуре еевершенно упорядоченной группьь овределевпой на М (заметить, что для любого р б Ме сузцествует целое число т. такое, что 2ьт р б Т); эта совершекпо упорядочеивая группа назы- вается группой мер углов между пегупргмими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
