Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Показать, что гомо- морфиэм 1' модуля Лу в 6 сюръектпвеп п его ядро есть множество целых кратных угла 2Ф, где е — развервутый угол (упражнение бв)). Докааать, что мкозгество Т отождествляется с интервалом 10, Ф] в М (пядукцпей по т установить, что если р, 2„... ,)ч привадлежат Т и )и+ ... +) (р, то 2,+ ...+ + )ь б Т). Показать, что функция 0 — соз О, определенная ва мно- жестве Т (отождествлепвом с ивтервалом в М), строго убывающая. д) Для того чтобы совершевпо упорядоченная грузна М была архимедовой (гл, Ч1, 1 1, упражнение 31), необходимо и достаточно, чтобы аддптвввая группа поля А была архимедовой.
(Для доказа- тельства пеобходимости заметить, что если з)п 0 бескоиечпо мал отно- сительно подполя Я поля А (гл. Ч1, 3 2, упражвевие 1), то з!и пб для любого и тоже бесконечно мал. Для докааательства достаточности заметить, что при 0 ( 6 ( ю/4 справедливо неравенство з!в 26 > > )г2 шп О.) 8) Пусть Š— ориентированная плоскость вад упорядоченным полем А, В', Ю' — раэличвые полупрямые, х' (соотвзтствепво х")— отличный от нуля вектор па В' (соответствевво В'). Угловой сектор с началом В' п концом В" называется меньшим раввернутвге (соответствепво большим развернутого, развернутым), если х' Л х" ) 0 (соответствевво х' Д х" ( О, х' у~ х' = О), а) Для существоваиия автоморфиэма векторного пространства Р„ переводящего открытый (соответственно замккутый) угловой сек- тор 2, в открытый (соответственно замквугмй) сектор 2з, необхо- димо и достаточно, чтобы секторы 2, п 2г были или оба меньше раз- вернутого, или оба больше развернутого, или оба развернутыми.
б) Покааать, что упорядоченное мвожество (!!', лг') изоморфпо интервалу (О, 1) поля А (рассмотреть сначала случай, когда сектор ь глы меньше развернутого, и эаметнть, что любые два ограниченных интервала поля А иэоморфны, как упорядоченные множества). в) В обоэначениях н предположениях упражнения 7 определить каноническое биективное отображение множества Т на раэвернутый угловой сектор и показать, что это отобрвкение является нэоморфиэмом для структуры порядка. 9) Пусть А — пифагорово упорядоченное поле, Š— конечно- мерное векторное пространство над полем А, Д вЂ” невырожденная положительная квадратичная форма на Е, относительно которой пространство Е имеет ортонормальпый базис (иными словаки, О (х) является в поле А квадратом при любом х 5 Е) Показать, что коммутант И (О) ортогональной группы О (О) ость группа вращений О+ (О) = ЕО(О) (испольэовать упражнение За) 1 10 и упражяеиие 17а) 5 6).
10) Пусть А — максимальное упорядоченное поле, Е конечно- мерное векторное пространство над А, Π— невырождениая положительная квадратичная форма на Е. Показать, что для всякого ортогонального преобраэования и Е О (О) существует раэложение пространства Е в прямую сумму попарно ортогональиых подпространств Р, Н, Н1 (1 ( з з г), обладающих следующими свойствами: 1' и (х) = х в Р, и (х) — х в Ф; 2' каждое подпространство Нз имеет раамериость 2, и (Нз) Нз и сужение преобразования и на Н; есть вращоняе на угол дп отличный от нуля и развернутого угла. Кроме того, для любых двух таких рааложений подпространства Р и Дг, так же как и последовательности элементов соз 00 с точностью до порядка совпадают (см. $7, пз 3, следствие 2 теоремы 2).
Вывести отсюда, что всякое вращение и Я О+ (О) является коммутатом Ззг-зз-', где з н з элементы группы О (О) и Ф = 1 (см. упражнение Зг)). 11) Пусть А — максимальное упорядоченное пеле, Б — тело кватернионов над полем А (соответствующее паре ( — 1, — 1)), Е— подпространство (размерности 3), состоящее нэ чистых кватернионов Ь (1 9, упражнение 15а)); всякий кватеринон единственным образом может быть тогда записан в виде з = зз 1 + з, где зз Я А, э б Е.
при этом аз — зз = 9 1, где 9 б А, 9)~ 0; положим (( э |! = (/р. а) Пусть ~р (з) — вращение х — зхз-' пространства Е относительно невырожденной положительной квадратичной формм х -з-з- 1~ х 5з на пространстве Е (1 9, и'5, теорема 4 и упражнение 15). Показать, что если з Ф О, то векторы прямой Н с Е, содержащей кватернион з, инвариантны отнсоительно зз (з); сужение вращения ~р (з) па ортогональную к Н плоскость Р = Не является вращением на угол д, причем (при соотвотствующей ориентации пространства Р) 13 — = 3 и)) /а. (Пусть (1, д у, х) — канонический базис тела Ь 0 2 над повем А; свести докаэательство к случаю, когда и = рй р б А, и вычислить зуз-з.) 518 полутОРАлинеиныи и НВАНРАтичнып юОРмы Гл. 1х, 1 10 б) Показать, лто всякий кватервион с нормой 1 может быть представлен в виде госте-г, где г 5 Е, г Е Е (см. упражнение 10), и для любых чистых кватернионов а и Ь с нормой 1 существует кватервнон г такой, что Ь еаг-Ц в) Кватернионы в=а+ о, с=р+ю, гдеи, РЕА, о, ю5Е, перестановочны тогда н только тогда, когда о = Лю, Л Е А; гг.= = — ге тогда и только тогда, когда се =- р = О, и векторы он ю ортогональны (см.
1 3, упражнение 10). 12) Пусть А — максимальное упорядоченное поле, 5 — евклидова пространство над А размерности и, н его метрическая форма Ф певырождепа и положительна; обозначим через й (х, у) расстояние 1ГФ (х — у, х — у) между двумя точками 5 ($ 7, и' 1, замечание). Сферой радиуса 0 с центром в точке с, где с Я й н 0:и 0 — элемент поля А, называется множество таких х Е 5, что й (х, с) = 0; таким образом, сферы являются невырожденными аффинпыми квадрикамп в 5, имеющими центр (1 6, упражнение 25).
а) Пусть х — точка сферы с центром в точке с. Показатьн что гпперплоскостьн касательная к сфере о в точке х (1 6; упражнение 25), перпендикулярна (1 6, упражнение 22) к прямой, проходящей через с и х. б) Пусть 5' — сфера радиуса 0 с центром в точке с, а — точка 5,  — прямая, проходящая через точку а и пересекающая сферу о" в двух различных точках х„хг (соответственно касательная к Я в точке х).
Доказать равенства Ф (х~ — а, хз — а) = (й (а, с))э — Оз (соответственно (й(х, а))з=(й(а, с))э — Оз). Элемент (й (а, с))э — Оз ноля А называется стененью точки а относительно сферы о. в) Пусть о„ог — сферы, имеющие различные центры; показатьн что множество точек пространства ро имеющих одинаковую степень относительно Юг и Ью образует гиперплоскостьн перпендикулярную к прямой, проходящей через центры этих сфер, и содержащую пересечение Я, Д о г; эта гиперплоскость называется радииаеьной гииеригоскостыо сфер О'г И Оз. г) Пусть Ю, и ог — сферы радиусов соответственно Ф и Оз с центрамп соответственно в точках с, и сг.
Показатьн что следующие свойства эквивалентам: а) Пересечение ог Д Бене пусто, и гиперплоскости, касательные к ог н Юг в любой точке из этого пересечения, перпендикулярны; 6,) степень точки с, относительно Яг равна Огь; Рг) степень точки сг относительно о"г Равна 01; ТД радикальная гиперплоскость сфер Я, и Юг есть полярная гппернлоскость ($ 6, упражнение 25) точки с, относительно ог; углы 5(9 уз) радикальная гиперплоскость сфер Я, и ог есть полярная гиперплоскость точки ез относительно Я,. В случае, когда эти условия выполняются, сферы Юг и оз называются срт эгона.г сними.
д) Пусть е„е, — центры ортогональных сфер Уь Уг и юм юг— степени некоторой точки х относительно Яг и Ьз соответственно. Показать, что ю, + юг = 2Ф (х — е„х — ег). Докааать обратное утверждение. 13) Обозначения и предположения те же, что в упражнении 12. Пусть е — некоторая точка Ь, а ~ Π— элемент поля А, Инверсией отвлеки а е лсеюсем е называется инволютивяая подстановка и на множестве Ь вЂ” (е) такая, что при любом х б Л вЂ” (е) элемент и (х) лежит на прямой, проходящей через точки с н х, и удовлетворяет условию Ф (х — е, и (х) — е) = а. Допуская вольность речи, говорят, что и — инверсия в пространстве Л.
а) Пусть и, в — инверсии степени а н () с общим полюсом е. Тогда ил-г нвляется сужением на Ь вЂ” (е) гомотетии (гл. 11, прпло>кение 111, упражнение 6) с коэффициентом ар-" и центром е. б) Пусть о — сфера (упражнение 12), содержащая точку е. Показать, что образ мне>ггества о — (е) прп инверсии с полюсом е есть гиперплоскостгн перпендикулярная к прямой, соединяющей точку с с центром сферы о. (Допуская вольность речи, говорят, что эта гиперплоскость есть образ о при рассматриваемой инверсии.) Доказать обратыое утверждение.
в) Пусть сфера Ю не содержит точки е, ю — степеыь точки е относительно Я (упражнение 126)); показать, что образ множества о" при инверсии степени а с полюсом е является образом о при гомотетин с коэффициентом а/ю и с центром в точке е. Если л = 2, то для всякого х р о через Т (соответственно Т') обозначим касательную к о" (соответственно к и (о)) в точке х (соответственно и (х)), а через Р— Л, прямую, проходящую через е, х и и (х); показать, что (Р, Т) = (т', Р).
г) Пусть ои Яг — ортогоыальные сферы (упражнеыие 12г)), Яг, ов — образы этих сфер при инверсии с полюсом с. Покавать, что если точка е не принадлежит ыи о„ии 6'г, то сферы Ь", н Гг ортогональыы. Если е Р о", и е Р ог, то Я„' — гнперплоскость, содержащая центр сферы лв. Если е р ог () 8г, то Ь" и Ь" — перпендикулярные гыперплоскости ($6, упражнение 22). Доказать обратные утверждения. д) -Пусть и — инверсия степени а = оз ) О с полюсом е, и С— сфеРа РадиУса О с центРом е, х„хв — точки, лежащие ыа пРЯмой, проходящей через точку е, отличные от е. Следующие утверждеыия эквивалентны: а) х, и хг переводится один в другой инверсией и; ()) х, и хг сопрюкены относительно сферы С (1 6, упражнение 26); у) всякая сфера, содержащая точки х, и хз, ортогональна к е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
