Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 117
Текст из файла (страница 117)
100 — 102), и набрасывает аналогичные идеи для квадрвк (ч'115). В течение Х>11! в. с развитием авалптпчсской геометрии двух и трех измеревпй поля воавпкают (особевво в связи с кониками и квадркками) две центральные аадачи атой теории: приведение квадратичвой формы к сумме квадратов и разыскание ее «осей» отиосительво метрической формы.
Для ковик обе эти задачи слишком злемевтарвы, для того чтобы привести к существенному алгебраическому прогрессу, первая пз иих для проиавольиого числа перемеввых решена Лаграижем в 1759 г. в связи с вахождеиием максимума функций многих пере)«еивых (1Ха). Однако зта проблема почти сразу же была отодвинута иа второй план задачей нахождения осей, даже до того, как была сформулировала ивзариавткость ранга "); что касается закона инерции, то ок был открыт лишь около 1850 г. Якоби (Х1Х 5), доказавшим его тем же способом, что используется в настоящее время, и Сссльвестром (ХХ), который ограничился его формулировкой как почти очевпдвого предложеиия "а). Задача приведения квадрики к ее осям представляла алгебраические трудности, уже заметка большие, чем аналогичная задача для копии.
Эйлер, первый приступивший к ией, оказался ве в состояиии доказать действительность собствеввых значений и принял зто после некоторого наброска обоско- в) Исследуя одну проблему, ве зависящую по своей природе от выбора осей координат, Лагранж ие мог ве ааметвть, что его метод оставляет много воаможиостей для проиазола; во ему ве хватает повятий, чтобы уточнить эту идею: >Впрочем, — пишет ов,— для псого чтобы в втих исследованиях не ошибиться, необходимо отметить, что преобразованные [к сумме квадратов[ формы могут оказаться огпличлыми от тех, что м»с задали; однлко, проверяя это ближе, м»с неизменно убеждаемся, что, каков>с бы они ни были, они всегда лсогут быть сведены к исходнын или ло крайней мере в них содер.- мсагпся» [7[ ((1Х), стр.
8). "*) Гаусс, со своей стороны, пришел к этому результату и, по свидетельству Римана, слушавшего его лекции в 1846 — 1847 гг., доказывал его иа зтих лекциях методом наименьших квадратов (В. В!ешапв, Оезашше!1е чует)се, !час5!гайе, !.е(регй (ТеиЬвег), 1902, стр.
59). 529 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К РПАВЕ 1Х ванна, не имевшего доказательной силы ((ЧП[а), стр. 379 — 392) *). Хотя к 1800 г. это утверждение было корректно установлено, лишь Коши доказал его для произвольного числа и переменных (Х1ЧЬ). В это же время Коши доказывает, что характеристическое уравнение, дающее собственные значения, инвариантно при любом изменения прямоугольных осей ((Х[Ча), стр. 252 *«)); при и = 2 и я = 3 эта пнвариантность интуитивно «очевидна» нз соображений геометрической интерпретации собственных значений с яомощью осей соответствующей коняки илп квадрики. Кроме того, в ходе этих исследованяй естественным обрааом появплпсь элементарные симметрические функции от собственных аначеиий (в различных геоыетрических интерпретацпнх н особенно в связи с теоре»гашг Аполлония .о сопряженных диаметрах), в частности дискриминант (давно уке известный для я = 2 в связи с теорией квадратных уравнений), впервые появившийся прп я = 3, видимо, у Эйлера ((Ч[1[а), стр.
382); Эйлер находит его при классификации квадрик (выражая условие того, что квадрика пе имеет бесконечно удаленной точки) и пе отмечает его инвариантности при изменении прямоугольных осей. Но несколько помпе, с появлением арифметической теории квадратичных форм, Лагражк замечает (прп и =-. 2) один частный случай кнвариантности дискриминанта при линейном, но не ортогональном преобразовании переменных ((1ХЬ), стр.
699), а Гаусс устанавливает для я = 3 «ьоварпантиость» дискрнминанта относительно любого линейного преобразования ((Х1а), стр. 301 — 302) *«*). Как только Коши п Бине доказалн общую формулу для произведения определителей, формула Гаусса была немедленно распространена на случай произвольного числа переменных; именно зта формула в 1845 г. дала первый толчок к общей теории инвариантов. К двум понятиям, которыми греки заменяли теорию перемещений,— к понятиям движения и «симметрии» геометрической фигуры — к ХЧП— ХЧ111 вв. прибавляетсн третье — изменение прямоугольных осей, эквивалентное, ио существу, теории перемещений. Этому вопросу Эйдер посвя- *) Более удачно у Эйлера получилось нахождение главных осей инерции твердого тела: сведя задачу к уравнению третьей степени, он заметил, что такое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень, п следовательно, иыеется по крайней мере одна ось инерции; взяв эту ось в качестве осп координат, он сводит задачу к легко решаемой плоской задаче ((Ч[Г[Ь), стр.
200 — 202). "«) Надо отметить, что вплоть до 1930 г. под «квадратичной формой» понималгг однородный многочлен второй степени от координат, взятых в некоторой данной системе осей. Видимо, лишь теория гпльбертовых пространств привела к «внутренней» концепции квадратичных форм дая«е в пространствах конечной размерности. ««*) Также в связи с втяни исслечованнями Гаусс определил обратную форму дчя квадратичной формы ((Х1а), стр. 301)и получил условие ееположнтельностп (1 7, п' 1, предло»пение 3), в котором используются главные минорьг определителя (там 'ке, стр.
305 — 307). 1/« 34 и. Втрг ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЧАВЕ ГХ щает несколько работ, стремясь, прежде всего, получить удобное параметрическое представление для формул перемены осей. Иавестяо, какую пользу принесли механике три угла, введенные пм для этой цела ((Ч111а), стр. 37(в 378). Не ограничившись этим, в 1770 г. он рассматривает общую проблему ортогональных преобразований для произвольного л, замечает, что в этом случае к цели приводит введение л (л — 1)/2 углов как параметров,и, наконец, для и = 3 п и =- 4 указывает рази«нов»яме представления вращений (как функции соответственно 4 и 8 однородных параметров, свяэаяных некоторым соотнопгением), которые позже были получены с помощью теории кватерняонов (см.
5 9, упражнения 15 и 16); о происхождении этих формул Эйлер ничего не говорит (Ч111с) «). О другой стороны, Эйлер указмвает, как переводится на аналитический язык отыскание «спмметргпы плоской фигуры, и именно в связи с этим приходят к докааательству, по существу, того, что всякое перемещение плоскости является вращением, пли переносои, пли переносом с последующей симметрией ((Ч111а),' стр.
197 — 199). Быстрое развитие механики в эту эпоху привело к общему изучению перемещений; однако вначале рассматривались лишь «бесконечно малые» перемещеяня, направленные по касательнок к непрерывным движениям: только они встречаются в исследованиях Торнчеллп, Робервалл п Декарта о композиции движений п мгяовенном цеятре вращения дв»гкения в плоскости (см. Исторический очерк к книге 1Ч, гл. 1, 11, 111).
Мгновенный. центр вращения в общем виде был найден Иоганном Бернулли; в 1749 г. Далаыбер, а годом позгке Эйлер расширнлп это понятие, доказав существование игновенной осн вращения для движений, оставляющих неподвижной некоторую точку. Аналогичная теорема для нонечных перемещений сформулирована лишь в 1775 г. Эйлером (Ч11Б1) в мемуаре, где он обнаружил вместе с тем, что определитель вращения равен 1; в следующем году он доказывает существование ггеподв~скяойг точки для любого подобия в плоскости (Ч!11е).
Однано лишь в работах Шаля, начиная с 1830 г. (ХЧа), оформилась, наконец, стройная теория кояечных п бесконечно малых перемещений. Итак, мы подошли к периоду, который называют волотым веком геометрии и который длится дговво шог)о от публикации «Описательной геалгетрии» Монжа (1795) (Х) п до «Эрлангенской программы» Клейна (1872) (ХХЧ Ц. Осяовпые достгпкення, которыми мы обяваны этому внезапному возрождению геометрии, состоит в следующем: «) Впрочем, Эйлер не дает формулы для композиции вращений, выраженной с помощью этих параметров; для л =- 3 эта формула не была нввестиа до заметки Гаусса (яе опубликованной прп его жизни (Х1Ц) п одной работы Олпнда Родригеса (1840 г.), который вновь приходит н параметрическому представлению, полученному Эушером и находнвшемуся в то время в почти полном забвении.
531 ИСТОРИ»!ЕСИМЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ !Х А) Понятие бесконечно удаленного элеиепта (точки, прямой пли плоскости), введенное Дезаргом в ХУ11 в. (У1), но вплоть до ХЪ'111 в. считавшееся лишь некоторой вольностью речи, было реабилитировано и система тически использовалось Понселе (Х11), заключившим тем самым проективную геоыетрпю в общие рамки для всех геометрических явлений, Б) В то же самое время Моиж и в особенности Понселе совершили переход к кккплекской геометрии. С полющью пояятия мнимой точки, спорадически воаипкавшего в течение ХУ111 в.
(а также понятия бесконечно удаленной точки), они дают формулировки, ие зависящие от «случаев расположении фигур» в действительной аффпяной геометрии. Хотя в самом начале обоснования этих нововведеи!Гй встречали сильнейшее сопротивление (особенно со стороны школы «синтетической» геометрии, н которой применение координат считалось позором), алесь в «прпнципе возьшя«ных случайных отношений» Мопжа пли в «принципе непрерывности» Понселе нельзя не распоанать первого ростка иден «специалиаации» нз современной алгебраической геометрии *).
Одним из первых результатов, полученных на основе этих концепций, было замечание, что в комплексном проектпвном пространстве все невырождеииые попики (соответственно квадрикп) имеют одну и ту же природу; это утверждение привело Понселе к открытию «изотроиных» элементов: ьОкружноюпи, расположенные произвольным оброзол»,— пишет он,— пе явля»отея, следовательно, сазерн!сино независил!ими друг от друга, наи можно подумать с первого взгляда, и идеально име»от оби!ук .ьнимум точку в бесьонечносп»и» ((Х11), стр. 48).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
