Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 119
Текст из файла (страница 119)
К 1860 г. «синтетическая» геометрия достигла своей высшей точки, во конец ее господства приближался быстрыми шагами. Оставаясь на протяжении всего ХУ111 в. громоздкой н неуклюя«ей, аналитическая геометрия в руках Ламе, Бобилье, Коши, Плюкера и Мебиуса приобрела, наконец, краткость и изящество, которые дали ей возможность сразиться ва равных со своей соперницей. Начиная примерно с 1850 г. понятия группы и инварианта, сформулированные, наконец, точным образом, постепенно завоевывают сцену, и все замечают, что теоремы классической геометрии являются лишь выражением тождественных соотношений между инвариантамн или *) Пример сферической геометрии некоторое время заставлял верить, что в пространстве постоянной положительной кривизны всегда существует пара точен, через которую проходит более одной геодезической.
535 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ 1Х ковариантами группы подобий *), а теоремы проективной геометрии в свою очередь выражают тождества (или «сизигянэ) между иовариавтами проектпвиой группы. Эта мысль была в совершенном виде изложена Клейном в знаменитой «Эрлангенской программе» (ХХУ Ь), где ои призьшает прекратить бесполезный спор между «аиалптической» и «спнтетической» тенденцпямп; если,— ппшет он, — обвинение последней в том, что она ставят в привилегированное положение какую-то одну аисте»<у произвольных осей, «слишком часто оправдывалось при том несоверциенком способе использования координат, который когдо-то ею употреблялся, то оно немедленно снимается, когда речь идет о рациокальном применении этого мегпода... Область пространственной интуиции не закрыта для аналитического метода...ь и подчеркивает, что <нельзя недооценивать преп»<уществ, которые приносит удачно приспособленный убормалиэм в дальнейьаих исследовакиях, где он, если мохсно так выразиться, опережает нашу мысль» ((ХХЧ Ь), стр.
488 — 490). Тем самым была создана рациональиая и «структурпан» классификация теорем «геометрия» в соответствии с группой, которой они подчиняются: ато линейная группа для проективвой геометрии, ортогональная группа для метрических вопросов, симплектическая группа для геометрии «чвиейпого комплекса». Однако в этом беспощадном свете классическая геометрия— за исключением алгебраической и дифференциальной геометрий в«)» уже представляющих собой отдельные дисциплины,— быстро увядает и теряет весь свой блеск. Уже обобщение Иетодов, основанных на использовании преобразований, сделало несколько механическим получение новых теорем: «В настоящее время,— пишет Шаль в 1837 г.
в своем «Историческом обзоре»,— каждый можепа взять какую-нибудь извеспаную истину и применять к кей розничные об<цие принципы преобразований; так он получит новые истины, отличные от первоначальной или более общие; а зти истиньь также .колено подвергнугпь той же операции; таким образом, можно умнохсать чуть ли не до бесконечности число новых истин, полученных из первой... Следовател~но, обобщать и создавать в геометрии при современном состоянии этой *) Наприиер, первые члены уравнений трех высот треугольника являют- ся ковариаптамп его трех вершин относительно группы подобий, и теорема, утверждающая, что этп трк высоты пересекаются в одной точке, равносильна утверждению, что зтн три коварианта линейно завискыы. **) Нет надобности налагать здесь историю этих двух дисциплин и деталь- но исследовать влияние на их дальнейшее развитие «Эрлангенской програм- мы». Отметим только, что алгебраическая геометрия после более чем столет- него развития стала научаться интенсивно, как никогда раньше; что же касается дифференциальной геометрии, то после блестящего расцвета, ното- рый она заспала в трудах Ли, Дарбу и их наследователей, она находилась под угрозой оказаться в том же наложении, что и злемевтарная геометрия, пока современные работы (проистекающие в особенности от идей Э.
Кар- мана) о расслоенпых пространствах и <глобальных» проблемах пе доказали ее жизнеспособности, 34« ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ ГХ науки может каждый, кто этого э«хо«ет; длн добавлении казней к ее «данию гений больше не нужеьм ((Х«'Ь), стр. 268 — 269). Еще более определенной становится ситуация в связи с успехами теории инвариаптов, которая, наконец (по крайней мере для «классических» групп), выработала общие методы, позволяющие, в принципе, чисто автоматически описывать все алгебраические коварианты и все нх «снзнгии»; зта победа означала гибель как самостоятельного поля исследований сразу двух теорий: самой класснческов теории инвариантов и «элементарной» геометрии, ставшей практически простым словарем для теории инвариантов.
Разумеется, нет никакой возможностп предугадать а рг!оН, какие из ебесконечпого числа» теорем, которые можно таким образом при желании получить, можно сформулировать иа геометрическом языке столь же просто и иаящно, как п классические реаультаты, и здесь остается еще некоторая область, в которой с успехом применяют свои силы много шсленные любители (геометрия треугольника, тетраэдра, алгебраичеси«х кривых и поверхностей маленьких степеней н т.
д.). Но с точки зрения математика профессионала, эта жила уже истощена, поскольку в ней нет больше проблем структуры, способных повлиять на другие разделы математики; и эта глава теории групп и инварпантов может считаться аакрьжой — до появления новых идей "). Таким образом, после появления «Эрлангенской программы» евклпдовы а неевклидовы геометрии с точки зрения чисто алгебраической сталя просто- напросто азыками, более или менее удобными для выражения реэультатон теории билинейных форм, успешно раавнзавшейся наравне с теорией ппварпантов аа). Все, что касается понятия ранга билинейной формы к свяав между эглин формамп и линейными преобразованиями, было окончательно выяснено работами ерробениуса (ХХУ11а).
Ему же принадлежит каноническое выражение для билинейной формы над свободныи Е-модулем (1 5, и'1, теорема 1) (ХХ «'11 Ь); однако кососимметрнческпе определители появляются впервые в начале века у Пфаффа в связи с приведением дпффереицкалькых форм к нормальному виду. Якоби, который в 1827 г. возвращается к этой *) Разумеется, это кекэбех ное падение геометрлп (евклидовой и проектнвной), для нас совершенно очевидное, долгое время ие замечалось современниками, п вплоть до 1900 г. ее продолжали считать одной из важных ветвей математики, о чем свпдетельствует, например, место, которое она занимает в Епгу)«1ора«((е, и такое же самое место она занимала до спх пор е университетском преподавании.
**) В частности, интерес к неезшп«дозой геометрии проистекает не от этого банального алгебраического аспекта, но из-за ее связей с дифференциальной геометрией и теорией функций комплексного переменного; именно поэтому элементарные понятия н определения неевклидовой геометрии вводятся в этом трактате только в тех главах, где рассматриваются зтв теории. 537 ИОТОРИЧПСКИИ ОЧКРК К РЛАВЕ ГХ проблеме (Х1Ха), уже иавестно, что кососимметрический определитель нечетного порядка равен нулю; Якоби образует такжа выражение для пфаффиана и показывает, что он является делителем кососимметричесього определителя четного порядка, но ие аамечает, что этот определитель является квадратом пфаффиана, что было установлено лишь Кэпи в 1849 г. (ХЧ111Ь). Понятие симметрической билинейной формы, ассоциированной с квадратичной формой, является самым элементарным случаем процесса «полярпаации», одного из основнмх рабочих пиструмонтов теории иивариантов.
Под именем «скалярного произведения» это попятив имело успех сначала среди популяризаторов «векторного исчисления», а с начала ХХв.— благодаря неожиданным обобщениям, к ноторым оио прявело в теории гильбертовых пространств (см. Исторический очерк к гл. Ч), Эта последиян теория вызвала также к жизни понятие сопряженного оператора (который до этого достаточно явно применялся лишь в теории линейных дифференциальных уравнений и в теязорном исчислении в вальсе ко- и коитрвариантных индексов, послушных дирижерской палочке метрического тензора); наконец, именно эта теория выпукло подчеркнула понятие эрмнтовой формы, введенное Э рмитом в 1853 г. в связи с его арифметическими исследованиями ((ХХ 11), стр.
237), но вплоть до 1925 г. остававшееся вне поля зрения основных направлений математики, когда комплексные гильбертовы пространства были применены к квантовым теориям. С другой стороны, все большее и большее аначение приобретает изучение ортогональной группы и группы подобий, явно выделенных и исследуемых с середины Х1Х в., ставших стержнем теории квадратичных форм, наравне с другими «класснческвми» группами (линейная группа, си»ашектическая группа и унитарная группа). Мы отметим здесь лишь существенную роль, которую играют зти группы в теории групп Ли и в дифференциальной геометрии, с одной стороны, и в арифметической теории квадратичных форм (см., например, (ХХХ1П) и (ХХХЧ), с другой *); атим обстоятельством, равно как и распространением концепции двойственности на самые различные вопросы, объясняется тот факт, что нет ни одной современной математической теория, в которой тем или иным образом не использовались бы билинейные формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
