Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Далее он вводит аналогичным образом «омбплпческую кривую*, мнимую бесконечно удаленную панику, общую для всех сфер ((Х11), стр. 370); и если он пе говорит особо об иаотропиых образующих сферы, то по крайней мере явно подчеркивает существование прямолинейных образующих, мнимых нли действительных, у всех квадрик (там же, стр.
371) **); последователи Понселе (особенно Пчюкер и Шаль) еще в большей степени. чеи он сам, используют эти понятия. в частности, прп изучении «фокальных» свойств поник и квадрик. В) Понятия точечного преобразования и композиции иреобрааоваиий были сформулированы в общем виде и систематически попользовались в процессе доказательств. К тому времени, кроме перемещений и проекций, были известны лишь отдельные частные преобразования: некоторые проелтивные ь) Зтп «принципы» обосновываются, естественно (как зто заметил уже Ко!ип), применением принципа продал,кеиия алгебраических тождеств, ибо есинтетпческпе» геометры рассматривают лишь такие свойства, которые переводятся на аналитический язык тождествами такого рода.
*") Впервые прямолинейные обрааую!цие квадрпп были, по-видимому, заыечены Реном (1669 г.), который обиарукпч, что однопопостиый гиперболоид вращения может быть получен вращением некоторой прямой вокрчг оси, не лежащей с ней в одной плоскости; но изучение их было развито лишь Моижем и его школой. 532 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ 1Х преобразования тапа х' = а/х, у' = у/х, применявшиеся Лагнром и Ньютоном, «аффинное преобрааование» х' = ах, у' = Ьу Клеро и Эйлера и, наконец, несколько частных квадратичных преобрааован~й у того же Ньютона, Маклорена и Брекенрнд»ка.
В своей «Описательной геометрии» Ыо»гж демонстрирует всю пользу, которую можно извлечь на плоских проекций в геометрии трех измерений. Одним из методом, систематически п даже сверх меры применявшимся Понселе в доказательствах, было сведение с помощью проекции свойств коника к свойствам окружнос»т«(этот метод уже употребляли при случае Дезарг и Паскаль); и для того чтобы проделать аналогичное сведение квадрпки к сфере, Понселе изобретает первый пример проектпвного преобрааованпл пространства — «гомологпю» ((Х11), стр. 357); наконец, пмеяно пм введены первые примеры бнрацнональных преобразований некоторой кривой на себя.
В 1827 г. Мебиус ((Х111а), стр. 217) (и независимо от лего в 1830 г. Шаль (ХЧ)»)) определяет нроективное преобразование самого общего вида; в это же время появляется инверсия (см. $10, упражнение 13) н другие типы квадратичных преобразований, изучение которых положило начало теории бпрацнональных преобрааованпн, получившей свое развитие во второй половине Х1Х в. Г) Понятие д«»йст»«нности появляется сразу с полной ясностью и сознательно связывается с теорией билинейных форм. Теория полюсов н поляр относительно коник, которая со времен Аполлония проделала некоторое раавнтпе лишь благодаря Декарту и Лагиру, обобщается на квадрпкн Монжем, который, так же как его ученики, аамечает воаможность с помощью этой теории известные теоремы переформулировать как новые результаты *).
И снова Понселе принадлежит здесь честь превращения этих отдельных замечаний в общий метод созданной и»» теории преобразований «посредством взаимных поляр», оказавшийся чрезвычайно эффективным. Немного позже, в основном у Жергоиа, Плюкера, Мебиуса и Шаля, общее поннтпе двойственности освобождаетсл от связи с квадратичными форма»щ, еще слишком блнзкой у Понселе. В частности, Мебиус, рассматривая различные варпантм двойственности в трехмерном пространстве (определенной билинейной формой), обнаруживает в 1833 г.
двойственность относительно знакопеременной формы (Х111Ь)»»), которая в Х1Х в. интенсивно изучалась как теория «лмнейных комплексов» (см. 1 10, упражнение 16) п развивалась в связи с «геометрией прямых».н «плюьеровых координат>, введенных около 1860 г, Кэлп, Грассманом и Плюкером. Д) Уже в самом начале раавития проективной геометрии интенсивное изучение классических геометрических свойств в их связи с проектпвным пространством быстро привело к разделению этих свойств на «метрическое» *) Наиболее известна теорема Брнапшона (1810 г.), нолучаюшаяся с помощью двоуштвенности иэ теоремы Паскаля.
««) В 1828 г. Джорджннн уже столкнулся с полярностью относительно знакопеременной формы в связи с одной проблемой статики (Мшп, Яос. На!. Мейена, т. ХХ (1828), стр. 243 — 254). 533 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Н ГЛАВЕ»Х и «кроективвые», н в этом, несомненно, беа всякого преувеличения можно видеть очень четкое для того времеви проявленые того, что в дальнейшем превратилось в современыое поыятие структуры. Однако Понселе, который первый обнаружил это различие и ввел эту терминологию, осознавал уже н связь между этими двумя типами свойств и, приступая в своем «Трактате» к проблемам, относящимся к углам, писал, что нх свойства «не являются, по-видимому, теми, которые мы навываем проективными..., но тем не менее столь првапо вытекают иг основных принципрв (Этага труда)..., что я не думаю, что какая-либо другая геометрическая теория могла бы привес>пи к этому одновременно болег непосредственно и более просто.
Рг е етом кет ничего удивипюльного, если учесть, что проективнь>е свойства фигур определенно являются наиболее общими ив свойств, которыми могут обладать вти фиеуры, а поэтому они должны содержать в себе в качестве простых следствий все остальные частные свойства или отноюен я в пространстве» ((Х11), стр. 248). Собственно говоря, после атой декларации несколько страяно видеть, как он исследует свойства углов чрезвычайно искусственным способом, связывая их с фокальнымн свойствами поник, вместе того чтобы прямо пспольаовать циклические точки; и в действвтельности лишь через 30 лет Лагерр (еще будучи учеником Полктехнической школы) указал выра- женив угла между прямымн с помощью двойного отношения этих прямых н изотропных прямых, исходящих нз этой точки (см.
$10, упражнение 5) ((ХХ1), т. 1, стр. 13). Наконец, Кэлн совсем ясно (Хч'111о) формулирует фундаментальную мысль о том, что «метрические> свойства плоской фигуры являются «проентпзными» свойствами этой фвгуры, дополненной циклическими точками, — решающий шаг на пути к «Эрлапгенской программе», Е) Гиперболическая неевклидова геометрия, возникшая около 1830 г., оставалась первое время несколько в стороне от того движения, основные линии которого мы адесь прослеживаем.
Будучи результатом сомнений чисто логического порядка, касающихся оснований классической геометрии, эта новая геометрия была пало>кена ее создателями о) в той же «синтетической» и аксноматнческой форме, что и геометрия Евклида, и без всякой связи с проектизной геометрией (введение которой, согласно классической модели, кааалось а рг1оп' исключенным, так как з этой геометрии нет единственной параллельной прямой); и несомненно, что именно поэтому она долгое время ые привлекала звнманпя французской, английской и немецкой школ проектнвной геометрии. Поэтому, когда Кэпи в цптнроваяяом выше в) Известно, что Гаусс, начиная с 1800 г., был убежден в невозмояы ностп доказательства у постулата Евклида н в логической воаможностн раавивать геометрию, в которой атот постулат неверен. Однако он не опубликовал эты реаультаты,и онн были неаависимо найдены Лобачевским в 1829 г.
я Бойагг в 1832 г. Детали можно ыайтн в кыиге: Р. Е в й е 1 — Р. Я Ь йс9 е 1, Р1е ТЬеог1е бег рагаПе!Игйеп чоп Ек)«114 Ь[з аи1 Оаояэ, Ье(рх)Е (Тепйпег), 1895 н Пг1«плбеп хит СезсЬ(сЬ»е бег в(сЬ«еи)«Пй)зсйев Оеоше«г(ев, т. 2, Ье(рх)й (ТеиЬвег), 1898 1913. »/З 34 Н, Вувбэкя 534 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ 1Х основополагающем мемуаре (ХУНЫ) предлагает заменить циклические точки (рассматрнваемые как «касательно вырол«денные» коники) некоторой произвольной кониной (которую оп называет «абсолютом»), ои и не думает о том, чтобы связать зту идею с геометрией Лобачевского — Бойаи, хотя и укааывает, как она приводит к новым выражениям для «расстояния» между двумя точками, и отмечает ее свявь со сферической геометрией.
Ситуация изменилась к 1870 г., когда благодаря трудам Лобачевского, опубликованию работ Гаусса и вступительной лекцип Римана неевклидовы геометрии вышли на первый план в математике того времени. Следуя по пути, очерченному Риманом, Бельтрами, незнакомый с работой Кзлп, вновь находит в 1868 г. полученные Кэли выражения для расстояния, но в совершенно другом контексте — при рассмотрении внутренней части круга как образа некоторой поверхности постоянной кривизны, геодезические линии которой являются прямымн (ХХ1У); двумя годами позже Клейн (независимо от Бельтрамп) обье1щнил зги две различные точки зрения п дополнил нх открытием зллиптпческого неевклидова нростраиства (ХХУа)»).
Ж) Вторая половина рассматриваемого здесь периода стала временем . критических размышлений, в ходе которых сторонники «синтетической» геометрии, не удовлетворившись изгнанием координат пз всех своих доказательств,настаивали на том, чтобы вообще обходиться без действительных чисел, в том числе и в геометрических аксиомах. Главным представителем атой школы был фон Штаудт, которому, по существу, удалось справиться с зткм трудным делом (ХХ 111) и выавать общее восхищение не только в свое время, но и в иа юле ХХ в.; и хотя в настоящее время мы не считаем подобные идеи заслуживающими внимания, поснольку возможности их плодотворного применении оказались слипп«ом незначительными, но следует тем не менее отметить, что усилия фок Штаудта и его последователей содействовалн уяснению роли действительных и комплексных «скалнров» в классической геометрии и созданию с пх помощью современной концепции геометрии над произвольным основным телом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
