Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Если оставить в стороне открытые вавилонянами формулы решения квадратного уравнения ((1), стр. 183 †1), то зарождение главных понятий теории квадратичных форм нужно искать в геометрии. Прежде всего появляются квадраты расстояний (в плоскости и в трехмерном пространстве), и соответствующее понятие «ортогональности» вводится с помощью прямого угла, определенного Евклидом как половина развернутого угла (Начала, Книга 1, определение !О); при атом понятия расстояния и угла *) Ем. (11), а также Е.
Коссег, ГПе Епсч>!сйе1пся дег зуп«Ьеь!зсЬеп 6еоше!г!е, Ье!рз!8 (Тепйпег), !90! (1аЬгезЬег. бег Пепьзсйеп МаСЬ. «еге!и., т. «', 1. НеН) и Епзуй1орааб!е >(ег Ма«Ь. %!зз., ! е«)., т. 111. 525 истОРичкский ОчеРк к главк 1х связываются теоремой Пифагора, являющейся основой евклидовой геометрии «). Сама идея угла возникла, видимо, очень рано в греческой математике (и, несомненно, была ааимствована греками у вавилонян, привыкших к ее использованию в своем богатом астрономическом опыте). Известно, что н классическую эпоху были определены лишь углы, меньшие двух. прямых (впрочем, евклпдово «определение» столь же расплывчато и практически неприменимо, как и определения, даваемые для прямой и плоскости); понятие ориентации выявлено не было, хотя Евклид и использует (беа каких бы то нн было аксиом и определений) тот факт, что прямая разделяет плоскость на две области, которые он при необходимости ааботливо различает **).
Следовательно, к атому времени идея группы вращений в плоскости появляется лишь в очень несовершенном вяде — с помощью сложения (введенного, снова без объяснения, Евклидом) неориентированньгх углов между полупрямымн, определенного в принципе лишь в случае, когда сумма не превосходит двух прямых углов ***).
Что касается тригонометрия, *) Большинство известных цивилизаций (Египет, Вавило»шя, Индия, Питай), по-видимому, неаависимо пришли к утверждениям, покрывающим по крайней мере некоторые частные случаи «теоремы Пифагора>, а индусы имели даже идею докааательства этой теоремы, совершенно отличную от тех, что мы находим у Евклида (который дает дна ее доказательства, одио— с построением вспомогательных фигур и другое, использующее теорию пропорций) (см.
(11), т. 1У, стр. 135 — 144). »«) Понятие ориентированного угла с различными его зариантамн (угол между прямыми, угол между полупрямыми) появилось лишь гораздо поаже. Эйлер ((У111а), стр. 217 — 239 н 305 — 307) вводит в аналитической геометрии полярные координаты я современную концепцию угла (нзмеряемого раднанамн), принимающего произвольные (положительные) значения. Л. Карно (Сеошбгг(е бе РоюМоп, Раг(з, 1803) положил начало тенденции, в течение всего Х1Х в.
противопоставлявшей «синтетическую» и аналитическую геометрии; пытаясь развить первую как можно более независимо, он, для того чтобы избежать «случаев расположения фигур» античной геометрия, вынужден систематически вводить ориентированные величины, углы и длняы; к сожалению, его работа аначительно усложнена стремлением не испольаовать отрицательные числа (которые он считал протнворечнвыми!), а заменять их малоудобиой системой «соответствия аяаков» между различнымк фягурами.
Только Мебиус (Х111 с) вводит концепцию ориентированного угла в рассуждении синтетической геометрии; однако Мебиус, как и его последователи вплоть до самого недавнего времени, может вводить ориентацию лишь прямым обращением к пространственной интуиции (правило «человечка Ампера»); лишь с раавитием л-мерной геометрии и алгебраической топологии появилось, наконец, строгое определение «ориентированного угла». «»*) В то же время мы находиы у Евклида по меньшей мере два отрывка, где он говорит об углах, «сумма» которых превосходит два прямых, именно— при рассмотрении неравенств, которым должяы удовлетворять плоские 526 ИСТОРИЧИСКИЙ ОЧВРК К ГЛАВЕ 1Х то она не пользуется вниманием геометров и оставляетсн ими аемлемерам н астрояомам; именяо эти последние (Аристарх, Гиппарх и особенно Птолемей (Ч)) устаяавливают фуядаментальиые соотношения между сторонами н углами прямоугольного треугольника (плоского и сферического) и составляют первые таблицы (нмеютсн в виду таблицы, дающие хорду дуги, вырезаемой углом б ( я яа окружности радиуса г, друг»и«и словами, число б 2г з(п —; введением синуса, более удобного в обращении, мы обязаны пндий- 2 ' эким математикам средних веков); при составлении этих таблиц неизвестная в то время формула сложения дуг заменяется вквивалентным использованием теоремы Птолемея (восходящей, может быть, к Гияпарху) о четырехугольнике, вписанном в круг (см, Векторные топологическне пространства, гл.
Ч, $1, упражнение 5). Следует также отметить, что Евклид п Герон указалн предложения, эквивалентные формуле а»=Ьз+се — 26« соз А для сторон и углов произвольного плоского треугольника; однако вряд лп стоит видеть здесь первое появление понятия билинейной формы, ассоцнйрованной с метрической формой — ведь отсутствуег еще идея векторного исчисления, возникшего лишь в Х1Х в, Перемещении (и двги1ения — различие между этими двумя понятиями не было ясно не только в античные времена, но н гораздо позднее) Евклиду были лавестны; однако по непонятным нам причинам он имел явно предубеждение против ях использования (например, в теоремах о «случаях равеяства треугольников», где создается впечатление, что он использует понятие перемещения исключительно потому, что не может сформулировать подходящую аксиому ((П1 Ь)з), т.
1, стр. 225 — 227 и 249)); тем не менее имепно понятие перемещении (вращении вокруг оси) используется пм для определения конусов вращения и сфер (Начала, Книга 1Х, определения 14 н 18), так же, как это делал Архимед дли определении квадрик вращения. Но общая идея преобразования в прнмеяении ко всякому пространству . в большой степени была чуждой длн математической мысли вплоть до конца ХЧП1 в. '); до ХЧП1 в. мы не находим следов понятия композиции движений и тем более композиции перемещений. Это не оаначает, разумеется, что углы трехгранного угла (Начала, Книга Х1, предложения 20 и 21) (не говоря о «рассужденнн» о «мере» углов, которое, несомненно, является вставкой (см.
Исторический очерк к гл. ЧП1, Книга П1); таким образом, в этих примерах, видимо, кптунцпя влечет Евклида гораздо дальше, чем позволяют его собственные определения. Его последователи были еще менее скрупулезны, и, например, Прокл (Ч в. до н. з.), не колеблясь, формулирует общую «теорему» о сумме углов выпуклого многоугольника ((П1 Ь(з), т. 1, стр. 322). *) Как примеры этого понятия можно привести разве что «проекции» картографов н чертежников; стереографическая проекция (4 10, упражнение 14) известна Птолемею (но лишь в ХЧ1П в. стало нэвестно, что она сохраняет углы), а центральная проекция играет первостепенную роль в ра- 527 ИСТОРИЧЕС1«ИЙ ОЧЕРК К !'ЛАПЕ !Х греки не ощущали достаточно хорошо «регулярности» и «симметрия» геометрических фигур — свойства, которые мы связываем теперь с понятяем группы перемещений, их теория правильных многоугольников и в еще большей степени теория правильных многогранников — одна из наиболее замечательных глав всей греческой математики — здесь же свидетельствуют об обратном *).
Наконец, последним существенным вкладом греческой математики в область, рассматриваемую нами здесь, является теория копны (что касается квадрнк, то греки знали лишь некоторые квадрики вращеп»»я н, за исключением сферы, не продвинули их изучение достаточно далеко).
Интересно отметить здесь, что хотя у греков никогда ые было основной идеи аналитической геометрии (главным образом, из-за отсутствия подходящей алгебры), но мимоходом, при научении «фигур» частного вида, оня свободно использовали «координаты» отыосптельно двух (и даже болыпе чем двух) осей в плоскости (этп оси близко свпаывались с фигурой, и это — главное, что отличает их метод от метода Ферма и Декарта, у которых осп фиксированы независимо от рассматриваемой фигуры). В частности, первые примеры коник (отличных от окружности), введенные в связи с задачей удвоения куба, представляли собой кривые, задаваемые уравнениями Р« = аз, у .=. !»зз, зу = « (Менехм, ученик Евдокса, середина 1У в.) ««); эти уравнения конпк (отнесенные обычно к двум наклонным осям, образоваяным некоторым диаметром и касательной, проведенной в одной из точек его пересечения с кривой) чаще всего использовались при изучении задач, относящихся к самим этим кривым (тогда как «фокальыые» свойства не играют большой роли, вопреки тому, как это можно подумать, судя по школьной традиции, которая восходит лишь к Х 1Х в.).
Иа всей втой обширной теории мы остановимся здесь лишь на понятии сопряженных диаметров (известыом уже Архимеду) и яа свойстве, которое и в настоящее время служит для определения поляры ботах Дезарга (У!); ио при этом речь идет о соответствии между всем простраыством(илиповерхностью) пплоскостью. Одноиз свойств инверсии, свойство, которое мы теперь вмражаем словами, что инверсия переводит окружность в окружность нли в прямую (см.
1 10, упражиеыие 13), известно, по существу, Внета н используется пм в задачах на построение окружяостеи; но ни он, ни Ферма, распространивший его построения на сферы, не имели в виду введения инверсии как некоторого преобраэовання в«о«кости илн пространства. *) См. вьппе, А. Я р е ! з е г, Т)»еог!ее)ег Огпрреп топ еж!1!сбег Оге)пппб, Вазе1 (В!г)«)»йпэег, 4 еб!Е, 1956), где можно также найти интересные замечания о свлзи между теорией групп перемещений и различнымн типами орнаментов, созданных античной я средневековой цивилизацпямп. *") По-видимому, идея рассмотрения этих кривых как сечений плоскостью конуса с круговым основанием (принадлежащая также Менехму) возяикла уже после их определения с помощью укаааиных уравнений (см.
(1У), стр. ХУ11 — ХХХ). 528 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ 1Х точки, давиом Аполловием (1>) для случая, когда точка лежит вве ковпки (и, следовательно, ее полярой являетсв прямая, соединяющая точки касавпя двух касательных, проведеивых иа данной точки); с вашей точки зрения, зги памятия представляют собой первые два примера «ортогоиальности> относительно квадратичвой формы, отличной от метрической, во, само собой разумеется, их связь с классическим попятном перпеццикуляра в то время никак ве могла быть осозваиа. До Декарта и Ферма нельзя указать каких-либо вовых достшкевий в этой области; однако уже с самого начала аналитической геометрии алгебраическая теория квадратичных форм вачивает сбрасывать геометрическую оболочку; Ферма уже авает, что уравнение второй стедеви изображает в плоскости некоторую ковику ((ч11а), стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
