Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 111
Текст из файла (страница 111)
гх. г 1О В самом деле, группа Я"/Н является множеством прямых (с исключительной точкой О) алгебры А/Ф, рассматриваемой как векторная плоскость над полем А, так что отображение г ииъективно. С другой стороны, для того чтобы элемент а + Ьш (а б А, Ь Р А) алгебры А (Ф) был прямым подобием, необходимо и достаточно, чтобы он был обратимым, то есть чтобы выполнялось условие Н (а + Ьи) = аг — ЬЬг „-ь О, так что еще должно быть (Ь/а)г ~ Ь; отсюда следует сюръективность в утверждениях а) и б).
Наконец, произведение подобий 1 + г (ф) ш и 1 + г (ф') ш есть подобие 1 + Ьг (ф) г (ф') + (г (ф) + г (ф')) ш, что доказывает утверждение в). Пгкдложкник 5. Будем записывать группу О+ аддитивно. Для любой пары элементов 8, 0' ~ О+ имеем с (8) — Ьг (О) =- 1, (3) с(0+О')=с(8) с(0')+Ьг(0)г(0'), (4) г(0+О') = г(0) с(0')+ с(0) г(О'). (5) В самом деле, равенство (3) показывает, что Х(с (О) + г(0) ш) = = 1. Для доказательства равенств (4) и (5) достаточно вычислить в алгебре А (Ф) проиаводение вращений с (О) + г (0) ш и с (О') + + г (О') ш.
Пгкдложкник 6. Пусть с/ — игоморфигм группы 8+/Н на О~, определенный в предложении 3. Для любого элемента ф Е Я+/Н такого, что С = С (ф) конечно, выполняются равенства г (й(ф)) = 2г/(1 — Ь/г), с (с((ф)) = (1+ Ь/г)/(1 — Ь/г). (6) В самом деле, элемент ф есть класс по той Н подобия 1 + гш и вращение И (ф) равно, следовательно, (1 + гш)г//Ч (1 + гш) = = (1 + Ь/г + 2Сш) /(1 — Ьгг) (предложение 3), что и доказывает (6). Слкдствик. Для любого элемента 0 6 О+ такого, что й (О) конечно, выполняются равенства г(20) = 2 ЬО (О)/(1 — Ьг (О)'), с (20) = (1+ Ьг (8)г)/(1 — й (9)'). (7) Для любого элемента ф Е Я+ /Н такого, что г (ф) конечно углы и 1 + ЬС (ср)э чь О, выполняется равенство с(2й= 21(й~((+ бс (о))') (8) В самом деле, это легко следует из предложения 6 н следствия к предложению 3.
3 а м е ч а н и е. Формулы (6) останутся справедливыми п при С = со, если заменить рациональные функции, стоящие в правых частях, нх каноническими продолжениями иа проективпое поле А (гл. 11, приложение 1П, в' 5); в самом деле, если с = со, то ср есть класс элемента ми выполняются равенства о Ор) = — 1, г (о(ср)) =- О, е («7( ~р)) = — 1. Зги же значения принимают при с = со каяопические продолжения правых частей равенств (6). То же самое верно и для равенств (7), если с (О) = со, и для равенства (8), если с (<р) =-со оли 1+ бс Ор)э = О.
Точно так же формула (2) остается в силе, когда один иэ элемевтов с(ср) и с Ор'), например с Ор), бесконечен, если правую часть рассматривать как рациональную функцию только от с Ор): в самом деле, произведение подобий 1 + с Ор')и и ог равно бс Ор') + ы, в то время как каноническое продолжение праной части равенства (2) принимает значение 1/бс ф').
Наконец,' если с(<р) и с(сг') конечны и 1 + бс(ср) с Ор') = О, то с (ср) + с (ср') М О (иначе С(Ч)э равнялось бы 1Я, что невозможно (предложение 4)); следовательно, можно условиться, что эначевие правой части равенства (2) в этом случае равно оо, и тогда опо совпадает со эяачевиесс левой настя. Если отношения с(р) и с(ср') оба бесконечны, то правая часть равенства (2) ие определена. З. Кглас В этом и следующем и' мы предполагаем, что А — упорядоченное поле и, следовательно, его характеристика равна нулю. Напомним (Исправления к гл. «г(), что отношение «существует Л ~ 0 такое, что у = Лхэ, определенное на векторном пространстве Р над полем А,является отношением эквивалентностимежду злементамн х, у ŠР— (О), что классы эквивалентности для этого отношения называются открытыми полупрямыми с началом 0 н что объединение открытой полупрямой и (О) называется замкнутой полупрямой (нли просто полупрямой) с началом О.
Если аамкнутая полупрямая ст содержится в прямой Р, то Р является объединением пол упрямых сх и — сх и не содержит других замкнутых полупрямых. Мы будем яазывать полупрямую изотропной, если изотропна содержащая ее прямая. Напомним еще (там же), что ориентация векторного пространства р конечной размерности п над полем — это задание 504 ПОЛУТОРАЛИНЕИные и квАДРАТИЧные ФОРМЫ ГЛ 1х, 1 1О я одной нз двух полупрямых из пространства /~ Г; векторы, принадлежащие этой полупрямой, называются пологкительными. Векторное пространство конечной размерности, наделенное ориентацией, называется ориентированным. Гомотетяи плоскости Е, соответствующие строго пололсительным элементам поля А, образуют, очевидно, в группе Н подгруппу индекса 2; обозначим ее Н+. Канонический гомоморфизм 1: О+ -~. 3~ 7Н (см. предложение 2) является композицией канонических гомоморфизмов группы 8+1Н+ на Я+!Н и группы О+ в Ю+/Н+.
Так как О+ П Не = (1), то последний гомоморфизм инъективен. ПРедлол~ение 7. Пусть А — максимальное упорядоченное поле и Ф вЂ” пололсительная форма (з 7). Тогда канонические гомоморфизмы группы О+ в 8~~Н+ и группы О+ l(1, — 1) в $~(Н биективны и группа Я~ изоморфна группе О+ х Н+. Мы уже видели, что эти гомоморфизмы инъективны, и поэтому достаточно доказать, что первый из них сзоръективен. Пусть (е„ег) — ортонормальный базис плоскости Е, а ю — прямое подобие такое, что и> (е,) = ег (следствие 1 предложения 1, и' 1); тогда из = — 1 (предложение 1б)), Если и = а (- Ьи (а Е А, Ь Е А) — произвольное прямое подобие, то Х (и) =- а' -',- Ь' ) 0 и существует единственное вращение, содержащееся в той же полупрямой плоскости А (Ф), что и подобие и, именно (а' + Ьг)"~, что и доказывает наше утверждение. Следствие. Для любых двух полупрямых В и Р' е началом 0 существует единственное вращение и такое, что Р (Р) = Р'.
В самом деле, из наших предположений следует, что в плоскости Е нет изотропных прямых, и утверждение следствия сразу получается из следствия 1 к предложению 1 (и' 1). Теперь мы будем предполагать, что А — максимальное упорядоченное поле и что форма Ф положительна. Определенное на множестве пар (Р „.Рг) прямых (соответственно полупрямых с началом О) в плоскости Е отношение «существует прямое подобие (соответственно вращение) и такое, что и (Р1) = Р; и и (Рг) = Р,» является отношением эквивалентности между парами (Ръ Рг) и (Р;, Р;). Класс эквивалентности, содержащий пару (Р,, Рг), 505 тглы называется,по определению, углом между прямыми (соответственно между полупрямыми) .01 и Р (вэятыми в данном порядке); этот угол обозначается (.Оп Рг).
Пгвдложкник 8. Пусть А — максимальное упорядоченное поле и форма Ф положительна. Пусть, далее, Р„Рг, Р;, Р; — четыре прямые (соответственно полупрямые с началом О) в плоскости Е. Для того чтобы углы (Ви Рг) и (О;, Р;) были равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны углы (О„Р;) и (Ог, Р;). Докажем необходимость этого условия. Пусть и — прямое подобие (соответственно вращение) такое, что и (Р,) = Р; и и (Рг) = Р;. По следствию 3 предложения 1 (соответственно по следствию предложения 7) существует прямое подобие (соответственно вращение) э такое, что э (Р,) = Рг.
Тан нак группа Я' (соответственно О+) коммутативна, то Х1, = и (э (Р~)) = = э (и (Р,)) =- э (Ь;), то есть (Р„Р;) = (Рг, В',). Поменяв местами Рг и В;, иэ необходимости этого условия можно вывести достаточность. Иэ предложения 8 следует, что с каждым углом (Оы Рг) между прямыми (соответственно полупрямь|ми с началом О) в плоскости канонически ассоциируется однозначно определяющийся элемент группы Я !Н (соответственно О+), именно класс по то(( Н прямых подобий э (соответственно вращение о) таких, что и (01) = Рг для любого представителя (Р„Рг) угла (Рн Рг).
Тем самым определена каноническая биекция й (соответственно й') множества Яо углов между прямыми (соответстненно множества Я углов между полупрямыми) на группу Я+/Н (соответственно О"); в частности, элемент Ь (~у) для любого у Е Я называется вращением на угол у. С помощью биенций й г и й' ' перенесем на множества Яэ и И структуры номмутативных групп Ю+/Н и Оь и полученные таким образом группы Яо и Я будем записывать аддитивно. Обозначив через Р, Р', Р" прямые (соответственно полупрямыэ с началом О), будем, по определению, иметь Р Р~, Г' „ (Р, Р )=(.О, Р')+(.0', Р ) (теорема Шаля).
(9г 506 полутОРАлинвйныв и квядРАтичныв ФОРмы гл. 1х, $ ГО Отсюда следуют равенства ,Л (Р, Р) =О, (.Р, Р')= — (Р', Р). (10) 3 а и е ч а н и я. 1) Множество Ь прямых (соответственно полу- прямых с началом О) плоскости К является однородным пространством абелевой группы Я»/Н (соответственно О+) таким, что единственный оператор, оставляющий инвариантными все элементы Ь,— это нейтральный элемент. Следовательно, к пространству Ь можно применять формулы приложения 11, и' 1, гл. 11; таким образом, предложение 8 есть частный случай «правила параллелограмма», а формулы (9) н (10) — частные случаи формул (2) (там же). 2) Для определения группы углов между прямыми вместо группы О'+/Н можно использовать группу О+/( — 1, 1), канонически ей изоморфную (предложение 7).
Тогда канонический гомоморфизм группы О» на факторгруппу О+/( — 1, 1) соответствует некоторому гомоморфнзму группы Я на Яг, именно гомоморфизму, который углу между каждыми полупрямыми Л„Л' ставит в соответствие угол между прямыми Р, Р', содержащими соответственно с» и с»'. 'Если А — поле действительных чисел, то группа Я является накрытием порядка 2 группы Яг., В силу предложения 8 все углы между прямыми (соответствен- Л,„ ~о полупрямыми) вида (Р', Р"), где Р' и Р" ортогональны (соответствеино вида (Р,— Р)), равны: в самом деле, это следует из замечания 2 и' 1 (соответственно это очевидно).
Этот угол между прямыми (соответственно полупрямымн) называется прямым (соответственно развернутым) углом и является в группе Я, (соответственно в группе Я) элементом порядка 2. Пгвдложвннв 9. Пусть А — максимальное упорядоченное поле и Ф вЂ” положительная форма. Для любого целого и ) 1 число элементов 0 группы Яо углов между прямыми (соответственно группы Я углов между полупряммми) таких, что п0 = О, равно и. Группы Яр, Б+ /Н, Я и О+ изоморфны (предложение 3), н поэтому достаточно доказать утверждение только для группы О+, то есть доказать, что существует ровно и вращений о таких, что о" = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
