Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 110
Текст из файла (страница 110)
б) Пусть (ем ез) — ортогональный базис плоскости Е. Положим а; = Ф (е;, е) (1 = т, 2) и й = — аз/се,. Тогда матрица любого элемента алгебры А (Ф) относительно этого базиса имеет вид ( ), гдеагА, ЬгА. 497 УГЛЫ в) 1Елоскость Е является моноеенным свободным А (Ф)-модулем и порождается любым неизотропным вектором. В самом деле, введем на плоскости Е вспомогательную знаконеременную билинейную форму В Ф 0; форма В невырождена.
Следовательно, существует эндоморфизм и: плоскости Е такой, что Ф (х, у) = В (и1 (х), у) для любых х, у ~ Е. Тогда для любого обратимого эндоморфизма и плоскости Е имеем Ф(и(х), и(у)) =В(юи(х), и(у)) =-В(ии 'ии(х), и(у)) = .=(ЬеЬи)В(и 'ии(х), у). Следовательно, для того чтобы эндоморфизм и был прямым подобием, необходимо и достаточно, чтобы для любых х, у ~ Е выполнялось равенство (беЬ и) В(и 'юи(х), у) =-(йеЬ и) Ф(а, у) =(беЬ и) В(и (х), у). Но без и ~= О, а форма В невырождена, то есть это равенство равносильно и 'юи ==- ю или ию =- иле. Выберем в качестве формы В знакопеременную форму, имеющую относительно базиса Г Оу'~ (е„е,)матругцуЯ=( ); обозначив через Л и И' матрицы формы Ф и эндоморфизма ю относительно этого базиса и пользуясь формулой (47) $ у, и' тО, перепишем равенство Ф (х, у) =- В (и1 (х), у) н виде Л = И' Я; в янном виде это означает, что И'= ~ О аа' ~ — а~ О ) Если матрицу зндоморфнзма и относительно базиса (е„ез) обозначить через ( „), то равенство и|с =: — ии будет равносильно системе соотноуаений Ьаз ии — са„ааз = Йсм аау — — е(ан то есть а = а, с = ЬЬ; таким образом, матрицы прямых подобий являются обратимыми матрицами вида ) (а, Ь Е А).
1'а ЬЬх ~ьи Но эндоморфизмы плоскости Е, имеющие матрицы вида (.) ) (а, Ь г А), образуют в Хл (Е) векторное подпространство а ЬЬ' размерности 2, порожденное зндоморфизмами $ и ю; так как эндоморфизм иР является гомотетией, соответствующей элементу — а,аа, полученное подпространство составляет в ьл(Е) подалгебру А (Ф), порожденную прямыми подобиями.
Прямые подобия являются обратимыми элементами подалгебры А (Ф), то есть 32 Н Бурбаки 498 полгтоэялннкйнык и квядгятнчныв догмы гл. гх, 1 1е элементами, матрицы которых удовлетворяют условию аз — 6 Ьз = = О. Очевидно, алгебра А (Ф) коммутатнвна. Применим к этой алгебре результаты гл, 11, $7, и' 7; если элемент Ь не является квадратом в поле А, то есть все отличные от нуля векторы плоскости Е неизотропны, то А (Ф) будет полем; если же, напротив, Ь является квадратом в поле А, то есть плоскость Е содерязит ненулевые изотропные векторы, то А (Ф) будет прямой композицией двух полей, нзоморфных А. Это доказывает утверждения а) и б).
Наконец, всякий неизотропный вектор плоскости Е можно взять в качестве первого вектора е1 ортогонального базиса (е,, ез) (Ь б, и' 1); следовательно, его образами и (е,) для всякого и ~ А (Ф) будут векторы вида ае, + 6е„а поскольку всякая ~ а ьь ~ матрица вида ~ Ь ) является матрицей .некоторого элемента (,Ьа) и Е А (Ф), то среди образов и (е,) вектора е, будут все векторы плоскости Е.
Иными словами, плоскость Е является моногенным А(Ф)-модулем, порожденным любым неизотропным вектором. Более того, моногенный А(Ф)-модуль Е свободен: если и (е,) = = ае, + Ьез = О, то а = Ь = О, то есть и = О. Утверждение в) доказано. 3 а м е ч а н и я. 1) Пусть э — подобие, имеющее относитель- ГО Ьх по базиса (е„ез) матрицу ( ); подобие и, рассмотренное в доказательстве предложения 1, равно — и1э; коаффициент прямого подобия и = а + Ьэ (а, Ь к А) равен определителю его матрицы ( ), то есть, в силу равенства э = Ь, а — 66 Гв ЬЫ 3= 3 з = (а+ Ьэ) (а — Ьэ) = ий, где й — элемент алгебры А (Ф), сопряженный подобию и (гл. П, $7, и' 7); другими словами, коэффициент прямого подобия и равен его норме Л' (и) в алгебре А (Ф) (там же). В частности, прямое подобие и тогда и только тогда будет вращением, когда Х (и) = 1, и гомотетией, когда и г Ав.
2) Из равенства (а+ Ьэ)з = аз+ 66'+ 2аьэ следует, что прямые подобия и = а + Ьэ (а, Ь Е А, 6 ~ О), квадрат которых является гомотетией, сами являются гомотетиями Ьс, кратными подобию э. Такое прямое подобие представляет собой автоморфизм векторного пространства Е, переводящий каждый векгиор в ему ортсгвнальный.
В самом деле, матрица такого автоморфизма гглы 499 Гв вд должна иметь вид( ) (с, д ~ А), а условие, что вектор Хв1+ + рвз ортогонален к своему трансформированному вектору, можно записать в виде Хр(паз + ох1) = О. 3) Легко видеть, что для любых х, у ЕЕ и и Е А (Ф) справедливо равенство Ф (и (х), у) = Ф (х, й (у)). Таким обрааом, эндоморфизм, сопряженный прямому подобию й (з 1, и' 8), является прямымподобием и, сопряженным с и в алгебре А (Ф) (гл. 11, Я 7, и' 7). 4) Так как всякое обратное подобие пространства Е есть произведение некоторого прямого подобия и симметрии относительно надпространства Ав,, то матрица обратного подобия отиоГа — 66х сительно базиса (в„в,) имеет вид ( Далее мы будем применять обозначения: Я вЂ” группа подобий плоскости Е, Я+ — группа прямых подобий, Н вЂ” группа ненулевых гомотетий, О+ — группа вращений плоскости Е.
Напомним, что Н с: Я+ (з 6, в' 5). Слвдствик 1. Группа Я+ прямых подобий коммутативна Для любых нвивотрвпных векторов х, у плоскости Е существует единственное прямое подобие и такое, что у = и (х). Первое утверждение следует из коммутативности алгебры А (Ф). Но Š— моногенный свободный А (Ф)-модуль, порожденный элементом х (соответственно у), так что существует единственный элемент и Е А (Ф) (соответственно и' Е А (Ф)) такой, чтоу = и (х) (соответственно х == и' (у)); отсюда х = и (и' (х)), то есть произведение ии' — тождественное отображение; это означает„ что отображение и обратимо, то есть является прямым подобием. Слвдствив 2.
Группа вращений О+ коммутативна. Длз любых векторов х, у плоскости Е, удовлетворяющих условию Ф (х, х) = = Ф (у, у) Ф О, существует единственное вращение и такое, что у = и(х). Первое утверждение верно в силу следствия 1. По этому жо следствию существует единственное прямое подобие и такое, что у = и (х); но Ф (и (х), и (х)) = Ф (х, х), так что коэффициент подобия и равен 1, то есть и — вращение. Слвдствив 3. Группа Я+!Н коммутативна.
Она действует на множестве нвивотропных прямых плоскости Е. Для любых нвиво- 32"' 500 полгтогллинвиныв и кэлдкатичнык Формы Гл. гх, 1 10 тронных прямых Х) и Р' плоскости Е существует единственный элемент ф группы о~/Н такой, что О' = ф (1)). Эти утверждения вытекают из следствия 1 и из того, что всякая прямая в плоскости Е инвариантна относительно группы Н.
Повдложвнив 2. Ядром канонического гомоморфизма группы О+ в Е+/Н является группа (1, — 1). В самом деле, 1 и — 1 являются единственными элементами пересечения Н () О+. Пэвдложвнив 3. Гомоморфизм и -ь- и!а = ит/Х (и) группы о'+ в себя имеет ядро Н и посредством факторизации определяет изоморфизм факторгруппы от/Н на О+. В самом деле, равенство и/и =- 1 равносильно и =- и, то есть и ч А* =.= Н; следовательно, подгруппа Н является ядром отображения и — ь- и!и. Так как /т' (и/й) =- 1, то и!и — вращение (замечание 1). Остается доказать, что всякий элемент о ~ От имеет вид иlи (и ч Е+). Коли элемент 1 + о обратим, то в качестве и можно ваять элемент 1 + т 1 + э =-- о (1 + а), так как Л' (о) = оо = 1.
Если же это неверно, то Л" (1 -'; — о) = (1 + о) у: Х (1+ э) =-О, то есть, положив о =- а+ Ью (аЕА, Ь чА, зсе =-- Ь ч А), будем иметь равенство 2 (1 + а) = О, откуда а =-- — 1; ио тогда из равенств а = — 1 и /т' (о) = а' — ЬЬг = 1 следует, что Ь = О, то есть о = — 1; а в этом случае, так как ю = — ю, можно взять и = ю. Кслв А (Ф) — поле, то предложеляе 3 являетсл частяым случаем теоремы Гильберта (тл.
Гт', 1 11, и' 5, теорема 3). Слкдствик. Пусть 0 О+ — ~ оч/Н и ой оч/Н вЂ” +- От — гомоморфизмы, построенные в предложениях 2 и 3; если композиции в абелевых группах О+ и от/Н записываются аддитивно, то а (1 (0)) = 20 для 0 Р О+ и 1 (с/ (ф)) = 2ф для ф ~ о" /Н, В самом деле, для любого вращения о имеем о = о ', откуда а (1 (о)) = о/о =- ов. С другой стороны, если ф ~ о'ь/Н, то ф является классом по гаой Н некоторого подобия и, и элемент й (ф) =- = и/и = иг/Л (и) попадает в тот же смежный класс гпод Н, что и алемент и', отсюда следует вторая формула.
501 гглы М. П.зоогсая гггригогго.петрил В этом и мы выберем некоторый образующий элемент го алгебры А (Ф), удовлетворяющий условию и4 б А. Такой образующий определяется с точностью до некоторой гомотетии (и' 1, вамечание 2), так что элемент иа Е А, обозначенный ниже через Ь, определен по модулю мультипликативной ' группы (Аэ)з квадратов ненулевых элементов полн А.
3 а м е ч э к и е. В случае, когда класс яо шоб (А*)з, о котором идет речь, содержит — 1, элемент гэ ебмчво выбирают таким образом, чтобы ьа =. — 1; это соотношение определяет иг с точностью де знака. Если;ие этот класс ие содержит — 1, во содержит 1, то элемент иг обычно выбирают таким образом, чтобы гсэ = 1, что также определяет ю с точностью до знака. Выбрав элемент ю, мы можем всякий элемент и ~ Б+ записать, и притом единственным способом, в виде о=ем(о)+гю(о) иу, где с„(о), г„(о) — элементы поля А; элемент гм (о)/с (и) проектинного поля А (гл. 11, приложение 111, и' 5) обозначается 1 (о); этот элемент не зависит от класса элемента и по гаог) Н и определяет, следовательно, посредством факторизации отображение факторгруппы Бэ/Н в проективное поле А, которое мы, допуская вольность речи„также будем обозначать череа 1„.
Часто мы будем писать г, си 1 вместо г„, с и 1„. Очевидно, с ~ = с„, г ~ = — э„ и Цгкдложкник 4. а) Ясли элемент игэ = Ь не является квадратом в поле А (то есть плоскость Я не имеет иэотропных прямых), то отображение 1 //гакторгруппы Б" /Н в А биективно. б) Ясли элемент Ь является квадратом некоторого элемента у ~ А, то отображение 1 будет биекфией группы Б+/Н на поле А, иг которого исключены элементы 1/у и — 1/у. в) дописывая группу Б+ /Н аддитивно, для любых 'ф, ф' к Бч/Н будем иметь 1(р+ р') = (1 (ф) -~ 1(ф'))/(1+ Ьг (ф)) С (ф'), если 1 (ф) и 1 (ф') конечны и 1 + 1 (ф) 1 (ф') ~ О. 502 полэтоэллинкинык и квлдглтичнык астмы гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
