Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Показать, что радикал Я алгебры С ((1) нэоморфен алгебре В»3л, Я„ что факторалгебра С (О)/Я нзоморфна В, н что С (О) есть прямая сумма алгебр В, и И. в) В предположениях упражнения б) пусть л =- О, й = 1, е = О (откуда следует, что й!ш М четка). Показать, что алгебра С" (()) изомоРфна С (Сэ), где ()с — сУ>кенпе фоРмы () на М. АЛГПБРЫ КЛИФФОРДА 493 *11) а) В обозначениях п предположениях и' 5 показать, чта группа Д! (С+) совпадает с подгруппой, порожденной в А* произведеннями О (х) О (у), где х п у пробегают множество неизотропвых векторов пространства Р. (Свестп докааательство к случаю А ~ Рз; попользовать предложение 5 и упражнение 28в) 3 6, а также упражнение 9г) 3 9.) Это случай, когда индекс формы О )~ 1. б) Предположим, что А ~ Рз, и пусть размерность пространства Е равна л Аь 2 и индекс формы () положителен.
Показать, что группа О+ (()) является коммутантом группы О (()). (Пользуясь упражнениями 17в) и 28д) т 6, свести доказательство к случаю в = 2.) в) Сохраняя предположения б), будем считать дополнительно, что характеристика поля ~ 2 и размерность пространства Е четка. Для того чтобы автомарфивм х -э — х пространства Е принадлежал группе Ое+ (()), необходимо п достаточно, чтобы дискриминант формы О (относнтельно произвольного базиса пространства Е) был квадратом. *12) а) Пусть а — обратимый злеыент кольца А; показать, что существует единственный пзоморфивм йа алгебры С+ (С) на С+ (а()) такой, что ба (9 (х) 9 (у)) = а т91 (х) о! (у) для любых х, у 6 Е (9 и Рг — канонические атабражеяяя кространства Е в С (()) и С (ад) соответственно).
Вывести отсюда, что если А — поле характеристики у': 2, размерность векторного пространства Е нечетна и форма () невырождена, та алгебры С (О) и С (лС) иаоморфны (см. упражнение 7). б) Пусть А — поле, Š— векторное пространство четной раамериостп 2г ) О, () — невырожденная квадратичная форма. 11усть и— подобие относительно (); покааать, что существует единственный А-автомарфпам и алгебры С+ (()) такой, что при 1 < )! < г и х! б Р (1 < г < 25) выполняется равенство в(х1хз хть)=М "п(хю) п(хз) п(хзл) где )ь — коэффициент подобия и. Автаморфизм и является внутренним тогда и только тогда, когда и — прямое подобие (1 6, и' 5 и 1 9, управ'епенке 96)).
Предположим еще, что г)~2; тогда, для того чтобы автоморфпзм и был тождественным, яеобходимо и достаточно, чтобы и был гоматетпей. Показать, что автоморфизм и алгебры С+ (О) является сужением на С+ (()) некоторого внутреннего автоморфизма алгебры С (О). "13) Пусть х! — поле характеристики ~ 2, Š— векторное пространство четной раамерностп 2г О, () — невырождеяная квадраь тичная форма. Обозначим через Рь обратный образ степени Д Е при изоморфизма )га пз упражнения Зв), так что Еь является подпространством, порожденным в алгебре С (()) произведениями х1хз... ... ха, где х; (1 < 1.< А) попарно артогональны.
494 попутоглпиииипьги и нплдратнчнык аогмтя гп. гк, 1 й а) Пусть а 5 Л, г 5 Еэ, (и + а)з 5 А, Показать, что либо з = О, либо а = О и а = ху, где х и у — ортогональные векторы. (Выразив г через некоторый ортогональвый баапс пространства Е, заметить, что элемеят г/~ г, где г = )гО (а+ з), обязательно прпнадле. жнт А + Д Е; используя 1 5, и' 1, следствие 2 теоремы 1, вывеств отсюда, что г = )3 + х /~ у, где (3 5 Л, х, у 5 Е.) б) Пусть (х, у), (и, х) — две пары ортогональных непзотропныл векторов пространства Е, Р „и Раа — соответственно плоскостп Ах+ Ау и Аи+ Ах.
Показать, что для выполнения равенства (ху) (иг) = — (ии) (ху) в алгебре С (С) необходимо и достаточно, чтобы Р + Р„, было неиэотропным подпространством размерности 3, в котором Р „я Р„„слабо ортогональны Я 3, упражнение 11). в) Пусть у — Л-автоморфнзм алгебры С+ (С), переводщций Ез е себя; показать, что существует подобие и относительно С такое, что л = и (упражнение 12б)).
(Пусть (е,) г, — некоторой ортогональный базис пространства Е; пользуясь а) я б), показать, что найдется ортогональный базис (х;) пространства Е такой, что у (па~) = х,х; для 2 . 1(2г.) 14) Пусть А — пола характеристики ~2, Š— векторное пространство размерности л над полем А, С я (), — невырождеяные квадратичные формы на пространстве Е; пусть Л (соответственно 51) — класс днскрнмннанта о формы () (соответственно днснримянанта й, формы 4),) относительно некоторого базиса пространства Е в группе Аэ/(Аэ)э; этот класс не зависят от выбора базиса в Е.
Предположим, что л = 2. а) Покавать, что если б = Ь, и алгебры Плиффорда С (С) н С ф,) изоморфны, то формы С~ и Д~ эквивалентны (рассмотреть на С (ч) квадратичную форму з -~- аз, где з -~. з — единственный внволютивный антиавтоморфизм алгебры С (С), у которого мно;кеством ннварнантных элементов является центр алгебры С (С) (см. упражнение б и гл. У11!, 1 11, упражнение 5д)); применить теорему Витта).
б) Алгебра С ф) изоморфна алгебре матриц дуэ (А) тогда и только тогда, яогда по нрайней мере для одного вектора х чь О пространства Е найдутся такие у, з 5 Е, что (1 (х) + 9 (у) С (з) = О; в этом случае указанным свойством обладает всякий ненулевой вектор пространства Е. 15) Сохраним обозначения и общие предположения упражнения 14, но положим п = 3.
а) Показать, что алгебра С+ (С) изоморфна некоторой алгебре нватериионов над А и что множество инварнантиых элементов ее антиавтомофизма )3: з - з есть центр алгебры С+ (С). Пусть Р— подпростраяство, составленное иэ чистамх кватернионов алгебры С+ (Ч) (то есть таких, что з х', гл.
УП1, 1 11, упражнение 6). ЛЛГЕБРЬ1МЛИФФОРДЛ 495 Сужение на Р квадратичной формы х — хз эквивалентно )(С, где й бА. Вывестк отсюда, что Сэ (С) является телом тогда и только тогда, когда форма 4) имеет индекс О. б) Показать, что если (( = л( и алгебры Клиффорда С (Ч) и С (С,) пзоморфны, то 4! и С( эквивалентны. (Рассмотреть сначала случай, когда — Ь является квадратом в А, и показать, что в атом случае алгебры С( (С) и С+ (4!() иэоморфпы; затем, применяя а) и упражнение 6 гл. Ч!11, $11, рассуждать, как в упражнении 14а).) в) Показать, что свециальная группа Клиффорда Се (относительно формы 4)) совпадает с группой обратимых элементов алгебры Се(ч).
(Заметить, что отображение х — ~ту', где у'= е(еэгэ В С(С), (е„ех, еэ) — ортогональный балис пространства Е, является иво. морфиэмом пространства Е на Р.) г) Вывести из а) и в), что если форма С имеет индекс 1, то групив вращений Оь (~) иэоморфна проективной группе РСХа (А) (гл. !1, приложение 1!1, я' 6). е16) Сохраним обозначения и общие предположения упражне. нкя 14, но положим и = 4. а) Привести пример, в котором Л = Х„алгебры С (С) и С (Ю изоморфны, но формы (! и ()( не эквивалентны (см. упражнение 7).
б) Пусть (е()(Ы(Ы( — ортогональный бавис пространства Е относительно С, Сс — сужение формы С на гиперплоскость Н = Ае( + Аев + Аеэ, покааать, что алгебра Сэ (4)) изоморфнв тенэорному проиаведенню Я (к)л С+ (Се), где 2 — ее центр. Для любого з б С+ (С) имеем () (з) с 6 У,; элемент э принадлежит специальной группе Клиффорда С+ тогда к только тогда, когда з обратим в () (э) с 6 А.1. Вывести отсюда, что группа 04 ф) изоморфна фактор- группе группы элементов э б Я фл Сэ (Сс) таких, что р (х) х = 1, по подгруппе (1, — 1). в) Предположим, что () не является квадратом в ноле А (откуда следует, ввиду! теоремы Витта, что индекс формы С равен О или 1). Пусть Се — квадратичная форма, полученная из 4)с расширением пола скаляров до А' = А д/й); вывести иэ б), что группы Оу (С) н Ось ((?о) изоморфны.
В частности, если яндекс формы 4! равен 1, то О,+ (С) коммутант группы О (С) и иэоморфен группе .РЯх.э (А') (см, упражнение 15г) и гл. 1!1, $7, упражнение 8). г) Предположим, что Ь является квадратом в поле А (откуда следует, ввиду теоремы Витта, что индекс формы () равен О или 2) и 4) (г() = 1. Каждый элемент л б Е единственным образом мон(но написать в виде л = аг(+ уг, где ! = е(еэеэ, а б А, х — чистый кватериион (упражнение 15а)) из алгебры Ь = Сь (Сэ); отображение (((, где ф (г) = (( + х, является ивоморфизмом векторного пространства Е на Е. Пусть Я = Ас' + Ас", где с' и с" — ортогональные идемпотенты из центра 2; всякий обратимый элемент э б С+ (С) един- 496 полгторллннкнпык и кнлдрлтнчнык сонмы гл.
1х, 1 (в ственнмм образом может быть ааиисан в виде е = ие' + ее', где и и е иринадлежат ул элемент е нринадлежит специальной группе Клиффорда С+ тогда и только тогда, когда ви = ее, и в этом случае ф (ехе-е) = вф (х) е-' для любого х б К. Вывести отсюда, что факторгруина груииы О+ (О) но ее центру (состоящему из двух элементов. см. упражнение 11в)) изоморфиа произведению Ое+ (Ое) Х Оее (Ое); в частности, если форма О индекса 2, то эта факторгруппа изоморфна РБ1г (А) Н РБгз (А). 17) Пусть К вЂ” поле характеристики Ф- 2, А — поле К (Хв)ззз раюеональных дробей над полем К от счетного множества переменных (гл. 1У, т 3, и'1).
Пусть К вЂ” векторное пространство над полем А со счетным базисом (ев)вел, Ф вЂ” симметрическая билинейная форма на пространстве К, относительно которой базис (е„) ортогонален, и Ф (е„, е„) = Х„для всех и й йг. Положив (7 (х)=Ф (х, х), показать. что алгебра Клиффорда С (()) — тело (см. гл. У111, $12, упражнение 14). $10. Углы В эгпом параграфе приняты обозначения: А — поле характеристики ~2, Š— векторное пространство размерности 2 над полем А, Ф вЂ” невырожденная симметрическая билинейная форма на пространстве Е. 1. Прямые подобия в плооиооти Напомним (2 6, и'5), что прямым подобием векторного пространства Е называется такой его автоморфнзм и, что Ф(и(х), и(у)) = = (йе1 и) Ф (х, у) для любых х, у Е Е.
Пгидложкник 4. Пусть А (Ф) — подалгсбра алгебры л"л (Е). порожденная прямыми подобиями пространства Е. а) Прямые подобия являются обратимыми элементами подалгсбры А (Ф). Алгебра А (Ф) коммутативна и имеет степень 2 над полем А. Если в пространстве Е нет ненулевых неизотропных векторов, то А (Ф) — поле, являющееся квадратичным расширением поля Л; в противоположном случае алгебра А (Ф) будет прямой композицией двух полей, изоморфных полю А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
