Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 104
Текст из файла (страница 104)
1'руппа тпипов квыдттаакичньссс трорлг Наделим мно'кество % типов конечномерных невыроя~денных квадратичных форм над полем А структурой коммутатиеной группы. Определим во множестве Я сложение следующей фор. мулой: (2) Т+ Т' = б (Т Т Т') (Т, Т' Е %). Это сложение коммутатнвно, так как форма Т'Т Т.эквивалентна Т Т Т', к ассоциативно, так как для любых элементов Т, Т', Т" множества 9Л выполняются соотношения (Т+Т')+Т"-(Т+Т") Т Т'-(Т Т Т') Т Т'- ТТ(Т' Т Т") ТТ(Т'+Т') Т+(Т'+Т ), откуда (Т + Т') + Т" = Т + (Т'+ Т"), так как два элемента одного типа нз множества % равны.
Кроме того, определенное выше сложение обладает нейтральным элементом: ясно, что все нейтральные формы имеют один н тот же тип То, являющийся типом нулевой формы размерности нуль; легко видеть, что тнп Те является искомым нейтральным элементом. Наконец, существование противоположного элемента для любого Т ~ э)) сразу следует иэ предложения: Нгкдлояскник 3. Пусть ~ — конечномернал нееыролсденнак ' кеадратпичнал форма на секторном пространстве У над полем А. Определим форму — 9 на пространстее т' формулой ( — О) (х) = — ~ (х) (х Е У). Тогда форма О Т ( — О) нейтральна. В самом деле, сув'ение формы ~ Т ( — О) на диагональ П произведения т' х т' равно нулю.
Следовательно, индекс этой формы > — дйш (У Х 7) (т 4, и' 2, определение 3) и по формуле (4) равен — 41ш (т' х 7) (там же). Отсюда следует, что форма 1 О Т ( — О) нейтральна (там же). Это поаволяет ввести следующее определение: тины кВАдРАтичных ФОРМ 469 Ошкдклкнив 1. Множество типов конечномерных невырожденных форм над полем А, наделенное сложением по формуле (2), называется группой типов квадратичных форм или группой Витта поля А.
3 а и е ч а в и я. 1) Всякая кокечвомервая вевырождеквая форма О нулевого типа (то есть форма, двя которой в пашвх обозвачевиях Ю(О) = Та) является нейтральной. В самом деле, существуют вейтравьвые формы Аг и )у' такие, что форма О Т У эквквалептва У'. Следовательно, форма () имеет четную размерность, так что существует нейтральная форма 1У, той же размервоств, что в О. Поскольку формы О и АГ, одного типа, из вредложевия 1 следует, что овв эквивалевтвы. Таким образом, форма О вейтральва.
2) Пусть 6 (О) — класс по модулю 2 размервоств провавольвой ковечвомервой квадратичной формы О вад полем А. Тогда,поскольку всякая кейтрэльвая форма АГ имеет четную раэмервость, 6 (У) = О: следоватеяьво, если Π— О', то 6 (О) = 6 (О'). Таким образом, сужение 6 ва группу Я типов квадратвчвмх форм является гомоморфизмом группы % в групву Я/ (2). Этот гомоморфизм сюръектввев в случае, когда характеристика воля А ве ривка 2, по ве сюръектквев, если А имеет характеристику 2, так как в этом случае всякая квадратичная форма нечетной размерности вырождека, поскольку ассоциированная с ней билвкейвая форма звакоперемеппа (см.
1 5). 3) Пусть а ~ Π†элеме поля А. Если форма 1У нейтральна, то форма а1У также вейтральва. Отсюда ясно, что если Π— О', то в аΠ— аО'. Для всякого элемевта Т группы Я положим а ° Т= О (аТ). Тем самым мы получаем внешний заков композвции между грувпой Аа ненулевых элемевтов воля А и группой Я. Свраведлввость следующих формул вытекает кепосредствевво ва определения а (Т+Т9=а Т+а Т', аЬ Т=а (Ь Т) (4) (а, Ь бАа, Т, Т' ЕЯ). Однако если а, Ь в а+ Ь входят в Аа, то равенство (а+ Ь) Т = = а Т+ Ь Т, вообще говоря, неверно. ПРкдложкиик 4. Пусть Π— невырожденная квадратичная форма на векторном пространппве Е конечной размерности над полем А.
Предположим, что характеристика паля А не равна 2, и пусть (х„..., х ) — ортогональный базис пространства )г. Обозначим через Тг тип квадрагаичной формы ф, определенной на векторном пространстве А и такой, что Ог (1) = 1. Тогда ар Х Е(.,).Т,. 1 г 470 полгтогллинвпныв и квядиатичныв хогмы гл. гх, 1 з В самом деле, форма 0 эквивалентна сумме Слвдствив.
В обозначениях и предположениях предложени 3 множество элементов вида а Тг (а ~ А*) составляет множесгрво обрагуюигих группа типов квадратичных форм над полем А. Таквм образом, исследование структуры группы типов квадратичных форм над полем А сводится к исследованию Я-линейных соотношений между элементами вида а Т,. Если Ь Е Ав, то форма ~)ь определенная в предложении 4, очевидно, эквивалентна Ь'Д;, отсюда а Т, = аЬ' Т„ так что элемент а Т, зависит только от класса элемента а по модулю подгруппы (А*)г квадратов элементов группы Ав.
Кроме того, иэ предложения 3 следует равенство ( — а) Т, =- — а Т,. Однако между элементами а. Т„вообще говоря, существуют еще и другие Я-линейные соотношения, кроме тех, которые выводятся из соотношений, только что указанных. Пгвдлох.вник 5. Пусть А — максимальное упорядоченное поле, () — конечномерная невырожденноя квадратичная форма над полем А и (г, г) — ее сигнатура (з 7, и' 2, определение 2). Тогда тип формы ~ есть (г — ~) ° Т, и группа !(й типов квадратичных форм над полем А является бесконечной моногенной группой, порожденной типом Т,. В самом деле, факторгруппа А*/(А*)г имеет порядок 2 и ( — 1).Т, = — — Т„так что грутша ',))с порождается типом Т„ то есть моногенна.
Для любого и ) О и Т, является типом положительных невырожденных квадратичных форм размерности и; поскольку эти формы не являются нейтральными, и Т, Ф О, то есть группа Бй бесконечна. Наконец, форма с сигнатурой (г, г) изоморфна прямой сумме г форм Ч1 (в обозначениях предложения 4) и г форм — ~',), (з 7, и' 2, теорема 1); отсюда следует, что ее тип равен (г — г) То З. Лопат~о пыыпов нвадратычггыю фоуэм В этом и' предполагается, что А — поле характеристики ~ 2. Пусть (г и 9' — квадратичные формы на векторных пространствах )г и )г' над полем А. Тензорным произведением форм ~~ и 0' назовем такую квадратичную форму (г 3 (г' на произведении ТИПЫ КВАДРАТИЧНЫХ Ч ОРМ 471 У э У', у которой ассоциированная билинейная форма является тензорным произведением Я 1, и' 9, определение 11) билинейных форм, ассоциированных с формами Е и Е'. Легко видеть, что форма Е Э Е' удовлетворяет соотношению (ЕЭЕ')(*Э*')=-Е(*)Е(з'') (*ЕУ, л'ЕУ').
(5) Если обе формы Е и Е' конечномерны и иевырождены, то иХ тен-' зорное произведение Е Э Е' также конечномерно н невырождено (з 1, и' 9, предложение 9), Пусть Е, Е', Е" — квадратичные формы на векторных пространствах У, У', У". Используя канонический изоморфизм произведения У Э У' на У' Э У (соответственно (У Э У') Э У" ка УЭ(У'Э У"), (У Х У') Э У" на (УЭ У") Х (У'Э У")), легко показать, что форма Е Э Е' эквивалентна Е' Э Е (соответственно (Е Э Е') Э Е" эквивалентна Е Э (Е' Э Е"), (е т е) э е" ° ---- (е э е) т (е э е )). Пусть Е н Е' — конечномерные невырожденные квадратичные формы. Если форма Е нейтральна, то и Е Э Е' нейтральна. В самом деле, пусть У и У' — пространства определения форм Е и Е', 2п и и' — размерности У и У', И' — вполне сингулярное подпространство размерности п пространства У (т 4, и' 2); тогда подпространство И' Э У' вполне сннгулярио и его размерность равна половине размерности пространства У Э У', отсюда так же, как и в предложении 3, следует, что форма Е Э Е' нейтральна.
Аналогично форма Е Э Е' будет нейтральной, если нейтральна форма Отсюда следует, что если Е, Е', Ео Е, — конечномерные невы- рожденные квадратичные формы над полем А и д (Е~) =- д (Е) и Ю (Е,') = Ф (Е'), то д (Е, Э Е;) =-- д (Е Э Е'). В самом деле, достаточно проверить это равенство в случае, когда Е, = Е 1 Л' и Е; = Е' т Л"', где Л' и Х' — нейтральные формы; тогда форма Е, Э Е, эквивалентна форме (ЕэЕ)т(Еэл'тЕ эл тлэЕ); во второй скобке здесь стоит нейтральная форма, так что наше утверждение доказано.
Пусть теперь Я вЂ” группа типов квадратичных форм над полем А. Определим на множестве ',9) второй закон композиции, 472 полУТОРАлинейные и квАдРАтичные ФоРмы Гл гх $9 записываемый мультипликативно, формулой тт' = б (Т 3 Т') (Т;"Т' ~ )(й). (6) Из предыдущих рассуждений легко следует, что этот закон композиции коммутативен, ассоциативен и дистрибутивен относительно сложения. Он имеет единицу, именно, тип Т, квадратичной формы Ч1, определенной на пространстве А и такой, что Ч1 (1) =- 4; в самом деле, по формуле (5) Ч1 ® () = Д для любой квадратичной формы 1,г.
Таким образом, аддитивная группа з)1, наделенная только что определенным умножением, будет коммутативным кольцом с единицей; это кольцо называется кольцом типов квадратичных форм поля А (или, если не может возникнуть недоразумения, кольцом Витта поля А). 3 а м е ч а н и я. 1) Ясно, что для любого элемента а ~ А* и любых элементов Т и Т' группы А)1 выполняются равенства а (ТТ') =(а.Т) Т'= Т (а.Т'). (7) Заметим, кроме того, что а.
Т = Т,Т, где Т, — тип квадратичной формы ау1 над по 1ем А. 2) Поскольку поле А имеет характеристику ~2, всякий элемент Т Е % имеет вид ~~ а, Т„где а1 Е А* (и' 2, предложе1=1 иие 4), и (~ а; ° Т,) (~ Уе ° Т1)= ~ а16,"Т1) (а, 5~А*). (8) 3) Пусть А — максимальное упорядоченное поле. Тогда кольцо з)1 изоморфно Я (предложение 5) (типу квадратичной формы с сигнатурой (э, 1) поставить в соответствие число е — ~ (там же)). Так как тензорное проиаведение двух форм 1,г и 1,г' с сигнатурами (е, ~) и (э', р) является формой размерности (э+ 1) (в'+ г'), то отсюда с помощью элементарного подсчета следует, что сигнатура формы Ч 8 Ч' равна (еэ' + М', И' + гэ').
4 9. Алгебры Клиффорда В этом параграфе кольцо А предполагается коммутативным. 1,г — квадратичная форма на А-модуле Е, Ф вЂ” ассоциированная с Ч билинейная форма (9 3, п' 4). 473 АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА л. Определение и 1гниверсаленое свойство алгебры Хьлиффоф()а Опвкдклкник 1. Алгеброй Елиффорда формы ~ называется факторвлгебра С (ч) тензорной алгебры Т (Е) модуля Е по двустороннему идеалу 1 ф), порожденному элементами вида х 8 х— — г,г(х) 1 (х ~ Е). Обозначим через оо (или просто о, если не может возникнуть недоразумения) отображение модуля Е в С (()), являющееся кампозицией канонического отображения модуля Е в Т (Е) и канонического отображения Т(Е) на С(~); отображение оо называется каноническим.
Заметим, что алгебра С(Я порождается образом оо (Е) и для х Е Е й (х)г = ~ (х). 1, откуда, заменяя х на х+у(х, у~Е), получим о(х)о(у)+о(у) о(х) =Ф(х, у) 1. (2) Пккдложкпкк 1. Пусть 7 — линейное отображение модуля Е в алгебру Р над полем А такое, что 7' (х)г = ~ (х) 1 для любого х Е Е. Суигестеует единственный гомоморфизм г' алгебры С (Я в Р, удовлетворяющий условию ( = 7' э оо.
П р и м е р. Если модуль е имеет базис из единственного элемента е, то алгебра Т (Е) изоморфна алгебре многочленов А (Х] и С (ч) является квадратичным расширением кольца 'А и имеет базис (1, и), где и = о (е) и и' = () (е). А Пусть Т" — Ь-я тензорная степень бр Е в алгебре Т (Е) и Т+ (соответственно Т-) — сумма всех Т" с четными Ь (соответственно с нечетными Ь). Поскольку Т (Е) является прямой суммой Т+ и Т-, а идеал У (Ч) порождается элементами из Т+, Х (Ч) 'будет прямой суммой пересечений Т+ П 1 ®) и Т- П Т (е), а С Я)— прямой суммой двух подмодулей С+ (Ч) = о (Тв) и С (ч) = = в (Т-) (эти подмодули обозначаются также С+ и С ). Элементы подмодуля С+ (соответственно С ) будут называться четными (соответственно нечетными).
Справедливы включения С+С~с=.С+, Сс-с=с-, С-с~с-с-, С-С-~С'. (3) В частности, С+ является подалгеброй в С (ч). 474 полутОРАлинейныГ и кВАдРАтичныв ФОРмы г)1. 1х, 1 1) Единственность гомоморфизма ( следует иа того, что алгебра С Я) порождается образом да (Е). Пусть Ь вЂ” единственный гомоморфизм алгебры Т (Е) в В, продолжающий / (Ь определяется равенством Ь (х, Я)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
