Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 99
Текст из файла (страница 99)
упражнение 17). б) Предположим, что форма О имеет максимальный индекс, пусть У, )У вЂ” вполне сингулярные подпространства пространства Е' (14, и'1) раэмерности ш, и — симметрия х ~ л+ ' а ($4„ Ф (э, а) О (а) упражнение 6), й — раамерность У П )У. Покаеать, что раэмериость подпространства У Д и ((У) равна й + 1, если вектор а ортогонален к У (') )У, и равна А — 1 в противоположном случае (в первом случае эаметить, что а х+ у, где х б У, у б)У, и поиааать, что и(у) = х; во втором случае заметить, что симметрия и не может оставить инеариантным ни один сингулярный вектор, не ортогональный к а). в) Снова предположим, что индекс формы О проиэволен. Пока- вать, что подгруппа ЯО (О) группы О (О), состоящая иэ автоморфивмов пространства Е, являющихся проивведением чегяяоэо числа симметрий, является в О (О) нормальным делителем индекса 2.
(Покааать, что произведение нечетного числа симметрий не может быть равно единице, рассмотрев для этого продолжение формы О на векторное пространство Е', полученное иэ Е расширением его поля скаляров да алгебраического замыкания; применить ватем 6).) (См. $9, упражнение 9.) г) Покаэать, что для любых двух вполне сингулярных подпространств УО Уэ пространства Е, имеющих одинаковую раэмерность ( т, существует автоморфяам и б ЕО (О) такой, что и (У,) = Уэ. Напротив, если У, и Уэ — вполне сингулярные подпространства раамерности т, то автоморфиам и б ЯО (()) такой, что и (У,) = Уэ, существует тогда и только тогда, когда раэмерность подпространства У, П Уэимеетту жечетность, чтоит(рассуждатьтакже,какв упражнении 18; воспользоваться утверждением б)). д) Плоскость Р ~ Е наэывается гиперболической, если она неиэотропна и содержит сингулярные прямые (обяеательно две).
Преобравование и б О (О) называется еилерболпческил, если существует гиперболическая плоскость Р такая, что и (я) = х для всех х б Ре; в этом случае и нааывается гиперболическим преобраэованием, ассоциированным с плоскостью Р. Показать, что если индекс формы О строю положвтелен, то всякий автоморфиэм и б О (О) является проивведевием гиперболических преобраэованпй (испольвовать а)). Вывести отсюда, что если Р— гиперболическая плоскость, то всякое преобразование и б О (()) может быть ваписано в виде и = вг, где е Я эгмитовы формы и упогядочкннык поля 445 гиперболическое преобразование, ассоциированное с Р, и г принадлежит коммутанту группы О (О).
29) В предположениях упражнения 28 будем считать дополнительно, что форма () имеет максимальный индекс т; пусть (е1)— симплектический баанс пространства К (относительно анакоперемениой формы Ф, ассоциированной с О), состоящий иа сингулярных векторов (1 4, и' 2, превлак<ение 2); отсюда следует, что матрица формы Ф относительно этого базиса совпадает сматрицей В иэ упражнения 14 1 5. Показать, что, в обозначениях этого упражнения, симплектическая' матрица ('Р + Ю)-'(Ю,+ Б) тогда и только тогда является матрицей автоморфвэма н б О (О),.когда матрица о энаксперемвннвн (заметив, по (гг) + Б) и (е;) = (В + Я) еь эаписатгн что всякий вектор и (е;) сингулярсн).
9 7. Эрмитовы формы и упорядоченные поля В 9 7 К вЂ” некоторое максимальное упорядоченное поле (следовательно, это — поле характеристики 0; см. гл. Ч1, 9 2) и рассматривается всегда один из трех следующих случаев: 1' А = К, Х вЂ” тождественный автоморфизм, 2' А — поле К (1), полученное из К присоединением квадратного корня 1 из — 1, и для любого ) сА Х есть элемент, сопряженный к Х (гл. 11, 4 7, и' 7). 3' А — тело кватернионов над полем К, соответствующее паре ( — 1, — 1) (или, как мы будем для краткости говорить, тело кватернионовнад К), и для всякого Х б А Х вЂ” элемент, сопряженный к ).
(см, гл. 11, 9 7, и' 8 и гл. Ч111, 9 11, и' 2). Коли Ф вЂ” зрмитова форма па пространстве Е, то в каждом случае Ф (х, х) Е К для всех х б Е, так как Ф (х, х) = Ф (х, х), л. Положительные эрмияьооы формам Опгкдклкник 1. Эрмитова форма Ф на пространстве Е пазаваетея положительной (соотввтстввнно отрицательной), если для любого х б Е выпал яется неравенство Ф (х, х) > 0 (соответственно Ф (х, х) <О). В случае А = К положительной (соответствснно отрицательной) 1 нааывают также квадратичную форму О (х) — Ф (х, х), с которой 2 ассоциирована форма Ф. 446 полвтовялинвиныв н квлдвятнчныв еовмы гл, гх, «т Пусть пространство Е конечномерно над телом А и (е~) (1 = = 1, ..., п) — ортогопальный бааис в Е (з 6, и' 1, теорема 1).
Для того чтобы эрмитова форма Ф на пространстве Е была коложительной, необходимо и достаточно, чтобы Ф (е;, е«) >О для любого 1 = 1,..., и. Пусть Ф вЂ” невырожденная положительная форма на Е. Поскольку всякий положительный элемент поля А является квадратом и, значит, имеет вид оо (о Е А), в Е существуют ортонормальные базисы относительно Ф (з 6, в' 1, следствие 1 теоремы 1). Пгвдложвнив1. Пусть Еконечномерно иА = Кили А = К (1). Если Ф вЂ” положительная невырожденная эрл«итова форма на р р пространстве Е, тв ее продолжения на бР Е и Д Е (р ) О), а также обратная форма являются положительными невырожденными эрмитовыми формами.
Это утверждение сразу следует из существования в пространстве Е ортонормального базиса и предложения 2 з 6, и' 1.. Предложение 1 остается верным, если повсюду в вам аамаввть слова «яоложвтельяая веаырождеяяая» ва «воложятельваям Пгвдложвнив 2. Пусть Ф вЂ” положительная эрмитова форма на Е. Для любых х, у Е Е выполняется неравенство Ф(х, у) Ф(х, у) <Ф(х, х) Ф(у, у). (1) В самом деле, это неравенство очевидно, если векторы х и у пропорциональны.
Предположим, что онн невависнмы. Пусть А ' — подполе К (Ф (х, у)) тела А, à — векторная плоскость над А', порожденная элементами х и у, Фя — сужение формы Ф на г; эта форма Фв принимает аначения в А'. По предложению 1 дискриминант формы Фв относительно базиса (х, у) болыпе или равен нулю.
Но этот дискриминант равен Ф (х, х) Ф (у, у) — Ф (х, у) Ф (х, у), что и требовалось доказать. Слвдствнв. Множество иэвтропных векторов пространства Е является подпространством Е', ортогона.«ьным к Е относительно Ф. для того чтобы форма Ф была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы неравенство Ф (х, х) ~ О выполнялоеь для всех х ~ О.
ЭРмитовы ФОРмы и упОРядоченнык пОля 447 Пгвдложвнив 3. Пусть пространство Е конечномерно, А коммутативно (А = К или А = К (1)). Пусть, далее, Ф вЂ” зрмитова форма на Е, Х вЂ” матрица формы Ф относительно некоторого базиса (ху) (у = 1, ..., и) пространства Е; для любого подмножества Н отрезка [1, пУ обозначим через Хи, и минор матрицы Х, получаемый вычеркиванием строк и столбцов с номерами у с Н (гл. ???, ~ 6, и' 3), а) Если форма Ф невырождена и положительна, то для любого Н Хи,и ) О. б) Обратно, если Хи, н > О для любого Ну = ?1, у], то форма Ф невырождена и положительна.
Предположим сначала, что форма'Ф невырождена н положительна. Элементы (х,) (у Е Н) образуют базис некоторого подпростРанства Р в Е, и миноР Хи, и Явлиетси дискРиминантом сУжении ФР формы Ф на Р относительно этого базиса; тогда, поскольку Ф„(х, х) '- О для любого х~ О в Р, форма Ф„невырождена и положительна (следствие предложения 2)," поэтому Хи и ) О (предложение 1).
Для доказательства б) заметим, что, в обоаначеннях предложения 1 3 6, и' 1, минор Хнлиу равен Ру~, ~.„,, следовательно, существует (предложение 1 э 6, и' 1) ортогональный базис (еу) (у = 1, „и) пространства Е такой, что Ф (ел еу) Одляу = 1, . „и;следовательно, формаФ невырождена и положительна. 3 а и е ч а н и е. Из существования ортонормальных базисов следует, что любые две невырожденные положительные зрмитовы формы над двумя векторными пространствами одинаковой размерности зквивалентны (т 1, и' 6). Пусть тогда Ь вЂ” конечномерное зрмитово пространство над телом А, метрическая форма которого невырождена и положительна, н Г, и ?'г — линейные многообразия в Ь одинаковой размерности (т 6, и' 6); сужения метрической формы, с одной стороны, на направляющие подпростраяства Т, и Т, многообрааий У, и Уг и, с другой, на ортогональные подпростраиства Т,' и Т; эквивалентны, так что существует унитарный автоморфизм и пространства переносов Т пространства Р такой, что и (Т,) = Т, и и(Т,') = Т';, поэтому существует некоторое движение Р пространства Ь такое, что о(Г,) = Уг.
Пусть (а, д) и (а', д') — две парыточекиз Ь; длятогочтобысуществовало 448 полттовллинвннын и квлдкатичныв еовмы гл. тх, т т движение о пространства Е такое, что о(а) = а' и о(6) = 6', необходимо и достаточно, чтобы е (а, 6) = е (а', 6') (обозначения те же, что и в 5 6, и' 6); элемент у'е (а, 6) кольца А (гл. У1, 1 2, и' 2) называется расстоянием между точками а и 6 в эрмнтовом пространстве Е.
2. Закон инерт1ии Твоввмь 1 (взакон инерцииг), Пусть А удовлетворяет условиям, сформулированным в начале у' У, пространство К конечно- мерно и Ф вЂ” эрмитоеа форма на Е. Тогда: а) существует разложение пространства К в прямую сумму надпространства Еь, ортогонального к Е, и двух подпространств Е+ и Е таких, что сужение формы Ф на Е+ (соответственно на Е-) положительно (соответственно отрицательно) и не вырождено; б) пространство Е имеет ортогонольный базис (еД ~а~~„талой, что Ф(~~~~ $;еь ~ туе~)= ,"~ $;ту — ~ $;ту; (2) в) для любых разложений пространства Е в прямую сумму надпространств, удовлетворяющих условиям а), размерности з надпространств Еь (и ~ подпространств Е ) одинаковы; целое число в (соответственно 8) является максимумом размерностей подпростронста Р пространства К таких, что сужение формы Ф на Р невырождено и положительно (соответственно отрицательно); г) ранг формы Ф равен з + с; д) если форма Ф невырождена, то ее индекс равен 1п1 (з, т) ($4, и' 2, определение 3).
В самом деле, пусть (х~) (1 = 1, ..., и) — ортогональный бааис пространства Е (т 6, и' 1, теорема 1); вспомним, что Ф (х, х) Е К для любого х Е Е. Можно считать, что Ф (хп х ) ) О .для 1=1, ..., з, Ф(хт,х,) СО для т'=в+1, ..., з+~ и Ф (х;, х ) = О для 1 = г + ~ + 1, ..., и. Обозначив через Е+ (соответственно Е ) подпространство, ,порожденное векторами х„..., х, (соответственно хн „... ..., х„,), мы получим утверждение а), так как векторы ЭРмитовы ФОРмы и упОРядочкннык пОля 449 х„,„,..., х„порождают подпространство Е'. Так как для с = 1,..., в (соответственно с = в+ 1,..., е+ Г) элемент Ф (х;, х,) имеет вид 99 (соответственно — 99) (9 б А*), то отсюда следует утверждение б). Для доказательства в) рассмотрим такое подпространство Р в Е, что сужение формы Ф па Р невырождепо; тогда Р П (Е- + Е+) = 10) и, следовательно, сумма Р + Е + Е+ прямая; отсюда следует, что с)(ш Р( сс(т Е+ = г, что доказывает утверждение в).
Утверждение г) немедленно следует из а). Предположии, наконец, что форма Ф невырождепа, положим д = (п1 (в, с) и покажем, что д — индекс формы Ф. В обозначениях б), векторы е; + е,+; (соответственное, — е,ы) (с' = 1, ..., д) порождают вполне изотропное подпространство Р (соответственно Р'). Так как характеристика поля К равна нулю, то сумма Р + Р' порождается векторами ес, . „ею е,ас,..., екав и, следовательно, неизотроппа. Тогда сужение формы Ф па надпространство Н = (Р + Р')а невырождепо и положительно (соответственно отрицательно), так что Н не содержит ненулевых неизотропных векторов.
Поскольку подпространство Р' содержит подпространства Р и Н н сс(ш (Р + Н) = посс(т Р' = сос(сш Р, то Ра =- Р + Н. Стало быть, всякий изотропный вектор г, ортогональный к подпрострапству Р, должен лежать в Р, так как компонента в Н вектора г из прямой суммы Р + Н изотропна. Следовательно, Р— максимальное вполне изотропное подпространство, что и доказывает д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
