Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 102
Текст из файла (страница 102)
$1, и' 8), являются положгпельнымн (см. упражнение 10в)) эрмптовыми эндоморфнзмами пространств Е и Г соответственно. 14) Пусть выполнены условия, указанные в 1 7 в' 3. Пусть и— эндоморфизм пространства Е, Ь„Л> — положительные эрмитовы эндоморфкзмы пространства Е, причем Ьз =- и"и, Ьз = ии" (упражнения 13 и 10г)). а) Показать, что существует унитарный эндоморфизм г такой, что и = зЛ, = Лзх, и, в частности, зндоморфизмы Л, и Лз подобны (заме- -1 -1 тить, что и (О) = Л, (О) и что равенство Ф (и (х), и (х))= Ф (Л> (х), Л, (х)) выполняется для всех векторов х надпространства У, арто-> тонального к и (О)).
Эндомарфнзм э определяется однозначно тогда и только тогда, когда и бнективен. Для того чтобы можно было найти эндоморфизм з, нерестановочный с Ь„необходимо и достаточно, чтобы и был нормальным. 460 нолутОРалинийныи и квлдРАтичныи юОРыы Гл. 1х, $7 б) Вывести пз а), что всякая квадратная матрица М порядка и над полем А может быль представлена в виде ВРУ, где У и У вЂ” унитарные матрицы, .Р— диагональная матрица, у которой все диагональные элементы )~, причем их квадраты являются собстзеннымн аначеннямн матрицы ММе. 13) Пусть выполнены условия, укааанвые в и' 3.
Показать, что всякая положительная матрица Н эрмитова над полемА и может быть представлена в виде ЬРе, где в матрице Ь все элементы ниже диагонали равны нулю, а диагональяые элементы принадлежат К и рэ 0; кроме того, если матрица Н обратима, то Ь определяется однозначно (см. упражнения 10г) и 7в)). *16) Пусть выполнены условия, указанные в и' 3, и А К (1). Пусть и — эндоморфиам пространства Я. а) Множество собственных аначений зндоморфизма и содержится в множестве У значений формы Ф (з, и (з)), когда х пробегает множество элементов пространства К таких, что Ф (з, з) = 1.
б) Подмножество С поля А = К (1) называется емяузлмм, если для любой пары элементов (з, г)) б Сз и любого т б К такого, что 0 ~ т < 1, элемент т$+ (1 — т) т) б С. Покааать, что множество С выпукло. (Свести докааательство к случаю я = 2; записав и в виде э + гм, где и и и — врмитовы эндоморфизмы, и заменяя при необходимости и на Хи, где 2 б А н 7.7, = 1, покааать, что задача сводится к доказательству следующего свойства.
Пусть 7 ($О $з) = З1чг + +сьзЬ э йг еьз)=еМ1+ЬйА (е ЕК Ь ЕК)~ й йм Ы=аеыеь1+Ягй+ +()чззг+уьгзз (аЕК, 7ЕК, ()бА); пУсть (т)О г)з) ЕА', (ь» ьз)бАз н ((тк Чз)=((1з Ы=1 у(цм г)з)=у (Сг Ы=1 й (тк Ъ)>0 й (ЬО Ьз) ч. 0; тогда существует пара (ОО дэ) б Аз такая, что У (01 Оа) = 1 е (01 Оз) = 1, Ь (ОО Оз) = О. Сначала заметить, ято для любой пары (зг, $з) существует элемент р б А такой, что рр = 1 и рдь1ьз+ ()рзззг = 0; зто позволит снести доказательство к случаю б = 0; применить предложение 5, гл.
Ъ'1, 7 2, пе 5.) в) Показать, что если эндоморфиам и нормален, то У является наименыпнм выпуклым множеством, содержащим все собственные значения эидоморфизма и. Привести пример, в котором эндоморфизм и не нормален, но множество У обладает укааанным свойством. (Ваять элементы ~1 ~ 1 в качестве простых собственных значений эндоморфнама и и 0 — как двойное собственное значение.) е17) Пусть выполнены условия, указанные в и' 3; обозначим череа ~ $ ~, з еА, элемент о > 0 поля к такой, что оз = зс (абсолютное значение элемента З). Для всякой квадратной матрицы М = (аг) над полем А положим 7 (М) = шахам, у (М) = шах ) аЫ ( Ц) и обозначим череа ~р (М) накбольп~ее абсолютное значение собственных аначений матрицы М. (Показать, что это определение имеет смысл в случае, когда есть тело кватерннонов над полем К.) агмитоны еогмы и упогядочкннын поля 46х а) Пусть А, В, Р— квадратные матрицы ворядка и над нолем А.
Показать, что если Р диагональна, то уз (АРВ») < (з (Р) ) (АА") ( (ВВ») (1) (применить неравенство (1) и'1); вывести отсюда, что а (АВВ»А*) < ( (АА») ~р (ВВ») (2) (применить предложение 5 к армитовой матрице ВВ»). Вывести отсюда, ято для т произвольных квадратных матриц А, (1 < 1 < т) выполняются неравенства: яз (Аглз Аж) (/(АгА() ~р (АзА»») ф (А» гам ~) ) (АеАщ) (3) ф (АгАз...А ) < <р(АгА») <р (АзА»)...~р(А Аж), (4) уз (АгАз... Ащ)»4: ~р (А1А~ф)... юр (АжАт) (5) (для докааательства (3) провести индукцию на основе (2); для (4) применить уяражнение 12; наконец, из (3) получить (5)).
Покааать, что неравенство (3) не обяаательяо выполняется, если заменить в нем А~Ам на А,„Ат (заметить, что воаможно неравенство у (А»А) ~ г(АА*)) нли заменить ~р (А1А,») на у (А;А») для 2 < 1 < < т — 1 (взять все А; равными одной и той ясе квадратной матрице, все элементы которой равны 1). б) Пусть и — нормальный эндоморфнэм пространства Е, Х его собственное значение (в случае, когда А =К, 2 †элеме поля е (1)); тогда 2Х вЂ” собственное аначение эндоморфизма и»и. Для всякой вормс»алой матрицы М (то есть матрицы нормального зндоморфизма пространства Е относительно ортонормального базиса) справедливо равенство ф (М) = р (ММ»).
Вывести отсюда, что выполняется неравенство у (М) < ~р (М), или, в более общем виде, если матрицы Мм..., Мю нормальны, то К (Мз ° Мт) «Р (Мг) .. Ч' (Мю) (8) Ч (М ... Мт) < Ч (М~) .. Л (М ) (7) (применить (4) и (5)). в) Показать, что для любой положительной армитовой матрицы Н вад полем А выполняются соотношения Г' (Н) = у (Н) < ~р (Н) (записав Н в виде АА*, применить (3) и б)).
18) Пусть выполнены условия, указанные в п' 3. а) Пусть и — эндоморфизм пространства Е, (ьл) — ортонормальиый базис, составленный иа собственных векторов эндоморфиама и, и а; — собственное значение эндоморфвзма ии», соответствующее вектору е,; положим»(и) =( ~~~~ ~э1 1 и (если А коммутатввно,то это есть квадратный корень из Тг (и»и)); тогда в (и») = » (и). Пусть У и У— матрицы эндоморфяамов и я и пространства Е относительно некоторого ортонормальвого базиса. Показать, что матрица УУ»+ У(7» ПОЛУТОРАЛИИЕЙЕЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ГЛ.
1Х, 1 7 с элементами на поля К удовлетворяет неравенству (Тг (НЕ* -', + УНг))з < 4г (и) г (е) (ааметнть, что андоморфнэм (и* + Ага) (и+ + йг) положительный эрмнтов при любом й б К); вывести отсюда, что г (и+ г) ( г (и) + г (г). Если, кроме того, А коммутативно, то ! Тг(иг) /з(г (и) г(г) н ! Тг(и) ! ( Р' пг(и) (пользуясь упражнением 14б), ааписать и как произведение).
б) Предположим дополнительно, что А коммутатнвно (то есть равно К или К (1)). Показать, что для любых положительных эрмвтовых квадратных матриц Н, и Нг выполннется неравенство Тг (Н,Нг) ) 0 (свести доказательство к случаю, когда матрица Нг диагональна). Вывести отсюда, что ! Тг (НгНз) ! < ф(Нг) Тг (Нз) .< Тг (Нг) Тг (НД (обозначения нз упражнения 17). Из атих неравенств получить, что для любых двух зндоморфнзмов и, э пространства Л выполняется неравенство г (иг) ( г (и) г (г). в) Сохраним предположение о коммутативности А. Пусть Ц (х — )ч) — разложение на линейные множители характеристичег=1 ского многочлена некоторого эндоморфнзма и пространства Н.
Данаи зать неравенство ~~~~ ! )ч )з ((г (и))з; показатьтакже, что левая и нраг=г вая части этого неравенства равны тогда и только тогда, когда эндоморфнзм и нормален (использовать упражнение 12). 19) Предполоягим, что выполнены условия из и' 3. Пусть М— квадратная матрица порядка и над телом А;показать, что для всякой ее квадратной подматрицы Н (полученной вычеркиванием некоторого числа строк к столбцов с одинаковыми номерами) выполняется неравенство Фэ (Дг) < Ф (ММ") (обозначення из упражнения 17) (применить должным образом формулу (4) упражнения 17).
Если, в частности, хитрица М нормальна, то ф (Н) ( ~р (М) (см. упражнение 17в)) . 20) Пусть выполненьг условия, указанные в и' 3. Предположим дополнительно, что А есть К или К (г). Применить результаты упражнений 17 и 19 к продолжению формы Ф на р-е внешние степени (з 1, и' 9) н к р-м внешним степеням рассматриваемых матриц и эндомори и физмов. Показать, в частности, что если Ц (Х вЂ” ) ) и Ц (Х вЂ” рг)— г=! г=г равложения на линейные множители характеристических многочленов эндоморфнзма и и андоморфизма иги, причем ! )ч ! ) ! Хг+~ ! и 9~)0;+,)~0 (1(г<п — 1), то при 1(п(п — 1 !' гпз.
° Ап ! ( Огра ° .Оп и !)гааз" )г )=ргрз" Е . ВРМИТОВЫ ФОРМЫ И УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 463 21) Пусть выполнены условия, укааанные в и' 3, и — армптов эндоморфпзм пространства Е и Д (Х вЂ” Л1) — разложение его харак1=1 теристического мпогочлена на линейные множители; продполоягим, что Л1 .Р Л1+~ (1 ( 1 ~, "и — 1).
а) Показать, что наибольшее (соответственно наименьшее) собственное аначенпе Л; иэ поля К равно наибольшему (соответственно наименьшему) значению формы Ф (и (х), х), когда х пробегает множество векторов х б Е таких, что Ф (х, х) =- 1. (Доказывать непосредственно плп сведя доказательство к случаю А = К (1), применить упражнение 16в) $7 и упражнение 4 й 3).) б) Пусть Ч'у — сужение армитовой формы Чг, ассоциированной с апдоморфизмом и, на векторное подпространство у пространства Е, и иу — зрмптов эндоморфпам подпространства У, ассоциированный с формой Ч'У. Показать, что если Г пробегает множество подпространств пространства Е размерности и — й+ 1, то Ль пвляется наименьшим из наябольших собственных значений эцдоморфизмов иу (использовать предложение 5). 22) Пусть выполнены условия, указанные в и' 3; предположим дополнительно, что А есть К (1) нли тело кватернионов над полем К, Пусть и, г — нормальные эндоморфпзмы пространства К; пусть, далее, (е1)1 1, (соответственно (ет)1<1<,) — разложение пространства Е в прямую сумму попарно ортогональных подпространств таких, что в ка~кдом Е, (соответственно Е)) имеется ортонормальный базис, составленный па собственных векторов эндоморфизма и (соответственно э), соответствующих одному и тому же собственному значению Л1 (соответственно 91), причем элементы Ль п Л1 (соответственно ру и рь) прн Ь ч"= 1 (соответственно при 1 чь х) не могут быть переведены друг в друга никаким внутренним автоморфизмом тела А (см.
предложение 4 и упражнение 9). Эндоморфнзм и пространства Е обладает свойством ию = юэ тогда и только тогда, когда при любом ( (1 (1 ( з) подпространство ю (Еу) содержится в одном иа Е1 и образ всякого собственного вектора эндоморфпзма ю соответствующего собственному значеяию рд при эндоморфизме и есть собственный вектор эндоморфизма и, соответствующий собственному значению дт (отсюДа, в частности, слеДУет, что элементы Ру и )ч пеРевоДЯтсЯ ДРУГ в друга некоторым внугреяним автоморфпзмом тела А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
