Диссертация (786043), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Следовательно, целиком ее образ {ℓ = 0, > 0} в разделяющее множество не входит, а входят в Θ лишь точки, в которых заканчиваются√̂︀ состоит из одной крикривые 2 : = 0, 1, 2. Итак, мы видим, что Θ ∖ Θвой ℓ = (4)−1 , смысл которой будет выявлен ниже. В работе [53] показано, что эта кривая соответствует экстремальному значению интеграла на семействе вырожденных критических точек ранга 1.
Таким образом,подавляющее число перестроек бифуркационных диаграмм отображений ℓ () происходит в случаях, когда в приведенной системе имеетсявырожденная критическая точка ранга 0, а множество Θ бифуркационных пар (ℓ, ) — это, за исключением одной кривой, образ вырожденных точек ранга 0, и множество Θ никак не связано с возможностьюпопадания нескольких критических точек ранга 0 на один интегральный уровень.581.3.3.
Диаграммы Смейла и изоэнергетические поверхностиВ задаче Ковалевской ( = 0) бифуркационную диаграмму интегралов энергии и площадей построил А. Якоб [102]. Он же с помощью конструкции Смейла (приведенное расслоение единичных сфер над областью возможности движения) определил топологический тип изоэнергетических многообразий – трехмерных уровней “приведенного гамильтониана” (1.3.2)3ℓ,ℎ = { ∈ ℓ4 : ℓ () = ℎ}.(1.3.36)Диаграмма отображения× : 5 → R2(обозначим ее ) в этом случае состоит из двух парабол10 : ℎ = −1 + ℓ2 ,20 : ℎ = 1 + ℓ2и пары симметричных относительно оси ℎ кривых, которые удобно записать в параметрической форме302 + 4: ℓ= √ ,4 2ℎ=3 1+ ,4 ∈ (0, 2].(1.3.37)Эти значения достигаются на относительных равновесиях, фазовые координаты которых√√︂4 − 2√1 = −, 2 = 0, 3 =22 √4 − 21 = − ,2 = 0, 3 =.22√︀ √︀Здесь радикалы , 4 − 2 – алгебраические.
Кривые (1.3.37) касаются верхней параболы в точках (±1, 2) и трансверсально ее пересекают вточках(︂ √︁)︂√√± 2( 2 − 1), 2 2 − 1 .59Точки возврата имеют координаты(︀√ )︀±2/33/4 , 3 , достигаются при2 = 4/3. Отметим, что при этом 34 = 4/3.Изоэнергетические поверхности пусты в области ℎ < −1 + ℓ2 .
Дляостальных областей, на которые делит плоскость ℓℎ, они диффеоморфны (см. рис. 1.4) следующим многообразиям 3 , 3 = ( 2 × 1 )#( 2 × 1 ), 2 × 1 , R 3 .(1.3.38)Гладкий тип 3ℓ,ℎ в любой точке (ℓ, ℎ) можно определить, зная индексМорса функции ℓ в ее критических точках, лежащих в прообразах бифуркационных кривых, и приходя в точку (ℓ, ℎ) вдоль вертикальной прямой из достаточно низко лежащей точки с заведомо недопустимым значением ℎ (то есть из такой точки, где 3ℓ,ℎ = ∅).hTCUS2×S1T1*2; 1(s+s)T3RPC1*1; 1(s+c)2*2; 2(c+c)hℓℓSI31*2; 1(s+s)1*0; 1(c+c)2*1; 2(s+c)SK3CРис.
1.4. Диаграмма Смейла классической задачи.Рассмотрим, что получается в классической задаче (конечно, этирезультаты известны [26, 103–105], но явные вычисления индексов никогда не предъявлялись). Характеристические многочлены оператора60a получим предельным переходом из (1.3.26)(︂)︂[︀ 2]︀110 : () = 2 + + (1 + ℓ2 ) ,2 )︂(︂]︀1 [︀ 220 : () = 2 − − (1 − ℓ2 ) ,2 [︂]︂√︀130 : () = (2 + 2 ) 2 − ( 4 + 4 − 22 ) .4Поэтому на нижней параболе все критические точки ранга 0 в прообразе имеют тип “центр-центр”, на верхней параболе – тип “седло-седло” наограниченном отрезке между двумя симметричными друг другу относительно оси ℎ точками касания с третьей кривой (в частности, вращения с центром масс в наивысшем положении при |ℓ| < 1 неустойчивы повсем переменным) и тип “седло-центр” на неограниченных участках запределами точек касания (вращения с центром масс в наивысшем положении при |ℓ| > 1 по части переменных устойчивы).
В прообразе каждойточки парабол такая критическая точка одна. На кривых (1.3.37) имеемв прообразе по две точки типа “седло-центр” при 4 < 4/3 (на ограниченных участках между точками возврата и касания ) и по две точкитипа “центр-центр” при 4 > 4/3 (на неограниченных участках от точеквозврата в бесконечность). Проход по гладкой ветви через точку трансверсального пересечения на тип не влияет.В силу механического характера гамильтониана ℓ его индекс Морса равен индексу Морса “эффективного потенциала” – функции на сфере Пуассона, субуровни которой есть области возможности движения(ОВД).
Эффективный потенциал для случая Ковалевской – Яхья, вычисленный по схеме Смейла, имеет видℓ,(2ℓ − 3 )2= −1 +.2[2(12 + 22 ) + 32 ]Для вычисления индекса Морса ограничения функции трех переменных (1 , 2 , 3 ) на сферу Пуассона (1.1.3) не вводя локальных координат, применим следующее утверждение.61Лемма 2. Рассмотрим дифференциальный операторΞ=×,(1.3.39)порождающий вторую группу уравнений (1.3.3).
Пусть 0 ∈ 2 = { :|| = 1} – невырожденная в смысле Морса критическая точка ограничения функции () на 2 . Индекс Морса функции в точке 0 равенколичеству отрицательных корней многочлена () =[︀]︀1det (Ξ2 )(0 ) − .Применяя к функции ℓ,0 , получим10 : () = ( − 1)[ − (ℓ2 + 1)],20 : () = ( + 1)[ − (ℓ2 − 1)],]︂[︂]︂[︂√︀√︀130 : () = + ( 4 + 4 + 2 ) − √( 4 + 4 − 22 ) .424+Расстановку индексов Морса и типов вдоль бифуркационных кривыхполучим как показано на рис.
1.4. Здесь обозначение * означает, чтов прообразе лежит точек индекса , обозначения + , + , + указывают тип точки (“центр-центр”, “седло-центр”, “седло-седло”).Известно, что при пересечении значением ℎ критического значенияпроисходят следующие перестройки ОВД (проекции уровня энергии наконфигурационное пространство): индекс 0 – добавление диска 2 , индекс 1 – приклейка ручки (из одного диска делает диск с дыркой, то естькольцо, а из двух дисков может сделать один), индекс 2 – заклейка дырки диском.Проведем на плоскости R2 (ℓ, ℎ) вертикальную прямую ℓ = const между точками и .
Вдоль нее гамильтониан и эффективный потенциалимеют критические значенияℎ1 = −1 + ℓ2 < ℎ2 < ℎ3 = 1 + ℓ2 < ℎ462с количеством критических точек в прообразе соответственно 1, 2, 1, 2 синдексами 0, 1, 2, 2. В соответствии с этим ОВД на сфере таковы: диск,диск с двумя дырками (сфера с тремя дырками), кольцо (сфера с двумя дырками), сфера. Приведенные расслоения единичных окружностейнад ними дают соответственно многообразия (1.3.38).В общем случае вычисления при > 0 дают следующие показателиМорса.Теорема 6.
Корни характеристического многочлена () в критических точках (1.3.8) в обозначениях предложения 2 таковы11 = − [( − ) + ],212 = −[(2 − )( − ) − ] [(2 − )( − ) + ].2( − )В частности, знак 1 всегда противоположен знаку , поэтому 1 положительно в области 1 и отрицательно в областях 2 , 3 . Знак 2 определяется расположением точки (, ) относительно разделяющих кривых , 0 , 23 , 24 , 31 . В итоге, индекс Морса эффективного потенциалаℓ, и гамильтониана ℓ, равен0 в области 1 ,1 в областях 23 , 27 , 31 ,2 в областях 21 , 22 , 24 , 25 , 26 , 28 , 32 .На рис. 1.5 приведены пары показателей Морса, а также показана некоторая информация (о которой будет сказано ниже), необходимаядля анализа видоизменений диаграммы Смейла при ненулевых .63ld27p0d24 d25 d28p2423/22l =3 3/4*++-P0l*=pd1-+d26p23 d2112 3/4( 43 )d31d22d23 - -+- -p31d32-+--1/4( -43 )r1/4Рис.
1.5. Показатели Морса эффективного потенциала.Замечание 6. На рисунке впервые появились обозначения двух ключевых значений параметра :* = (4/3)3/4 .* = 1/23/4 ,(1.3.40)Первое из них есть ордината узловой точки 0 , где собирается несколько разделяющих кривых. Второе значение – это минимум на кривойℓ0 , заданной уравнением (1.3.33). Эти важные величины будут постоянно встречаться в дальнейшем, о чем мы будем иногда напоминать.Эволюция диаграмм Смейла такова.
При возмущении от нулевогозначения кривая 10 трансформируется в 1 , перестает быть параболой,но никаких особых точек на ней не возникает. Каждая связная частькривой 30 , за точками которой стоит по две критических точки, расщепляется, а один из отрезков, полученных из ограниченного участка, объединяется с ветвью кривой 20 выше точки . Возникает 3 , у которой64h2S ×S1d323RPd24hd31ℓd32S ×Sd21d1Kℓd22d23S33Рис. 1.6. Диаграмма при малых .каждая из симметричных относительно ℎ компонент состоит из двухбесконечных ветвей, сходящихся в точке возврата, возмущенной из .Из второй части 30 и кривой 20 склеивается кривая 2 , треугольник порождает на ней ласточкин хвост. С учетом уже известных индексовМорса получаем картину, показанную на рис.
1.6. Этот тип диаграммы сохраняется при всех ∈ (0, 1 ), где 1 такое значение параметра,при котором самая правая точка возврата на кривой 2 (отвечающая разделяющей кривой 24 ) попадает на кривую 3 . Ранее существование такого значения было предсказано на основе численного моделирования[83, 84, 96], но вычислить его аналитически не удавалось. Современныесистемы аналитических вычислений (САВ) позволяют это сделать. Запишем систему уравнений, исходя из (1.3.11), (1.3.32) (необходимо выбрать знак > 0):ℓ(, ) = ℓ(0 , ),ℎ(, ) = ℎ(0 , ),)︁√︀1 (︁1/34/30 =−4+. (1.3.41)2Заметим, что она описывает не только все возможные случаи попадания точки 24 на кривую 3 , но и гипотетическую возможность ее попадания на другую ветвь кривой 2 .
Исключим из этой системы 0 , , пола65гая 0 ̸= . Последовательность действий такова. Избавляемся в первыхдвух уравнениях от радикала , подставляем 0 и делаем замену = 1/3 .√Два полученных уравнения сокращаются на (2 − 3 + 4 + 4 )2 (чтосоответствует = 0 ).
Приходим к системе√13 (, ) + ( 3 − )8 (, ) 4 + 4 = 0,√25 (, ) + ( 3 − )20 (, ) 4 + 4 = 0,(1.3.42)где (, ) — многочлен степени по . Вычисляем результант левых√частей по в подстановке = ( 2 + 4 + 4 )2 , что соответствует замене2/3 = (√︀+ 4 + 4/3 )2 .(1.3.43)Получим уравнение( − 8)2 ( 2 − 16)4 ( + 4)2 1 ()2 () = 0,где1 = 4 − 24 3 + 720 2 − 2048 − 3072,2 = 4 15 − 293 14 + 7864 13 − 70320 12− 831232 11 + 26316032 10 − 263235584 9 + 1223192576 8− 2241200128 7 + 323747840 6 + 1465909248 5 − 16521363456 4− 25736249344 3 − 74155294720 2 − 75161927680 − 17179869184.При вытекающем из (1.3.43) очевидном условии > 4 уравнение2 () = 0 имеет единственный вещественный корень ≈ 11.2707, прикотором ≈ 1.1268 и единственный общий вещественный корень уравнений (1.3.42) ≈ 0.002089 ∈ (0, ), то есть не дает точек из 2,3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
