Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786043), страница 9

Файл №786043 Диссертация (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела) 9 страницаДиссертация (786043) страница 92019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Следовательно, целиком ее образ {ℓ = 0, > 0} в разделяющее множество не входит, а входят в Θ лишь точки, в которых заканчиваются√̂︀ состоит из одной крикривые 2 : = 0, 1, 2. Итак, мы видим, что Θ ∖ Θвой ℓ = (4)−1 , смысл которой будет выявлен ниже. В работе [53] показано, что эта кривая соответствует экстремальному значению интеграла на семействе вырожденных критических точек ранга 1.

Таким образом,подавляющее число перестроек бифуркационных диаграмм отображений ℓ () происходит в случаях, когда в приведенной системе имеетсявырожденная критическая точка ранга 0, а множество Θ бифуркационных пар (ℓ, ) — это, за исключением одной кривой, образ вырожденных точек ранга 0, и множество Θ никак не связано с возможностьюпопадания нескольких критических точек ранга 0 на один интегральный уровень.581.3.3.

Диаграммы Смейла и изоэнергетические поверхностиВ задаче Ковалевской ( = 0) бифуркационную диаграмму интегралов энергии и площадей построил А. Якоб [102]. Он же с помощью конструкции Смейла (приведенное расслоение единичных сфер над областью возможности движения) определил топологический тип изоэнергетических многообразий – трехмерных уровней “приведенного гамильтониана” (1.3.2)3ℓ,ℎ = { ∈ ℓ4 : ℓ () = ℎ}.(1.3.36)Диаграмма отображения× : 5 → R2(обозначим ее ) в этом случае состоит из двух парабол10 : ℎ = −1 + ℓ2 ,20 : ℎ = 1 + ℓ2и пары симметричных относительно оси ℎ кривых, которые удобно записать в параметрической форме302 + 4: ℓ= √ ,4 2ℎ=3 1+ ,4 ∈ (0, 2].(1.3.37)Эти значения достигаются на относительных равновесиях, фазовые координаты которых√√︂4 − 2√1 = −, 2 = 0, 3 =22 √4 − 21 = − ,2 = 0, 3 =.22√︀ √︀Здесь радикалы , 4 − 2 – алгебраические.

Кривые (1.3.37) касаются верхней параболы в точках (±1, 2) и трансверсально ее пересекают вточках(︂ √︁)︂√√± 2( 2 − 1), 2 2 − 1 .59Точки возврата имеют координаты(︀√ )︀±2/33/4 , 3 , достигаются при2 = 4/3. Отметим, что при этом 34 = 4/3.Изоэнергетические поверхности пусты в области ℎ < −1 + ℓ2 .

Дляостальных областей, на которые делит плоскость ℓℎ, они диффеоморфны (см. рис. 1.4) следующим многообразиям 3 , 3 = ( 2 × 1 )#( 2 × 1 ), 2 × 1 , R 3 .(1.3.38)Гладкий тип 3ℓ,ℎ в любой точке (ℓ, ℎ) можно определить, зная индексМорса функции ℓ в ее критических точках, лежащих в прообразах бифуркационных кривых, и приходя в точку (ℓ, ℎ) вдоль вертикальной прямой из достаточно низко лежащей точки с заведомо недопустимым значением ℎ (то есть из такой точки, где 3ℓ,ℎ = ∅).hTCUS2×S1T1*2; 1(s+s)T3RPC1*1; 1(s+c)2*2; 2(c+c)hℓℓSI31*2; 1(s+s)1*0; 1(c+c)2*1; 2(s+c)SK3CРис.

1.4. Диаграмма Смейла классической задачи.Рассмотрим, что получается в классической задаче (конечно, этирезультаты известны [26, 103–105], но явные вычисления индексов никогда не предъявлялись). Характеристические многочлены оператора60a получим предельным переходом из (1.3.26)(︂)︂[︀ 2]︀110 : () = 2 + + (1 + ℓ2 ) ,2 )︂(︂]︀1 [︀ 220 : () = 2 − − (1 − ℓ2 ) ,2 [︂]︂√︀130 : () = (2 + 2 ) 2 − ( 4 + 4 − 22 ) .4Поэтому на нижней параболе все критические точки ранга 0 в прообразе имеют тип “центр-центр”, на верхней параболе – тип “седло-седло” наограниченном отрезке между двумя симметричными друг другу относительно оси ℎ точками касания с третьей кривой (в частности, вращения с центром масс в наивысшем положении при |ℓ| < 1 неустойчивы повсем переменным) и тип “седло-центр” на неограниченных участках запределами точек касания (вращения с центром масс в наивысшем положении при |ℓ| > 1 по части переменных устойчивы).

В прообразе каждойточки парабол такая критическая точка одна. На кривых (1.3.37) имеемв прообразе по две точки типа “седло-центр” при 4 < 4/3 (на ограниченных участках между точками возврата и касания ) и по две точкитипа “центр-центр” при 4 > 4/3 (на неограниченных участках от точеквозврата в бесконечность). Проход по гладкой ветви через точку трансверсального пересечения на тип не влияет.В силу механического характера гамильтониана ℓ его индекс Морса равен индексу Морса “эффективного потенциала” – функции на сфере Пуассона, субуровни которой есть области возможности движения(ОВД).

Эффективный потенциал для случая Ковалевской – Яхья, вычисленный по схеме Смейла, имеет видℓ,(2ℓ − 3 )2= −1 +.2[2(12 + 22 ) + 32 ]Для вычисления индекса Морса ограничения функции трех переменных (1 , 2 , 3 ) на сферу Пуассона (1.1.3) не вводя локальных координат, применим следующее утверждение.61Лемма 2. Рассмотрим дифференциальный операторΞ=×,(1.3.39)порождающий вторую группу уравнений (1.3.3).

Пусть 0 ∈ 2 = { :|| = 1} – невырожденная в смысле Морса критическая точка ограничения функции () на 2 . Индекс Морса функции в точке 0 равенколичеству отрицательных корней многочлена () =[︀]︀1det (Ξ2 )(0 ) − .Применяя к функции ℓ,0 , получим10 : () = ( − 1)[ − (ℓ2 + 1)],20 : () = ( + 1)[ − (ℓ2 − 1)],]︂[︂]︂[︂√︀√︀130 : () = + ( 4 + 4 + 2 ) − √( 4 + 4 − 22 ) .424+Расстановку индексов Морса и типов вдоль бифуркационных кривыхполучим как показано на рис.

1.4. Здесь обозначение * означает, чтов прообразе лежит точек индекса , обозначения + , + , + указывают тип точки (“центр-центр”, “седло-центр”, “седло-седло”).Известно, что при пересечении значением ℎ критического значенияпроисходят следующие перестройки ОВД (проекции уровня энергии наконфигурационное пространство): индекс 0 – добавление диска 2 , индекс 1 – приклейка ручки (из одного диска делает диск с дыркой, то естькольцо, а из двух дисков может сделать один), индекс 2 – заклейка дырки диском.Проведем на плоскости R2 (ℓ, ℎ) вертикальную прямую ℓ = const между точками и .

Вдоль нее гамильтониан и эффективный потенциалимеют критические значенияℎ1 = −1 + ℓ2 < ℎ2 < ℎ3 = 1 + ℓ2 < ℎ462с количеством критических точек в прообразе соответственно 1, 2, 1, 2 синдексами 0, 1, 2, 2. В соответствии с этим ОВД на сфере таковы: диск,диск с двумя дырками (сфера с тремя дырками), кольцо (сфера с двумя дырками), сфера. Приведенные расслоения единичных окружностейнад ними дают соответственно многообразия (1.3.38).В общем случае вычисления при > 0 дают следующие показателиМорса.Теорема 6.

Корни характеристического многочлена () в критических точках (1.3.8) в обозначениях предложения 2 таковы11 = − [( − ) + ],212 = −[(2 − )( − ) − ] [(2 − )( − ) + ].2( − )В частности, знак 1 всегда противоположен знаку , поэтому 1 положительно в области 1 и отрицательно в областях 2 , 3 . Знак 2 определяется расположением точки (, ) относительно разделяющих кривых , 0 , 23 , 24 , 31 . В итоге, индекс Морса эффективного потенциалаℓ, и гамильтониана ℓ, равен0 в области 1 ,1 в областях 23 , 27 , 31 ,2 в областях 21 , 22 , 24 , 25 , 26 , 28 , 32 .На рис. 1.5 приведены пары показателей Морса, а также показана некоторая информация (о которой будет сказано ниже), необходимаядля анализа видоизменений диаграммы Смейла при ненулевых .63ld27p0d24 d25 d28p2423/22l =3 3/4*++-P0l*=pd1-+d26p23 d2112 3/4( 43 )d31d22d23 - -+- -p31d32-+--1/4( -43 )r1/4Рис.

1.5. Показатели Морса эффективного потенциала.Замечание 6. На рисунке впервые появились обозначения двух ключевых значений параметра :* = (4/3)3/4 .* = 1/23/4 ,(1.3.40)Первое из них есть ордината узловой точки 0 , где собирается несколько разделяющих кривых. Второе значение – это минимум на кривойℓ0 , заданной уравнением (1.3.33). Эти важные величины будут постоянно встречаться в дальнейшем, о чем мы будем иногда напоминать.Эволюция диаграмм Смейла такова.

При возмущении от нулевогозначения кривая 10 трансформируется в 1 , перестает быть параболой,но никаких особых точек на ней не возникает. Каждая связная частькривой 30 , за точками которой стоит по две критических точки, расщепляется, а один из отрезков, полученных из ограниченного участка, объединяется с ветвью кривой 20 выше точки . Возникает 3 , у которой64h2S ×S1d323RPd24hd31ℓd32S ×Sd21d1Kℓd22d23S33Рис. 1.6. Диаграмма при малых .каждая из симметричных относительно ℎ компонент состоит из двухбесконечных ветвей, сходящихся в точке возврата, возмущенной из .Из второй части 30 и кривой 20 склеивается кривая 2 , треугольник порождает на ней ласточкин хвост. С учетом уже известных индексовМорса получаем картину, показанную на рис.

1.6. Этот тип диаграммы сохраняется при всех ∈ (0, 1 ), где 1 такое значение параметра,при котором самая правая точка возврата на кривой 2 (отвечающая разделяющей кривой 24 ) попадает на кривую 3 . Ранее существование такого значения было предсказано на основе численного моделирования[83, 84, 96], но вычислить его аналитически не удавалось. Современныесистемы аналитических вычислений (САВ) позволяют это сделать. Запишем систему уравнений, исходя из (1.3.11), (1.3.32) (необходимо выбрать знак > 0):ℓ(, ) = ℓ(0 , ),ℎ(, ) = ℎ(0 , ),)︁√︀1 (︁1/34/30 =−4+. (1.3.41)2Заметим, что она описывает не только все возможные случаи попадания точки 24 на кривую 3 , но и гипотетическую возможность ее попадания на другую ветвь кривой 2 .

Исключим из этой системы 0 , , пола65гая 0 ̸= . Последовательность действий такова. Избавляемся в первыхдвух уравнениях от радикала , подставляем 0 и делаем замену = 1/3 .√Два полученных уравнения сокращаются на (2 − 3 + 4 + 4 )2 (чтосоответствует = 0 ).

Приходим к системе√13 (, ) + ( 3 − )8 (, ) 4 + 4 = 0,√25 (, ) + ( 3 − )20 (, ) 4 + 4 = 0,(1.3.42)где (, ) — многочлен степени по . Вычисляем результант левых√частей по в подстановке = ( 2 + 4 + 4 )2 , что соответствует замене2/3 = (√︀+ 4 + 4/3 )2 .(1.3.43)Получим уравнение( − 8)2 ( 2 − 16)4 ( + 4)2 1 ()2 () = 0,где1 = 4 − 24 3 + 720 2 − 2048 − 3072,2 = 4 15 − 293 14 + 7864 13 − 70320 12− 831232 11 + 26316032 10 − 263235584 9 + 1223192576 8− 2241200128 7 + 323747840 6 + 1465909248 5 − 16521363456 4− 25736249344 3 − 74155294720 2 − 75161927680 − 17179869184.При вытекающем из (1.3.43) очевидном условии > 4 уравнение2 () = 0 имеет единственный вещественный корень ≈ 11.2707, прикотором ≈ 1.1268 и единственный общий вещественный корень уравнений (1.3.42) ≈ 0.002089 ∈ (0, ), то есть не дает точек из 2,3 .

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее