Диссертация (786043), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Гашененко[80], отметив, что такие точки принадлежат пересечению ℳ1 с объединением множеств ℳ2 , ℳ3 . Следовательно, удобно выбрать в качественезависимого параметра величину 3 = в равенствах (1.1.25). При этоммногочлен (1.1.26) должен иметь кратный корень, что и позволяет легко выразить все неизвестные через .
Естественно, те же выражения дает и система (1.3.5). С учетом результатов [80, 97] приходим к следующему утверждению.Предложение 2 (И.Н. Гашененко [80]). Множество критических точекранга 0 описывается следующей системой уравнений√︃ [︂]︂11 = ±− + , 2 = 0, 3 = ,2−√︃ [︂[︂]︂]︂−111 = − , 2 = 0, 3 = ∓( − ) ,− +− +2−2−(1.3.8)где=±√︀2 ( − )2 + 4,43(1.3.9)параметр пробегает множество ∈ (−∞, 0] ∪ [0, ) ∪ (, +∞),(1.3.10)знак совпадает со знаком ( − ) при ̸= 0 и произволен при = 0. Приэтом значения первых интегралов таковы√︃ [︂]︂1112 − ℓ = ∓ [( − ) + ]− + , ℎ = − ( − ) +,22−22( − )(1.3.11)а неопределенный множитель√︂]︀1 [︀ = ∓√( − ) + .2 −Знаки 1 , 3 , ℓ, согласованы (все верхние или все нижние).Сравнивая с уравнениями (1.1.25) видим, что точки ранга 0 получаются в подсистеме ℳ1 , если положить[︂]︂12 =− + .2−(1.3.12)Замечание 3.
Убедиться в том, что во всех найденных точках равеннулю и дифференциал (|ℓ4 ), можно записав уравнения (1.3.3) для функции = − 4,√︃ [︂]︂1=∓− + .− 2−Для диаграмм Смейла значение интеграла несущественно, однакониже нам понадобится также и это значение в точках (1.3.8). Согласно [80] его можно представить в виде[︀]︀[︀]︀=(−)−(−)(4−3)−.4( − )2(1.3.13)Вычислим также в точках (1.3.8) значения частных интегралов всистемах ℳ , то есть значения параметра на поверхностях Π в точках ранга 0. Используя (1.2.17), (1.2.18), находимℳ1 :ℳ2,3 :1 = [( − ) + ],2−=[( − ) − ].444(1.3.14)(1.3.15)0C20C1(w,a)l0rC3Рис.
1.1. Поверхности относительных равновесий.Из (1.3.8), (1.3.10) сразу же следует, что множество 0 имеет ровночетыре связных компоненты, гомеоморфных R. В соответствии с областью изменения введем обозначения для подмножеств в 0 , определяемых формулами (1.3.8):10 : ∈ [0, ), < 0, lim = −2,→+020 : ∈ (−∞, 0], > 0, lim = 2,(1.3.16)→−030 : ∈ (, +∞), > 0.Первые два множества связны, последнее состоит из двух компонент,отличающихся знаком 1 . В 10 и 20 каждому значению ̸= 0 отвечаетровно две точки, в 10 значению = 0 отвечает точка = 0, = {1, 0, 0}нижнего положения равновесия тела (для дальнейшего обозначим ее всоответствии со стремлением к нулю справа через + ), а в 20 нулевоезначение приводит к точке = 0, = {−1, 0, 0} верхнего положенияравновесия (обозначим ее через − ).
На множествах (1.3.16) определенаочевидная симметрияsymm : (1 , 3 ) ↦→ (−1 , −3 ),(1.3.17)которая меняет знак постоянной площадей ℓ, связные множества 10 , 20переводит в себя, а в множестве 30 меняет местами связные компоненты.45Устройство семейства множеств 0 () проиллюстрировано на рис. 1.1[98].1.3.2. Классификация критических точек ранга 0В этом разделе мы приводим результаты, касающиеся аналитической классификации типов критических точек ранга 0 в соответствии сработами [52] и [98].Напомним некоторые факты и определения, связанные с понятиемтипа критической точки в интегрируемой системе [26].Пусть — симплектическое многообразие.
Любой гладкой функции : → R сопоставляется гамильтоново векторное поле на ,обозначаемое sgrad . Скобки Пуассона, порожденные симплектическойструктурой, обозначаем через {·, ·}, так что дифференциальные уравнения системы sgrad имеют вид˙ = {, }.Заметим, что обычно аргументы скобки в правой части пишут в обратном порядке, однако, легко проверить, что именно выражение {, } приводит к тому, что из определений (1.1.6), (1.1.4) следуют уравнения(1.1.1). Имеются и другие подходы к разрешению этого несоответствия.Так, в [99] предлагается изменить знаки в определении скобок (1.1.6),а в [100] в качестве импульсов берутся компоненты кинетического момента с обратным знаком.Пусть dim = 2 и гамильтонова система sgrad имеет функционально независимых первых интегралов1 , .
. . , в инволюции ({ , } ≡ 0). Точка ∈ называется критической ранга < , если ранг системы векторов sgrad в точке равен . Введем46понятие типа критической точки, следуя [26].Рассмотрим критическую точку ранга − ( > 0). Пусть далее вэтом разделе индекс пробегает множество 1, . . . , . Линейной заменойc постоянными коэффициентами системы функций 1 , . . . , можно добиться того, чтобы точка была критической для каждой из функций и регулярной для всех остальных. Тогда sgrad () = 0 и линеаризацияэтого поля в точке есть симплектический оператор a : → . Линейная оболочка A() таких операторов есть подалгебра в алгебре всехсимплектических операторов на .Определение 3 ([26]).
Точка называется невырожденной критическойточкой ранга − , если A() есть подалгебра Картана, что равносильно следующим требованиям:1∘ )симплектическиеоператорыaлинейнонезависимы(dim A() = );2∘ ) существует оператор a ∈ A(), у которого все собственные числа различны.Напомним, что собственные числа симплектического оператора разбиваются на группы: пары чисто мнимых ±i , пары вещественных ± ичетверки комплексных ± ± i ( ̸= 0). Для оператора a в проекции накорневые подпространства таких групп поле sgrad имеет соответственно центр, седло или фокус.
Оператор a ∈ A() с различными собственными числами называется регулярным элементом. Выбрав в невырожденной точке регулярный элемент, обозначим через 1 , 2 , 3 соответственно количество центров, седел и фокусов ( = 1 + 2 + 23 ). От выборарегулярного элемента эти целые неотрицательные числа не зависят.Определение 4 ([26]).
Четверка ( − , 1 , 2 , 3 ) называется типомневырожденной критической точки .47Для систем с двумя степенями свободы распространены более наглядные названия. Для точек ранга 0 тип (0, 2, 0, 0) называется “центрцентр”, тип (0, 1, 1, 0) называется “центр-седло”, тип (0, 0, 2, 0) называется “седло-седло”.
Для точек ранга 1 тип (1, 1, 0, 0) называется “центр”, атип (1, 0, 1, 0) называется “седло”. Других типов (в частности, фокусов)мы в этой задаче не встретим.Знание типа невырожденной критической точки в значительной мере (но не полностью) определяет слоение Лиувилля (слоение совместныхуровней первых интегралов в инволюции) в окрестности этой точки.Для построения грубого топологического описания слоения Лиувилля(например, в виде круговой молекулы без меток в системе с двумя степенями свободы) достаточно знать еще количество связных компонентрегулярных и критических интегральных поверхностей.
Для критических уровней малой сложности (то есть когда на одну связную компоненту попадает мало критических орбит), например, для критическихточек ранга 0 с одной точкой на слое, этого оказывается достаточно идля нахождения тонкого топологического инварианта (меченой круговой молекулы) в силу наличия описания всех имеющихся возможностей [26]. Ниже мы представим такое описание в рассматриваемой задаче.Заметим, что эта терминология не является общепринятой и используется здесь для удобства.Для уравнений Эйлера – Пуассона 2-форма, индуцированная на 5симплектической структурой многообразия (3), вырождена.
Введенные понятия необходимо рассматривать с точки зрения систем на ℓ4 .Явный переход к этим системам делает вычисления необозримыми. Однако в этом нет необходимости. Скобка Пуассона (1.1.6), хотя и вырожденная, корректно сопоставляет функции поле sgrad , определенноеуравнениями48Ṁ = M ×+×,M˙ =×.M(1.3.18)Замечание 4. Если есть функция Казимира, то есть тождественнозависима с и Γ = 2 , то правые части (1.3.18) — тождественныйноль.
В связи с этим при вычислении линеаризации полей sgrad произвольных функций и собственных чисел соответствующих операторов в R6 нет необходимости учитывать неопределенные множителиЛагранжа для функций и Γ — необходимо лишь учесть определение 1и отбросить два нулевых собственных числа, которые здесь обязательно существуют.Физическая модель гиростата – это система с четырьмя степенямисвободы (тело плюс ротор), для которой есть константа циклическогоинтеграла. Уравнения Эйлера – Пуассона получены понижением порядка в этой системе.
Поэтому все рассуждения о постоянстве каких-либосвойств в пространстве интегральных или иных параметров естественно рассматривать в расширенном пространстве этих параметров, включающих ось R = R(). В связи с этим будем использовать следующееобозначение. Пусть — какое-либо множество, а () — семейство егоподмножеств, зависящих от параметра .
ОбозначимΛ() = × R,Λ() =⋃︁() × {} ⊂ Λ().(1.3.19)В соответствии с этим рассмотрим расширенное множествоΛ( 0 ) ⊂ Λ( 5 ) = 5 ×R. Напомним, что согласно (1.1.8) мы считаем > 0,а случай = 0 рассматриваем лишь как предельную возможность там,где это явно оговорено. По предложению 2 множество Λ( 0 ) непрерывнодважды накрывает область0 = {(, ) ∈ R2 : > 0, ̸= }.49Замечание 5. Для дальнейшего условимся образы множеств Λ(0 ) в различных пространствах параметров (постоянных общих и частных интегралов, физического параметра ) обозначать через ( = 1, 2, 3). Вчастности, как подмножества в 0 они имеют вид1 : {(, ) : 0 6 < , > 0},2 : {(, ) : 6 0, > 0},(1.3.20)3 : {(, ) : > , > 0}.Подмножества этих множеств, полученные в результате дальнейшейдетализации, будут снабжаться двойными индексами.Напомним существование на 0 симметрии (1.3.17).Определение 5.
Будем говорить, что точки 1 , 2 ∈ Λ( 0 ) принадлежатк одному классу, если существует непрерывный путь в Λ( 0 ), соединяющий эти точки или точку 1 с точкой symm(2 ), вдоль которого не меняется тип критических точек.Пусть (, ) ∈ 0 . Обозначим через ± (, ) точку (1.3.8) при ̸= 0 и, всоответствии с предложением 2, при выбранном знаке величины (1.3.9)sgn = sgn[( − )]. Согласно принятым ранее обозначениям имеемlim ± (, ) = + ∈ 10 ,lim ± (, ) = − ∈ 20 .→+0→−0Определение 6. Точку (, ) ∈ 0 назовем разделяющей, если в любой ееокрестности найдутся образы точек из Λ( 0 ) разных классов.Разделяющим является луч запрещенных точек = , > 0. Обозначим его через .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
