Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786043), страница 7

Файл №786043 Диссертация (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела) 7 страницаДиссертация (786043) страница 72019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Гашененко[80], отметив, что такие точки принадлежат пересечению ℳ1 с объединением множеств ℳ2 , ℳ3 . Следовательно, удобно выбрать в качественезависимого параметра величину 3 = в равенствах (1.1.25). При этоммногочлен (1.1.26) должен иметь кратный корень, что и позволяет легко выразить все неизвестные через .

Естественно, те же выражения дает и система (1.3.5). С учетом результатов [80, 97] приходим к следующему утверждению.Предложение 2 (И.Н. Гашененко [80]). Множество критических точекранга 0 описывается следующей системой уравнений√︃ [︂]︂11 = ±− + , 2 = 0, 3 = ,2−√︃ [︂[︂]︂]︂−111 = − , 2 = 0, 3 = ∓( − ) ,− +− +2−2−(1.3.8)где=±√︀2 ( − )2 + 4,43(1.3.9)параметр пробегает множество ∈ (−∞, 0] ∪ [0, ) ∪ (, +∞),(1.3.10)знак совпадает со знаком ( − ) при ̸= 0 и произволен при = 0. Приэтом значения первых интегралов таковы√︃ [︂]︂1112 − ℓ = ∓ [( − ) + ]− + , ℎ = − ( − ) +,22−22( − )(1.3.11)а неопределенный множитель√︂]︀1 [︀ = ∓√( − ) + .2 −Знаки 1 , 3 , ℓ, согласованы (все верхние или все нижние).Сравнивая с уравнениями (1.1.25) видим, что точки ранга 0 получаются в подсистеме ℳ1 , если положить[︂]︂12 =− + .2−(1.3.12)Замечание 3.

Убедиться в том, что во всех найденных точках равеннулю и дифференциал (|ℓ4 ), можно записав уравнения (1.3.3) для функции = − 4,√︃ [︂]︂1=∓− + .− 2−Для диаграмм Смейла значение интеграла несущественно, однакониже нам понадобится также и это значение в точках (1.3.8). Согласно [80] его можно представить в виде[︀]︀[︀]︀=(−)−(−)(4−3)−.4( − )2(1.3.13)Вычислим также в точках (1.3.8) значения частных интегралов всистемах ℳ , то есть значения параметра на поверхностях Π в точках ранга 0. Используя (1.2.17), (1.2.18), находимℳ1 :ℳ2,3 :1 = [( − ) + ],2−=[( − ) − ].444(1.3.14)(1.3.15)0C20C1(w,a)l0rC3Рис.

1.1. Поверхности относительных равновесий.Из (1.3.8), (1.3.10) сразу же следует, что множество 0 имеет ровночетыре связных компоненты, гомеоморфных R. В соответствии с областью изменения введем обозначения для подмножеств в 0 , определяемых формулами (1.3.8):10 : ∈ [0, ), < 0, lim = −2,→+020 : ∈ (−∞, 0], > 0, lim = 2,(1.3.16)→−030 : ∈ (, +∞), > 0.Первые два множества связны, последнее состоит из двух компонент,отличающихся знаком 1 . В 10 и 20 каждому значению ̸= 0 отвечаетровно две точки, в 10 значению = 0 отвечает точка = 0, = {1, 0, 0}нижнего положения равновесия тела (для дальнейшего обозначим ее всоответствии со стремлением к нулю справа через + ), а в 20 нулевоезначение приводит к точке = 0, = {−1, 0, 0} верхнего положенияравновесия (обозначим ее через − ).

На множествах (1.3.16) определенаочевидная симметрияsymm : (1 , 3 ) ↦→ (−1 , −3 ),(1.3.17)которая меняет знак постоянной площадей ℓ, связные множества 10 , 20переводит в себя, а в множестве 30 меняет местами связные компоненты.45Устройство семейства множеств 0 () проиллюстрировано на рис. 1.1[98].1.3.2. Классификация критических точек ранга 0В этом разделе мы приводим результаты, касающиеся аналитической классификации типов критических точек ранга 0 в соответствии сработами [52] и [98].Напомним некоторые факты и определения, связанные с понятиемтипа критической точки в интегрируемой системе [26].Пусть — симплектическое многообразие.

Любой гладкой функции : → R сопоставляется гамильтоново векторное поле на ,обозначаемое sgrad . Скобки Пуассона, порожденные симплектическойструктурой, обозначаем через {·, ·}, так что дифференциальные уравнения системы sgrad имеют вид˙ = {, }.Заметим, что обычно аргументы скобки в правой части пишут в обратном порядке, однако, легко проверить, что именно выражение {, } приводит к тому, что из определений (1.1.6), (1.1.4) следуют уравнения(1.1.1). Имеются и другие подходы к разрешению этого несоответствия.Так, в [99] предлагается изменить знаки в определении скобок (1.1.6),а в [100] в качестве импульсов берутся компоненты кинетического момента с обратным знаком.Пусть dim = 2 и гамильтонова система sgrad имеет функционально независимых первых интегралов1 , .

. . , в инволюции ({ , } ≡ 0). Точка ∈ называется критической ранга < , если ранг системы векторов sgrad в точке равен . Введем46понятие типа критической точки, следуя [26].Рассмотрим критическую точку ранга − ( > 0). Пусть далее вэтом разделе индекс пробегает множество 1, . . . , . Линейной заменойc постоянными коэффициентами системы функций 1 , . . . , можно добиться того, чтобы точка была критической для каждой из функций и регулярной для всех остальных. Тогда sgrad () = 0 и линеаризацияэтого поля в точке есть симплектический оператор a : → . Линейная оболочка A() таких операторов есть подалгебра в алгебре всехсимплектических операторов на .Определение 3 ([26]).

Точка называется невырожденной критическойточкой ранга − , если A() есть подалгебра Картана, что равносильно следующим требованиям:1∘ )симплектическиеоператорыaлинейнонезависимы(dim A() = );2∘ ) существует оператор a ∈ A(), у которого все собственные числа различны.Напомним, что собственные числа симплектического оператора разбиваются на группы: пары чисто мнимых ±i , пары вещественных ± ичетверки комплексных ± ± i ( ̸= 0). Для оператора a в проекции накорневые подпространства таких групп поле sgrad имеет соответственно центр, седло или фокус.

Оператор a ∈ A() с различными собственными числами называется регулярным элементом. Выбрав в невырожденной точке регулярный элемент, обозначим через 1 , 2 , 3 соответственно количество центров, седел и фокусов ( = 1 + 2 + 23 ). От выборарегулярного элемента эти целые неотрицательные числа не зависят.Определение 4 ([26]).

Четверка ( − , 1 , 2 , 3 ) называется типомневырожденной критической точки .47Для систем с двумя степенями свободы распространены более наглядные названия. Для точек ранга 0 тип (0, 2, 0, 0) называется “центрцентр”, тип (0, 1, 1, 0) называется “центр-седло”, тип (0, 0, 2, 0) называется “седло-седло”.

Для точек ранга 1 тип (1, 1, 0, 0) называется “центр”, атип (1, 0, 1, 0) называется “седло”. Других типов (в частности, фокусов)мы в этой задаче не встретим.Знание типа невырожденной критической точки в значительной мере (но не полностью) определяет слоение Лиувилля (слоение совместныхуровней первых интегралов в инволюции) в окрестности этой точки.Для построения грубого топологического описания слоения Лиувилля(например, в виде круговой молекулы без меток в системе с двумя степенями свободы) достаточно знать еще количество связных компонентрегулярных и критических интегральных поверхностей.

Для критических уровней малой сложности (то есть когда на одну связную компоненту попадает мало критических орбит), например, для критическихточек ранга 0 с одной точкой на слое, этого оказывается достаточно идля нахождения тонкого топологического инварианта (меченой круговой молекулы) в силу наличия описания всех имеющихся возможностей [26]. Ниже мы представим такое описание в рассматриваемой задаче.Заметим, что эта терминология не является общепринятой и используется здесь для удобства.Для уравнений Эйлера – Пуассона 2-форма, индуцированная на 5симплектической структурой многообразия (3), вырождена.

Введенные понятия необходимо рассматривать с точки зрения систем на ℓ4 .Явный переход к этим системам делает вычисления необозримыми. Однако в этом нет необходимости. Скобка Пуассона (1.1.6), хотя и вырожденная, корректно сопоставляет функции поле sgrad , определенноеуравнениями48Ṁ = M ×+×,M˙ =×.M(1.3.18)Замечание 4. Если есть функция Казимира, то есть тождественнозависима с и Γ = 2 , то правые части (1.3.18) — тождественныйноль.

В связи с этим при вычислении линеаризации полей sgrad произвольных функций и собственных чисел соответствующих операторов в R6 нет необходимости учитывать неопределенные множителиЛагранжа для функций и Γ — необходимо лишь учесть определение 1и отбросить два нулевых собственных числа, которые здесь обязательно существуют.Физическая модель гиростата – это система с четырьмя степенямисвободы (тело плюс ротор), для которой есть константа циклическогоинтеграла. Уравнения Эйлера – Пуассона получены понижением порядка в этой системе.

Поэтому все рассуждения о постоянстве каких-либосвойств в пространстве интегральных или иных параметров естественно рассматривать в расширенном пространстве этих параметров, включающих ось R = R(). В связи с этим будем использовать следующееобозначение. Пусть — какое-либо множество, а () — семейство егоподмножеств, зависящих от параметра .

ОбозначимΛ() = × R,Λ() =⋃︁() × {} ⊂ Λ().(1.3.19)В соответствии с этим рассмотрим расширенное множествоΛ( 0 ) ⊂ Λ( 5 ) = 5 ×R. Напомним, что согласно (1.1.8) мы считаем > 0,а случай = 0 рассматриваем лишь как предельную возможность там,где это явно оговорено. По предложению 2 множество Λ( 0 ) непрерывнодважды накрывает область0 = {(, ) ∈ R2 : > 0, ̸= }.49Замечание 5. Для дальнейшего условимся образы множеств Λ(0 ) в различных пространствах параметров (постоянных общих и частных интегралов, физического параметра ) обозначать через ( = 1, 2, 3). Вчастности, как подмножества в 0 они имеют вид1 : {(, ) : 0 6 < , > 0},2 : {(, ) : 6 0, > 0},(1.3.20)3 : {(, ) : > , > 0}.Подмножества этих множеств, полученные в результате дальнейшейдетализации, будут снабжаться двойными индексами.Напомним существование на 0 симметрии (1.3.17).Определение 5.

Будем говорить, что точки 1 , 2 ∈ Λ( 0 ) принадлежатк одному классу, если существует непрерывный путь в Λ( 0 ), соединяющий эти точки или точку 1 с точкой symm(2 ), вдоль которого не меняется тип критических точек.Пусть (, ) ∈ 0 . Обозначим через ± (, ) точку (1.3.8) при ̸= 0 и, всоответствии с предложением 2, при выбранном знаке величины (1.3.9)sgn = sgn[( − )]. Согласно принятым ранее обозначениям имеемlim ± (, ) = + ∈ 10 ,lim ± (, ) = − ∈ 20 .→+0→−0Определение 6. Точку (, ) ∈ 0 назовем разделяющей, если в любой ееокрестности найдутся образы точек из Λ( 0 ) разных классов.Разделяющим является луч запрещенных точек = , > 0. Обозначим его через .

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее