Диссертация (786043), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поэтому75имеет место следующее важное свойство.Теорема 8. Все критические точки одного ранга, лежащие на одном совместном уровне первых интегралов , , , имеют один и тот же тип.Отсюда, в частности, сразу же следует, что молекула, обозначеннаяв работах [85, 97] как 7 , в данной задаче невозможна. Ниже мы покажем, что, даже сделав скидку на погрешности изображения (атомы разных уровней интегралов на одной высоте на рисунке), такая молекулане реализуется по другой, уже существенной, причине.Введем некоторую терминологию, связанную с детальным исследованием критических подсистем.Известно [26], что геометрическим особенностям бифуркационныхдиаграмм интегрируемых систем с степенями свободы отвечают критические точки ранга < − 1 и вырожденные критические точки ранга − 1.
Наличие полного взаимно однозначного соответствия здесь вобщем случае не доказано. Дополнительные особенности возникают всемействах гамильтоновых систем, полученных процедурой факторизации из одной системы с симметрией. Примером этого является и рассматриваемая здесь задача. Поверхность Π1 имеет особенность типа самопересечения, проявляющуюся в любых плоских ее сечениях, кромесечений ℓ = const (кривая = 0 в представлении (1.2.7) и особая парабола в представлении (1.2.10)).
В самих сечениях фиксированной постоянной площадей оказывается особым сечение ℓ = 0 опять же в силу наличия особой “кратной” параболы.Определение 7. Невырожденную критическую точку ранга 1 назовемкратной, если в окрестности ее образа при отображении момента = ×× бифуркационная диаграмма Σ этого отображения не является гладкой двумерной поверхностью.76Здесь уместно напомнить, что рангом критической точки мы называем ее ранг в приведенной системе с двумя степенями свободы, что наединицу меньше ее ранга по отношению к отображению .Поскольку окрестность невырожденной критической точки ранга1 в 3ℓ,ℎ устроена как один из стандартных атомов и может структурноне изменяться при малых изменениях ℎ, то никаким локальным анализом особенности в приведенной системе с двумя степенями свободы наℓ4 такую кратную точку выявить нельзя.
Можно лишь констатировать,что некоторым точкам на дугах бифуркационной диаграммы системына ℓ4 отвечает несколько критических окружностей. В этом случае распад кратной точки может произойти при возмущении ℓ, то есть при переходе к другой системе с двумя степенями свободы. В общих случаяхинтегрируемости задач динамики твердого тела особым в этом смыслевсегда является нулевой уровень циклического интеграла .
Есть и другие причины того, что точка становится кратной. Например, как в рассматриваемой здесь задаче, на один уровень с точками ранга 1 могутпопадать точки ранга 0. Тогда такая “кратность” оказывается неважна, так как на перестройки диаграмм влияние окажут точки ранга 0.Наконец, в системе могут существовать и “распадающиеся” топологически неустойчивые атомы. Такое явление описано в [26]. Оно такжене выявляется локальным анализом.
Интересно отметить, что топологически неустойчивые атомы ранее встречались в конкретных механических системах классической динамики твердого тела [25], но самогораспада при этом не было. Численно распадение топологически неустойчивого атома выявлено в работе [106] для одной системы на сфере (называемой случаем Дуллина – Матвеева [107], но являющейся частным случаем интегрируемой системы, обнаруженной Х.М. Яхья [108]). Варианты такого рода перестроек слоений на трехмерных изоэнергетическихуровнях описаны в [109]. Недавно распадающиеся атомы обнаружены в77подсистемах неприводимой задачи о движении твердого тела в двойномполе, однако, это явление на практике оказалось связано с вырождением индуцированной симплектической структуры [110].Определение 8.
Назовем ключевым множеством в 5 объединение всехкритических точек ранга 0, вырожденных и кратных критических точек ранга 1. Обозначим ключевое множество через . Пересечение = ∩ ℳ назовем ключевым множеством критической подсистемы ℳ .Определение 9. Пусть Φ, Ψ – первые интегралы (возможно, частные)критической подсистемы ℳ , независимые почти всюду. Назовем(Φ, Ψ)-диаграммой подсистемы ℳ образ ключевого множества приотображении Φ×Ψ : ℳ → R2 .Определение 10. При наличии некоторого интегрального отображенияℳ → R его образ назовем допустимой областью и обозначим через .Точки допустимого множества будем называть допустимыми.Иначе говоря, значения интегралов допустимы, если им соответствуют некоторые движения (интегральное многообразие не пусто).
Изконтекста всегда будет ясно, о каком отображении идет речь и в какомпространстве рассматриваются допустимые точки.В работах [53, 90] изучались (, )- и (, )-диаграммы критическихподсистем. Здесь – частный интеграл, возникающий из представления Лакса, постоянная которого является параметром на поверхностяхв уравнениях (1.2.7), (1.2.8). Он же естественным образом возникает привведении функции с неопределенными множителями Лагранжа для описания критических подсистем как коэффициент при интеграле – поформулам (1.2.16), (1.2.17), (1.2.18). Для классификации бифуркаций,происходящих при пересечении точкой (ℓ, ℎ, ) поверхностей Π78в R3 (ℓ, ℎ, ), удобно выбрать такую плоскость констант функциональнонезависимых интегралов критических подсистем, при котором допустимые точки этой плоскости находятся во взаимно однозначном соответствии с точками соответствующей бифуркационной поверхности (тогда,например, становится однозначной информация о количестве точек ранга 0 или окружностей ранга 1 в прообразе).Рассмотрим также задачу классификации бифуркационных диаграмм Σ (ℓ, ) отображений × приведенных систем на ℓ4 [51, 53]и бифуркационных диаграмм Σ (ℎ, ) отображений ×, ограниченных на четырехмерные изоэнергетические уровни 4ℎ = −1 (ℎ) в 5 [90].Эти диаграммы представляют собой сечения плоскостями ℓ = const и,соответственно, ℎ = const бифуркационной диаграммы Σ() общего интегрального отображения = ××.
В силу наличия свободного физического параметра в цитированных работах решается вопрос о нахождении так называемого разделяющего множества в соответствующей плоскости (, ℓ) или (, ℎ), при пересечении которого меняется строение таких сечений. Сформулируем общее утверждение, позволяющее вопределенном смысле алгоритмизировать построение разделяющих множеств.Пусть : 5 → R некоторый общий интеграл системы. Фиксируем ∈ R и рассмотрим отображение(, ) = | −1 ( ) : −1 ( ) → R2 ,где R2 — плоскость значений пары интегралов, дополняющих до полной инволютивной тройки почти всюду независимых интегралов.
Пусть(, ) () — бифуркационная диаграмма отображения (, ) . Ясно, что если пара интегралов , дополняет до инволютивной тройки функционально независимых интегралов, то можно естественным образом отождествить (, ) () с бифуркационной диаграммой Σ (, ) ограничения79отображения × на подмногообразие −1 ( ). В частности, ниже будутрассмотрены варианты = , и тогда (,ℓ) () = Σ (ℓ, ), и = , и вэтом случае (,ℎ) () = Σ (ℎ, ).Предложение 8 (М.П. Харламов [111, 112]). Множество Θ в плоскости (, ), при переходе через которое меняется тип диаграммы (, ) ()(в гладком смысле), состоит из пар (, ), где — критическое значениеограничения функции на ключевое множество при заданном .При желании этому утверждению можно придать достаточную строгость, уточняя понятия однотипных диаграмм и критических значенийфункции на стратифицированном многообразии.
В частности, заведомопредполагается, что интеграл выбран “разумно” и не имеет критических точек на регулярных уровнях отображения момента. Один из возможных подходов к системе соответствующих определений, использующий понятие оснащенных допустимых промежутков, приведен в работе [53]. Практически же оно означает следующее. Для каждой критической подсистемы ℳ нужно рассмотреть ее (, )-диаграмму, где —некоторый функционально независимый с , возможно, частный, интеграл на ℳ .
Критические значения на соответствуют узловым точкам этой диаграммы (образам вырожденных критических точек ранга0), экстремальным значениям координаты на гладких участках – образах множества вырожденных или кратных критических точек ранга1, а также всевозможным самопересечениям гладких участков диаграммы.Множество Θ называют разделяющим множеством при классификации бифуркационных диаграмм (, ) (). Будем для краткости называть его -атласом.801.4.2. Детализация. Первая критическая подсистемаДля первой критической подсистемы ни одна из пар функционально независимых интегралов (, ) или (, ) не решает задачи обеспечения взаимно однозначного соответствия выбранной плоскости и поверхности Π1 . Действительно, на (, ℎ)-плоскости в любую допустимуюточку с условием2ℎ−−>02отображаются две точки поверхности Π1 , а в (, ℓ)-представлении весь допустимый сегмент параболы2 2 = 1 + (ℎ − ) ,2ℓ = 0,2ℎ> ,2(1.4.4)отвечающей на поверхности Π1 значению = 0, отображается в одну точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
