Диссертация (786043), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Индекс введен в силу того, чтов дальнейшем через будет обозначен образ этой вырожденной точки вдиаграммах критических подсистем. При заданном > 0 значение ℎопределяется согласно (1.3.31), (1.3.11) так:⎧⎨ 34 − 23 − 4 = 032⇒ ℎ = 2 + 6 .√︀⎩ ∈ (− 4 4/3, 0)8(1.4.6)Теорема 9. (, )-диаграмма критической подсистемы ℳ1 состоит изследующих множеств1 : 2 = − (),ℎ = − (), ∈ [0, );2 : 2 = + (),ℎ = + (), ∈ (−∞, 0];3 : 2 = + (),ℎ = + (), ∈ (, +∞);86(1.4.7)226 ℎ 6 ℎ ();Δ1 : ℎ − (3 + ) = 0,2221Δ0 : ℎ − (2 + ) −= 0, ∈ R,22(2 + 2 )22 ∈ R.ℓ0 : ℎ − ( + ) = 0,2При этом границами допустимой области 1 служат связная кривая21 и две компоненты связности кривой 3 . Кривая 2 связна и разбивает допустимую область на две подобласти. Точкам области, лежащейниже кривой 2 , соответствует одна критическая окружность, а точкам области, лежащей выше кривой 2 , соответствуют две критических окружности.Доказательство.
Поскольку все критические точки ранга 1 принадлежат ℳ1 , а значения на них функций , даны в формулах (1.3.8),(1.3.11), то с учетом обозначений (1.3.20) образы этих точек – это кривые ( = 1, 2, 3). Кривые Δ1 , Δ0 получим из предложения 6 с учетом(1.2.13). Кривая ℓ0 соответствует особой параболе (1.4.4), которая, какотмечалось, есть образ множества кратных точек. Остается уточнить условия существования движений в системе ℳ1 .
Они существуют тогда итолько тогда, когда многочлен (), заданный выражением (1.1.26), имеет промежутки неотрицательности. Поскольку его дискриминантныммножеством являются в точности кривые , получаем, что такие промежутки существуют между кривыми 1 , 3 , а ниже 1 (по направлениюоси ℎ) и выше 3 движений нет. При этом ниже кривой 2 многочлен имеет два вещественных корня, поэтому такой промежуток один (однакритическая окружность), а выше этой кривой корней четыре, поэтому промежутков два (две критические окружности).
Часть кривой Δ1вырождения критических точек ранга 1, попадающая в допустимую область, ограничена снизу естественной границей ℎ = 2 /2, а сверху – точкой пересечения с кривой 3 , ордината которой – это описанное выше87значение ℎ ().Теорема 10. При неотрицательных перестройки (, )-диаграммыкритической подсистемы ℳ1 происходят при следующих значенияхпараметра:3/40, * = 1/2*3/4, 1, = (4/3),√2.Доказательство. В силу выбора частных интегралов, обеспечивающихвзаимно однозначное соответствие точек ключевого множества и их образов (за указанными выше очевидными исключениями), перестройкидиаграмм происходят одновременно с перестройками множества вырожденных точек ранга 0 и кратных точек при изменении .
Поскольку всекривые вырожденных и кратных точек известны (см. рис. 1.2), то этиперестройки таковы: при = 0 исчезает точка 21 (соответствующаякривая уходит в бесконечность) и сливаются точки 22 , 24 ; при = *в узловой точке 0 сливаются все кривые вырожденных точек класса 2 ;при = 1 исчезает точка 21 (заканчивается соответствующая кривая);при = * (минимум на ℓ0 , см. замечание 6) возникают кратные точки;√при = 2 исчезает точка 23 (заканчивается соответствующая кривая).Других перестроек нет.На рис.
1.11, 1.12,() − () показаны (, )-диаграммы подсистемыℳ1 , устойчивые по параметру : () 0 < < * ; () *√√() 1 < < * ; () * < < 2; () > 2.< < 1;Символами 1 − 12 обозначены связные компоненты в пространстве{(, ℎ, )}, на которые допустимая область делится расширенной(, )-диаграммой. Напомним наличие симметрии (1.3.46). Области, переходящие друг в друга при таком отображении, обозначены одинаково.С точки зрения типов критических точек переход через значение = * никаких качественных изменений не влечет, точки областей 10 ,8812 и их общей границы на ℓ0 одинаковы.
При = * возникает пересечение кривых 2 и ℓ0 , что демонстрирует момент выхода объединеннойобласти 10 ∪ 12 на многообразие = 0 и позволяет сравнить бифуркации и атомы с более подробными исследованиями случая = 0, выполненными автором и П.В. Морозовым. Также с локальной точки зренияодинаковы критические точки областей 1 , 2 и их общей границы ℓ0 .
Однако точки на бифуркационной диаграмме Σ в R3 (ℓ, ℎ, ), порожденныеэтими областями, имеют нелокальное отличие, которое в терминах параметров (1.1.33) установлено в работе [77], а именно, наличие или отсутствие на полном совместном уровне общих интегралов регулярныхторов (двухчастотных движений). Об этом будет сказано ниже.На плоских сечениях ℎ = const или ℓ = const (изоэнергетическихбифуркационных диаграммах или бифуркационных диаграммах приведенных систем с двумя степенями свободы на ℓ4 ) поверхностей Π областям отвечают гладкие дуги, на которых полностью сохраняетсякак тип и количество особых точек, так и характер бифуркации, то естьатом, возникающий вдоль малого отрезка, трансверсально пересекающего Π в соответствующей точке.Для дополнительной информации на рис.
1.12,( ) показана диаграмма первой критической подсистемы в классической задаче ( = 0), отвечающая особо замечательным движениям четвертого класса Аппельрота. Она состоит из двух параболℎ = ±1 + 2 ,кривой, полученной из 3 и части 2√︂1 √︀=±( 4 + 4 − 2 ),21 √︀ℎ = (2 4 + 4 + 2 ),2и предельных кривых11Δ0 : ℎ = (22 + 2 ),2 ∈ R∖{0},89Δ1 : ℎ = 32 ,[︂]︂1 ∈ 0, √.43Анализируя все признаки, вычисленные для областей , сведем информацию в табл.
1.4.1. Здесь введены следующие обозначения для атомов , : индекс “+” означает увеличение числа торов при увеличении, а индекс “−”, соответственно, означает уменьшение. Иначе говоря,− – ребро заканчивается вверху, + – ребро заканчивается внизу, − –“внешняя” окружность “восьмерки” (“голова”) вверху, + – “внешняя”окружность “восьмерки” (“голова”) внизу. Как видно, все области, кроме одной (4 ), имеют выход в классическую задачу Ковалевской ( = 0)и в задачу с гиростатическим моментом при нулевой постоянной площадей (ℓ = 0). Для этих случаев бифуркации установлены в работах[51, 104] (подробное изложение для случая Ковалевской имеется также в [25, 103]), метки на соответствующих молекулах вычислены в [27,116]. Поэтому в столбце “Аналоги” даны ссылки на обозначения участков [25, 27, 116] или путей, пересекающих соответствующие участки[51, 104], используемые в этих работах.
При наличии аналога все атомыописаны в [51, 103, 104]. В двух первых работах был создан и язык дляописания атомов, включая учет направленности для несимметричныхатомов (само понятие атома тогда, естественно, еще не существовало).Сопоставляя с аналогами, рассмотренными в [27, 116], можно указать ибольшинство меченых молекул.Таблица 1.4.1ОбластьК-воПоказателиВыход на(время жизни)окр-стейМорса–Ботта = 0/ℓ = 0АтомАналоги2, 3 [25, Рис. 6.3]11(− −)Да/Да(0 6 < +∞)−1 , 2 [51, Рис. 2]1 , 4 [27, Рис. 11]2 , 3 [116, Рис.
1]90Таблица 1.4.1 (продолжение)ОбластьК-воПоказателиВыход на(время жизни)окр-стейМорса–Ботта = 0/ℓ = 0АтомАналоги3, 3′ [25, Рис. 6.3]21(− −)Да/Да(0 6 < +∞)−2 [51, Рис. 2]1 , 4 [27, Рис. 11]2 , 3 [116, Рис. 1]31(+ −)Да/Нет(0 6 < +∞)41(+ +)Нет/Нет(0 < < +∞)−+9 [25, Рис. 6.3]5 [27, Рис. 11]Отсутств.6 [25, Рис. 6.3]52(0 6 < 1)(+ −),(− +)Да/Да2*4 [51, Рис. 2]2 [27, Рис. 11]1 , 2 [116, Рис. 1]5 [25, Рис. 6.3]6√(0 6 < 2)1(− +)Да/Да+2 [51, Рис.
3]3 [27, Рис. 11]1 [116, Рис. 1]72(0 6 < * )82(0 6 < * )92(0 < < +∞)102(* < < +∞)112(* < < +∞)12(* < < +∞)(+ −),(+ −)Да/Нет(+ +),(+ +)Да/Нет(+ +),(− −)Нет/Да(− −),(− −)Нет/Да(− +),(− +)Нет/Да2−2++ , −2−2+Д [104, Рис. 2]6 [27, Рис. 11]E [104, Рис. 2]7 [27, Рис. 11]5 [51, Рис. 2]5 , 6 [116, Рис. 1]3 , 4 [51, Рис.
4]3 , 8 [116, Рис. 1]4 [51, Рис. 3]5 , 6 [116, Рис. 1]2 , 3 [51, Рис. 5]2(− −),(− −)Нет/Да2−3 , 8 , 9 , 10[116, Рис. 1]91Также теперь имеется возможность прояснить связь между параметрами (1.1.33), условиями (1.1.36) и приведенной здесь классификацией точек первой критической подсистемы. Для экономии обозначений будем под ℓ0 , Δ1 , Δ0 понимать значение левых частей уравнений соответствующих кривых в записи (1.4.7) (в дальнейшем это не приведетк путанице). Тогда в обозначениях (1.1.33)1 = ℓ0 /8,2 = Δ1 /2,3 = Δ0 /2.(1.4.8)Из (1.4.5), (1.4.7) находим, что на кривой 1 имеется однозначная зависимость ∈ R,ℎ = 1 (),а на кривой 3 однозначная зависимость определена при ненулевых :ℎ = 3 (), ∈ R∖{0},причем для всех ̸= 0 имеем 3 () > 1 ().
Кривые в целом образуютдискриминантное множество многочлена (1.1.26). Приℎ ∈ (−∞, 1 ()) ∪ (3 (), +∞)(1.4.9)он вещественных корней не имеет, поэтому и невозможны движения наℳ1 . Покажем, что при соотношениях (1.1.30) в областях (1.4.9) движения невозможны и на всем многообразии 4 (напомним, что так обозначен полный прообраз поверхности Π1 в 5 при отображении момента ).Для этого достаточно заметить, что в точке зависимости ограниченийфункций , = 1 на многообразие 4 ранг не превышает двух, поэтому такая точка является критической ранга 0 или 1 и обязательнопринадлежит ℳ1 . Следовательно наибольшее и наименьшее значения при фиксированном на 4 совпадают с аналогичными значениямина ℳ1 :max =4 ∩{ =}maxℳ1 ∩{ =} = 3 (),min4 ∩{ =}92=minℳ1 ∩{ =} = 1 ().В связи с этим введем два дополнительных параметра4 = ℎ − 1 (),5 = ℎ − 3 ()и обозначим области на плоскости (, ℎ)1 = {(, ℎ) : 4 < 0},2 = {(, ℎ) : 5 > 0}.Из доказанного, в частности, вытекает следующее утверждение осуществовании вырожденных критических движений ранга 1 в первойподсистеме.Предложение 11.
В допустимую область на бифуркационной диаграмме Σ отображения момента входят следующие сегменты особых точек на поверхности Π1 – образы вырожденных критических движенийранга 1:1) кривая касания поверхностей Π1 , Π3 полностью⎧√︂⎪⎪⎨ℓ=±(1 − 22 )12;Δ0 :,0<6⎪221 − 2 + 22⎪⎩ℎ=22) ребро возврата поверхности Π1 между его пересечениями с кривой 32Δ1 :2ℓ = ± √ (ℎ − )3/2 ,23 3или в терминах параметра ⎧√︂3⎪⎪⎨ℓ=± 2Δ1 :2 ,⎪3⎪⎩ ℎ= +22⎧ 2⎨ 6 ℎ 6 ℎ ()2,⎩|ℓ| 6 ℓ () ∈ [0, ()],(1.4.10)где зависимости ℎ (), ℓ (), определяющие экстремумы соответствующих координат на 3 при > 0, и значение в точке экстремума -коор93динаты () находятся из уравнений (1.3.11), (1.4.6) с использованием вспомогательного параметра⎧3 22⎪⎪ℎ=+⎪⎧⎪6 ⃒⃒8⎪⎨ 34 − 23 − 4 = 0⎨⃒ (4 − 4 )3/2 ⃒⃒ .ℓ = ⃒⃒⇒√︀⃒3⎩ ∈ [− 4 4/3, 0)⎪4⎪⎪4⎪⎪⎩ = 4 − 22Информация в табл.
1.4.2 дополняет результаты работ [85, 97] в отношении классификации движений на 4 .Таблица 1.4.2Областьпо [85]IУсловия1 > 0, 2 > 0,Периоди-Асимпто-Регу-ческиетическиелярныедвижениядвиженияторыНетНетНет“центр”НетДа“центр”НетДа2НетНетНет3“седло”ДаНет“седло”ДаНет“центр”НетНет1НетНетНетΔ1вырожд.ДаНетОбласти в ℳ123 > 0, 5 > 0III,VIIII1 > 0, 2 > 0,8 (0 6 < * ),3 > 0, 5 < 04 , 9 (0 < < +∞)1 > 0, 2 < 0,2 (0 6 < +∞),3 < 010 ( > * )1 > 0, 2 < 0,3 > 0, 5 > 0III1 > 0, 2 < 0,3 > 0, 5 < 0IV1 > 0, 2 > 0,3 < 0VV5 (0 6 < 1),√6 (0 6 < 2),11 (* < < +∞)1 < 0, 2 < 0,1 (0 6 < +∞),3 < 0, 4 > 012 ( > * )1 < 0, 2 < 0,3 < 0, 4 < 0VII2 = 094Таблица 1.4.2 (продолжение)Областьпо [85]УсловияVIII3 = 0Периоди-Асимпто-Регу-ческиетическиелярныедвижениядвиженияторывырожд.ДаНетОбласти в ℳ1Δ0Наличие асимптотических движений или регулярных торов установлено в [85], исходя из анализа явных квадратур (1.1.34) – (1.1.35).Таким образом, видно, что регулярные торы могут находиться на критическом уровне первых интегралов лишь в соседстве с атомами типа ,а асимптотические движения, конечно, являются неотъемлемой частьюгиперболических атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
