Диссертация (786043), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для доказательства теоремы в части существования движений достаточно проанализировать распределение корней и знаков старших коэффициентов соответствующих многочленов ± и воспользоваться предложением 12. Наглядное доказательство дает компьютерная визуализация кривых Γ0 , Γ1 в соответствии с предложением 15. Тот факт, что в области1 (см. рис. 1.23, ()), примыкающей к оси ℓ, движения отсутствуют,практически очевиден, поскольку ̸= 0. Отсутствие критических движений в области 2 (рис. 1.24, (), ()) ранее было доказано в [96] путемисследования точек оси ℓ = 0.На рис. 1.23, 1.24 также приведены и особые точки, возникающиена (, )-диаграммах подсистемы ℳ3 . Непосредственно проверяем, чтовсе они уже встречались в подсистеме ℳ1 , за исключением введеннойдля использования в -атласе точки 5 , описанной выше и заданнойуравнениями (1.4.33).Переформулируем теорему 13 в терминах интегралов , [90].Теорема 14.
(, )-диаграмма критической системы ℳ3 состоит из кривых1;22 = + (), ∈ (−∞, 0];⎧⎨ ℎ > ℎ* , 6 *;⎩ ℎ > ℎ** , > *Δ0 :ℎ = ℎtan (), 0 < 62 :ℎ = + (),Δ3 :=1,22/3ℎmin : ℎ = ℎ0 (), ∈ (),127где1 − 2 + 22ℎtan () =,2а область изменения на кривой ℎmin определяется так:⎧⎪⎪(0, +∞), 6 *⎪⎨√() =(0, 0 ] ∪ [0 , +∞), * 6 6 2 .⎪⎪√⎪⎩ (0, 0 ] ∪ [1/2, +∞), > 2Здесь 0 (), 0 () – абсциссы точек касания кривых 2 и ℎmin , существующих при > * . Они удовлетворяют неравенствам 0 () < 0 () при√ > * и 0 () < 1/2 при * 6 < 2.Внешними границами допустимой области служат:1) кривая ℎmin в пределах ∈ ();2) кривая Δ0 в пределах⎧⎨ (0, 1/(22/3 )], 6 *∈;√⎩ (0, 1 + 4 − 2 ], > *3) кривая 2 в пределах⎧⎨ [ , 0 ], * 6 6 √20∈.⎩ [0 , 1/2], > √2Перестройки типов диаграмм в области > 0 происходят при зна√чениях параметра 0, * , 1, * , 2.Кривая ℎmin отвечает значению ℓ = 0 и ее появление естественно связано со складкой при накрытии поверхностью Π3 плоскости (, ℎ), поскольку ℎ выражается через ℓ2 .
Полное исследование (, )-диаграммподсистемы ℳ3 и их компьютерная визуализация выполнены в работах[90, 117]. Значения 0 , 0 соответствуют особым точкам 6 , 7 , отмеченных на (, )-диаграммах на рис. 1.24,(), (). Эти точки существуют при√ > * (совпадая при = * ), причем в момент = 2 точка 7 сливается128B1B7B6ss0s0Рис.
1.25. Связь и в точках 6,7 .с 1 и затем переходит в недопустимую область (на 2 соответствующеезначение было бы положительным, что не так). Доказательства и пояснения имеются в работе [90]. Они легко следуют из уравнения связи и в этих точках, полученных исключением вспомогательного параметра из соответствующего параметрического представления (1.4.21)значений 2 , в этих точках (см.
рис. 1.25):√√1 + 2 − 1 − 21=, ∈ (0, ].3/22(2)Применение полученных результатов к точкам областей 1 − 9 в(, ℓ)-образе подсистемы ℳ3 приводит к описанию характеристик и атомов, собранных в табл. 1.4.4. Как видим, все области, кроме 1 , 8 , прирассмотрении расширенных диаграмм в пространстве (, ℓ, ) имеют выход на соответствующие области исследованных ранее задач ( = 0 илиℓ = 0), поэтому для атомов здесь добавлена лишь их направленность. Вчастности, наличие атома 2 в области 4 и двух атомов в области 9129обосновано в работах [25, 103, 104] (в других обозначениях). Наличиедвух атомов в области 5 следует из результатов [51]. В новых областях 1 , 8 по доказанному выше критические окружности имеют эллиптический тип, их количество вычисляется по приведенным критериям,а направленность определяется показателями Морса – Ботта.Таблица 1.4.4ОбластьК-воПоказателиВыход на(время жизни)окр-стейМорса–Ботта = 0/ℓ = 01(− −)1(− +)1АтомАналогиНет/Нет−Отсутств.Нет/Да+(0 < < +∞)2(0 < < +∞)32(* < < +∞)(− −),(− −)Нет/Да2−5 [51, Рис.
2]3 [116, Рис. 1]4 [51, Рис. 3]7 [116, Рис. 1]8 [25, Рис. 6.3]42(0 6 < +∞)(+ −),(+ −)Да/Да24 , 5 [51, Рис. 2,3]2 [27, Рис. 11] [116, Рис. 1]5(* < <√22)61(− +),(− +)Нет/Да(+ +)Нет/Да(0 < < 1)2++3 [51, Рис. 3]4 [116, Рис. 1]3 , 4 [51, Рис. 2]4 [116, Рис. 1]7 [25, Рис. 6.3]71(+ −)Да/Да(0 6 < 1)−3 [51, Рис. 2]1 [27, Рис. 11]2 [116, Рис.
1]82(+ +),(+ +)Нет/Нет2+2(+ −),(+ −)Да/Нет2−(0 < < * )9(0 6 < * )130Отсутств.E [104, Рис. 2]3 [27, Рис. 11]1.4.4. Классы вырожденных точек ранга 1Множество Δ0Первый класс вырожденных точек ранга 1 – это точки, лежащие впрообразе линии касания бифуркационных поверхностей. Образ этогомножества в пространстве интегральных констант обозначается черезΔ0 . Это – линия касания поверхностей Π1 и Π3 . Ее уравнение в параметрах , ℎ имеет вид22 − 2(ℎ + ) + 1 = 0,22(1.4.34)а в параметрах , ℓ таково:22 2 − + 2ℓ2 = 0.(1.4.35)В совокупности с условиями вещественности получаем следующее представление Δ0 :√︂(1 − 22 ),ℓ=±2ℎ=+12− ,22 ∈ (0,1].22Это множество делится на качественно различные части его пересечением с образом множества критических точек ранга 0, то есть с подмножествами ( = 1, 2, 3) пространства интегральных констант.
Действительно, вне таких пересечений окрестность точки множества Δ0 подвергается диффеоморфизму (как стратифицированное многообразие) и топология соответствующего прообраза сохраняется.Напомним уравнения множеств :√︃ [︂]︂11ℓ = ∓ [( − ) + ]− + ,22−2 = 4 + 2 ( − )2 ,12 − ℎ = − ( − ) +,22( − ) ∈ (−∞, 0] ∪ [0, ) ∪ (, +∞),(1.4.36)при этом соответствие номеров подмножеств, промежутков измененияконстанты , определяющей относительное равновесие, и знаков вели131чины таково:1 : ∈ [0, ), < 0;2 : ∈ (−∞, 0], > 0;3 : ∈ (, +∞), > 0.Параметр поверхностей Π , служащий частным интегралом для критических подсистем ℳ , в точках (1.4.36) принимает следующие значения: в подсистеме ℳ1 (все три кривые )=1[( − ) + ] ,2(1.4.37)в подсистемах ℳ2 (кривые 1 , 3 ) и ℳ3 (кривая 2 )=−[( − ) − ] .4(1.4.38)Воспользуемся выражением на ℳ1 , тогда в точках перестройки Δ0 уравнения (1.4.36) должны быть совместны, например, с (1.4.34).
Получим2 − 22 +2− = 0.( − ) + − Отсюда либо = −,(1.4.39)либо2 + ( − )2 (2 − 2 + 22 ) − ( − )( − 2) = 0.Последнее равенство можно записать в виде1[( − )( − 2) − ]2 = 0,2(1.4.40)что, в частности, означает, что оно отвечает за точку касания Δ0 с однимиз . Выясним, каким соответствуют значения (1.4.39), (1.4.40). Для(1.4.39) очевидно, что < 0, поэтому это – точка пересечения Δ0 с 2 .Следствием уравнения (1.4.40) является ( − )3 + 1 = 0, откуда =−11/3132.(1.4.41)Но при этом, согласно (1.4.40), должно быть sgn = sgn( − )( − 2),что при очевидном неравенстве < имеет место лишь при 6 0, тоесть на кривой 2 .
Итак, точка (1.4.41) касания Δ0 и 2 существует тогдаи только тогда, когда 6 1.Таким образом, принимая на Δ0 в качестве независимых параметров и (если заменить на ℎ или ℓ, то соответствие в области существованиянебудетвзаимнооднозначным),получимвквадранте{(, ) : > 0, > 0} следующие разделяющие кривые:1) верхняя граница допустимых значений, отвечающая точке 1 включевых множествах,0 : =1,22 > 0;2) кривая, полученная из (1.4.37), (1.4.39) и отвечающая точке 2 включевых множествах,1 : =√︀1 + 4 − 2 , > 0;3) кривая, полученная из (1.4.37), (1.4.41) и отвечающая точке 5 включевых множествах,2 : =1,22/3 ∈ (0, 1].Соответствующая область показана на рис. 1.26, где нанесены обозначения возникающих подобластей в соответствии с рисунками 1.17,1.18, 1.23, 1.24, на которых каждая такая подобласть порождает сегмент ключевого множества.
Далее в бифуркационных диаграммахΣ (ℓ, ) эти подобласти выступают как узловые точки. Отметим, чторазделяющие кривые для Δ0 отвечают структурно неустойчивым диаграммам Σ (ℓ, ): на плоскости (, ℓ) вычисление ℓ() из формулы(1.4.35) переводит кривую 0 в ось ℓ = 0, кривую 1 – в кривую 22 разделяющего множества Θ , кривую 3 – в кривую 21 в соответствии с формулами (1.3.35).133sB5ℓ=0D031D01B2D12B52D02D04B2l2-3/4Рис. 1.26. Разделяющие кривые для точек Δ0 .134Как видно из рис. 1.26, точки Δ02 , Δ03 имеют выход на классическую задачу Ковалевской ( = 0), а точки Δ01 , Δ04 продолжают существовать и в случае, когда ℓ = 0.
Поэтому на первый взгляд может показаться, что для описания соответствующих круговых молекул можновоспользоваться результатами работ [27, 116]. Однако это не совсем так.Топология всех уровней первых интегралов в проколотых окрестностяхэтих точек была установлена еще в работах [51, 103]. Но это не дает ответа на вопрос о том, как соединить семейства при обходе исследуемых точек. В зависимости от этого, многообразие в прообразе малой окружности с центром в точке может иметь разное количество компонент связности. Обозначим через 0 объединение тех связных компонент прообразаточки Δ0 , которые содержат критические точки отображения момента(то есть критические окружности, составленные из вырожденных точекранга 1).Заметим, что сегменты Δ0 внутри критической подсистемы ℳ1 бифуркационными не являются – они отвечают лишь вырождению критических движений по отношению к полной системе.
В частности, количество критических окружностей в прообразе Δ0 такое же, как и в прообразе прилегающих с обеих сторон областей . По диаграммам подсистемы ℳ1 и данным из табл. 1.4.1 устанавливаем, что Δ01 разделяет 5 и 9(две критических окружности в 01 ), Δ02 разделяет 2 и 3 (одна критическая окружность), Δ03 разделяет 5 и 8 (две критические окружности),Δ04 разделяет 9 и 11 (две критические окружности). Таким образом,поверхность 02 связна. Для остальных же точек на уровне 0 имеетсяпо две критические окружности, поэтому круговые молекулы по имеющимся данным однозначно не восстанавливаются. В работах [27, 116]неявно используется гипотеза о том, что круговые молекулы этих точек имеют по две связных компоненты, но не представлено никаких мотивировок для этой гипотезы и никакого аппарата для соответствую135щих доказательств.
Фактически использован некоторый принцип “максимального правдоподобия”, согласно которому молекулы следует искать среди уже известных. Как мы сейчас докажем, ответ получилсяправильный.Теорема 15. Поверхности 01 , 03 , 04 состоят из двух связных компонент.Доказательство. При ̸= 0 воспользуемся квадратурами, найденнымив работе [77]. В обозначениях настоящей работы множество Δ0 отвечаетследующим значениям параметров3 = 0,1 => 0.8(1.4.42)Поэтому система сводится к двум уравнениям˙ 2 =1, 2 ()˙ =√︀ (),(1.4.43)где(︂)︂(︁ )︁112−, () =− (), () = ( − 2) −22переменная вещественна, а вспомогательная переменная , не равнаябесконечности лишь на асимптотических движениях, введена равенством = √︀, ()где переменная – вещественна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
