Диссертация (786043)
Текст из файла
Московский физико-технический институт(государственный университет)На правах рукописиРябов Павел ЕвгеньевичТопологический анализ неклассическихинтегрируемых задач динамики твердого тела01.02.01 – Теоретическая механикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степенидоктора физико-математических наукНаучный консультантд. ф.-м.
н.Борисов Алексей ВладимировичМосква – 2016ОглавлениеВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1.4Топологический анализгиростата Ковалевской – Яхья . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.1. Аналитические результаты . . . .
. . . . . . . . . . . . .211.2. Критическое множество отображения момента . . . . . .331.3. Относительные равновесия – критические точки ранга 0 .401.4. Классификация критических точек ранга 1 . . . . . . . .721.5. Топология приведенных систем . . . . . . . . . . . . . . .1471.6. Топологические инварианты . . .
. . . . . . . . . . . . .1641.7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185Глава 2.Топологический анализ волчка Ковалевской в двойномполе сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.1. Уравнения и интегралы. Понятие критической подсистемы 1902.2. Описание критических подсистем и классов особенностей1932.3. Классификация критических точек по типам .
. . . . . .2072.4. Изоэнергетический атлас . . . . . . . . . . . . . . . . . .217Глава 3.Топологический анализ одного частного случая интегри-руемости Д. Н. Горячева в динамике твердого тела . . . . . . . 2333.1. Введение . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .2333.2. Параметризация интегральных многообразий. . . . . .2343.3. Вещественное разделение переменных . . . . . . . . . . .2383.4. Допустимая область и бифуркационная диаграмма . . . .2423.5. Фазовая топология . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .2483.6. Аналитическая классификация особенностей и грубый инвариант А. Т. Фоменко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2253Глава 4.Фазовая топология одной неприводимой интегрируемойзадачи динамики твердого тела . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 2634.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2644.2. Как можно получить уравнения поверхностей Πℒ ? . . . .2714.3. Новые инвариантные соотношения при отсутствии линейного потенциала и наличии гироскопических сил . . . . .2744.4. Первая система – обобщение интегрируемого случая Богоявленского в динамике твердого тела .
. . . . . . . . . . .2814.5. Вторая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2884.6. Третья и четвертая системы . . . . . . . . . . . . . . . . .2934.7. Атлас бифуркационных диаграмм и пример сетевой диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3004.8. Заключение . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302Глава 5.Фазовая топологияволчка Ковалевской –Соколова. . . . . . . . . . . . . . . . . 3085.1. Исходные соотношения и постановка задачи . . . . . . .3085.2. Множество относительных равновесий . . . . . . . . . . .3135.3. Диаграммы Смейла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.3165.4. Показатели Морса и изоэнергетические многообразия . .3225.5. Типы и устойчивость относительных равновесий . . . . .3305.6. Разделение переменных и дискриминантные поверхности 3345.7. Критическое множество и типы критических точек . . .3385.8. Примеры изоэнергетических диаграмм и грубая топология 347Заключение. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3563ВведениеАктуальность темы исследования.Современные аналитические и качественные методы исследованиянелинейных дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А. Пуанкаре [1], [2], в которых Пуанкаре развил геометрическуютеорию решений дифференциальных уравнений.
Пуанкаре ввел понятия гомоклинических и гетероклинических орбит, связывающих неподвижные точки между собой, и показал, что возмущение этих орбит является причиной сложного поведения решения. В своем трехтомномтрактате “Новые методы небесной механики” [1] А. Пуанкаре на примере ограниченной задачи трех тел обнаружил наличие гомоклиническойструктуры траекторий и указал препятствия к существованию аналитических интегралов для широкого класса динамических систем. Многие аспекты исследования Пуанкаре опередили свое время на несколько десятилетий. На самом деле, изучение сложного движения Пуанкареосновано на совершенно новом подходе: качественном анализе поведения решений.
Он предложил изучать топологические свойства решенийв фазовом пространстве совместно с аналитическими свойствами решений уравнений.Дальнейшее развитие методы теории устойчивости и качественного анализа дифференциальных уравнений получили в работах Д. Биркгофа [3], А.А. Андронова [4], Н.Г. Четаева [5] и других ученых [6], [7],[8]. На базе идей Ляпунова [9] и Пуанкаре [1] были разработаны эффективные аналитические методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым относятся метод нормальныхформ [10], [11], [12], метод малого параметра [13], [14], асимптотические методы [14], [15], [16].Для классической и небесной механики особый интерес представ4ляют гамильтоновы системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Существенный прогресс в качественном анализе поведения гамильтоновых систем был достигнут во второй половине двадцатого векапосле опубликования фундаментальных результатов А.Н. Колмогорова[17], В.И. Арнольда [18], [19], Ю. Мозера [20], впоследствии получивших название КАМ теории.
На основании КАМ теории были полученыважные выводы об устойчивости и общем характере движения близкихк интегрируемым гамильтоновых систем.Важное влияние на развитие аналитической динамики твердого тела и качественной теории динамических систем оказали работы В.В. Козлова, объединенные в монографию "Методы качественного анализа в динамике твердого тела" [21].
В частности, В.В. Козловым доказано несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера–Пуассона, атакже указаны динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений – расщепление сепаратрис, рождение большогочисла невырожденных периодических решений. Эти результаты далисильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемостиуравнений движения. Результаты таких исследований систематизированы в монографиях В.В. Козлова "Симметрии, топология и резонансыв гамильтоновой механике" [22] и А.В.Борисова, И.С.Мамаева "Современные методы теории интегрируемых систем" [23]. В [23] интегрируемость многомерных аналогов классических интегрируемых задач динамики твердого тела как правило устанавливается при помощи пред˙ставления Лакса со спектральным параметром ()= [(), ()].
Инварианты матрицы () являются первыми интегралами системы.Современному состоянию топологического анализа динамическихсистем мы обязаны работе С. Смейла (1972 г.) [24], в которой намеченапрограмма топологического исследования классических механическихсистем и указаны пути ее реализации в натуральных системах с сим5метрией. В качестве примера он рассматривал задачи небесной механики. Впоследствии, благодаря работам прежде всего российских ученых В.В. Козлова, Я.В. Татаринова, М.П. Харламова, А.Т. Фоменко,А.В.
Болсинова, А.В. Борисова, И.C. Мамаева, А.А. Ошемкова и других исследованы бифуркации нелинейных по скоростям дополнительных интегралов и соответствующих интегральных многообразий,не укладывающиеся в схему Смейла.Результаты, полученные в XX в., нашли отражение в монографиях [21] (методы качественного анализа в динамике твердого тела), [25](фазовая топология классических интегрируемых задач) и [26] (теориятопологических инвариантов, описание лиувиллевых инвариантов приводимых систем и др.).
Главные достижения относились к задачам динамики твердого тела, в которых существует одномерная группа преобразований конфигурационного пространства (3), касательные преобразования к которым сохраняют кинетическую энергию и момент внешних сил как функции на шестимерном фазовом пространстве R3 ×(3),в силу чего возможна редукция системы к гамильтоновой системе с четырехмерным фазовым пространством 2 . После этого изоэнергетический уровень оказывается трехмерным многообразием, на котором одиноставшийся интеграл задает слоение Лиувилля на двумерные торы. Всебазовые бифуркации в таком слоении были найдены М.П.
Харламовымв его исследованиях [25] классических случаев Эйлера, Жуковского, Горячева-Чаплыгина, Сретенского, Ковалевской, Клебша. Случай Ковалевской, формально проинтегрированный еще в конце XIXв., получилполное решение лишь в наше время в работах В.В. Козлова (1980),М.П.Харламова (1983-1988), А.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, П.Рихтера(2000) [27].В течение этих лет был открыт и ряд математических обобщений вдинамике твердого тела, среди которых физический смысл имеют обоб6щения И.В.Комарова [28], [29], Х.М.Яхья [30] на задачу о движении гиростата, случай В.В.Соколова [31] для задачи о движении тела в жидкости и случай Борисова-Мамаева-Соколова [32], описывающий движениетвердого тела с полостями, заполненными вихревой несжимаемой жидкостью.
Все эти задачи также приводятся к системам с двумя степенямисвободы. В то же время имеется ряд интегрируемых систем с тремя степенями свободы, не укладывающихся в имеющиеся схемы исследования и принципиально не сводимых к системам с двумя степенями свободы (О.И.Богоявленский, В.В.Соколов, А.Г.Рейман и М.А.Семенов-ТянШанский, А.И.Бобенко, А.В. Борисов и И.С.
Мамаев [33]). Среди нихв рамках теоретической механики центральное место занимает задачао движении тяжелого магнита в гравитационном и магнитном полях,сформулированная О.И.Богоявленским (1984) [34] при изучении уравнений Эйлера на алгебрах Ли. В 1987 г. А.Г.Рейман и М.А.Семенов-ТянШанский [35] указали в этой задаче третий интеграл, находящийся винволюции с .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
