Автореферат (786042)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

.На правах рукописиРябов Павел ЕвгеньевичТопологический анализ неклассическихинтегрируемых задач динамики твердого тела01.02.01 – Теоретическая механикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква – 2016Работа выполнена на кафедре теоретической механики Московскогофизико-технического института (государственного университета)Научный консультант:Борисов Алексей Владимирович,.доктор физико-математических наукОфициальные оппоненты:Цыганов Андрей Владимирович, доктор физико-математических наук,профессор, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет», кафедра вычислительной физикиЛерман Лев Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им.

Н.И. Лобачевского, кафедра дифференциальныхуравнений, математического и численного анализаБуров Александр Анатольевич, доктор физико-математических наук,доцент, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук, отдел механики, старший научныйсотрудникВедущая организация:ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»Защита состоится «»2016 г. вчасов на заседаниидиссертационного совета Д 212.125.14 на базе Московского авиационного института (национального исследовательского университета) по адресу: 125993, Москва А-8, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета)и на сайте института www.mai.ru.Автореферат разослан «»2016 г.Ученый секретарьдиссертационного совета,к.

ф-м. н., доцентГидаспов В. Ю.Общая характеристика работыАктуальность темы исследования.Современные аналитические и качественные методы исследованиянелинейных дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А. Пуанкаре [1], [2], в которых Пуанкаре развил геометрическуютеорию решений дифференциальных уравнений.

Пуанкаре ввел понятия гомоклинических и гетероклинических орбит, связывающих неподвижные точки между собой, и показал, что возмущение этих орбит является причиной сложного поведения решения. В своем трехтомномтрактате “Новые методы небесной механики” [1] А. Пуанкаре на примере ограниченной задачи трех тел обнаружил наличие гомоклиническойструктуры траекторий и указал препятствия к существованию аналитических интегралов для широкого класса динамических систем. Многие аспекты исследования Пуанкаре опередили свое время на несколько десятилетий.

На самом деле, изучение сложного движения Пуанкареосновано на совершенно новом подходе: качественном анализе поведения решений. Он предложил изучать топологические свойства решенийв фазовом пространстве совместно с аналитическими свойствами решений уравнений.Для классической и небесной механики особый интерес представляют гамильтоновы системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Существенный прогресс в качественном анализе поведения гамильтоновых систем был достигнут во второй половине двадцатого векапосле опубликования фундаментальных результатов А.Н. Колмогорова[3], В.И. Арнольда [4], [5], Ю. Мозера [6], впоследствии получивших название КАМ теории. На основании КАМ теории были получены важныевыводы об устойчивости и общем характере движения близких к интегрируемым гамильтоновых систем.Важное влияние на развитие аналитической динамики твердого тела и качественной теории динамических систем оказали работы В.В.

Козлова, объединенные в монографию “Методы качественного анализа в динамике твердого тела” [7]. В частности, В.В. Козловым доказано несу3ществование аналитических интегралов уравнений Эйлера–Пуассона,а также указаны динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений – расщепление сепаратрис, рождение большогочисла невырожденных периодических решений. Эти результаты далисильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемостиуравнений движения. Результаты таких исследований систематизированы в монографиях В.В.

Козлова “Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике” [8] и А.В.Борисова, И.С.Мамаева “Современные методы теории интегрируемых систем” [9]. В [9] интегрируемость многомерных аналогов классических интегрируемых задач динамики твердого тела как правило устанавливается при помощи пред˙ставления Лакса со спектральным параметром ()= [(), ()]. Инварианты матрицы () являются первыми интегралами системы.Современному состоянию топологического анализа динамическихсистем мы обязаны работе С. Смейла (1972 г.) [10], в которой намеченапрограмма топологического исследования классических механическихсистем и указаны пути ее реализации в натуральных системах с симметрией. В качестве примера он рассматривал задачи небесной механики.

Впоследствии, благодаря работам прежде всего российских ученых В.В. Козлова, Я.В. Татаринова, М.П. Харламова, А.Т. Фоменко,А.В. Болсинова, А.В. Борисова, И.C. Мамаева, А.А. Ошемкова и других исследованы бифуркации нелинейных по скоростям дополнительных интегралов и соответствующих интегральных многообразий,не укладывающиеся в схему Смейла.Результаты, полученные в XX в., нашли отражение в монографиях [7] (методы качественного анализа в динамике твердого тела), [11](фазовая топология классических интегрируемых задач) и [12] (теориятопологических инвариантов, описание лиувиллевых инвариантов приводимых систем и др.).

Главные достижения относились к задачам динамики твердого тела, в которых существует одномерная группа преобразований конфигурационного пространства (3), касательные преобразования к которым сохраняют кинетическую энергию и момент внешних сил как функции на шестимерном фазовом пространстве R3 ×(3),4в силу чего возможна редукция системы к гамильтоновой системе с четырехмерным фазовым пространством 2 .

После этого изоэнергетический уровень оказывается трехмерным многообразием, на котором одиноставшийся интеграл задает слоение Лиувилля на двумерные торы. Всебазовые бифуркации в таком слоении были найдены М.П. Харламовымв его исследованиях [11] классических случаев Эйлера, Жуковского, Горячева-Чаплыгина, Сретенского, Ковалевской, Клебша. Случай Ковалевской, формально проинтегрированный еще в конце XIXв., получилполное решение лишь в наше время в работах В.В. Козлова (1980),М.П.Харламова (1983-1988), А.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, П.Рихтера(2000) [13].В течение этих лет был открыт и ряд математических обобщений вдинамике твердого тела, среди которых физический смысл имеют обобщения И.В.Комарова [14], [15], Х.М.Яхья [16] на задачу о движении гиростата, случай В.В.Соколова [17] для задачи о движении тела в жидкости и случай Борисова-Мамаева-Соколова [18], описывающий движениетвердого тела с полостями, заполненными вихревой несжимаемой жидкостью.

Все эти задачи также приводятся к системам с двумя степенямисвободы. В то же время имеется ряд интегрируемых систем с тремя степенями свободы, не укладывающихся в имеющиеся схемы исследования и принципиально не сводимых к системам с двумя степенями свободы (О.И.Богоявленский, В.В.Соколов, А.Г.Рейман и М.А.Семенов-ТянШанский, А.И.Бобенко, А.В. Борисов и И.С. Мамаев [19]). Среди нихв рамках теоретической механики центральное место занимает задачао движении тяжелого магнита в гравитационном и магнитном полях,сформулированная О.И.Богоявленским (1984) [20] при изучении уравнений Эйлера на алгебрах Ли. В 1987 г. А.Г.Рейман и М.А.Семенов-ТянШанский [21] указали в этой задаче третий интеграл, находящийся винволюции с .

В результате открыто новое физически реализуемое обобщение случая Ковалевской, но уже несводимое в целом к системе с двумя степенями свободы.Цели и задачи диссертационной работы. Основная цель и задачадиссертационной работы – исследование фазовой топологии вполне ин5тегрируемых гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободымеханического происхождения и их обобщений на системы с неклассическими полями.Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы состоит в анализе (орбитальной) устойчивости невырожденных (в смысле теории особенностей) периодических движений, использовании и дальнейшем развитии метода критических подсистем, практическом построении стратификаций фазового пространства, классификации слоений вокрестности особых точек отображения момента, эффективном конструировании различных глобальных топологических инвариантов.Теоретическая и практическая значимость применения к задачамдинамики твердого тела.

Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для∙ определения и анализа (орбитальной) устойчивости невырожденных (в смысле теории особенностей) траекторий;∙ построения бифуркационных комплексов и с их помощью анализаустойчивости критических движений;∙ практического построения стратификаций фазового пространствас использованием метода критических подсистем;∙ описания глобальных топологических инвариантов в виде оснащенных изоэнергетических бифуркационных диаграмм;∙ исследования фазовой топологии задач неголономной механики,связанных с качением твердых тел; задач о движении цилиндрического твердого тела, взаимодействующего с вихревой нитью, которые относятся к некоммутативному интегрированию;∙ применения методов топологического анализа к задачам квантовой теории сильнокоррелированных систем при экстремально низких температурах.

В работе [22] показано, что при определенныхзначениях параметров уравнения движения, которые описывают6бегущие волны в двухкомпонентном бозе-эйнштейновском конденсате, могут быть сведены к разделенным уравнениям типа Ковалевской в динамике твердого тела. Наличие разделенных уравнений дает возможность выделить дискриминантную поверхность,которая содержит бифуркационную диаграмму, и, таким образом,применить методы топологического анализа.Методология и методы исследования.Очень часто при анализе устойчивости периодических решений инеподвижных точек не делают различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами и пользуются общими методами, основанными на вычислении мультипликаторов, нормализующих преобразованиях Биркгофа, изучении областей резонансов и так называемых связокинтегралов (см., например, [23–30]).Естественным образом используя интегрируемость системы, топологический анализ позволяет быстрым и наглядным образом определятьустойчивость в тех случаях, когда использование общих стандартныхметодов является довольно затруднительным.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации